飽和土三維非軸對(duì)稱問題的積分變換解

飽和土三維非軸對(duì)稱問題的積分變換解

飽和土壤是水體之間的固體土壤。因此，這是流固耦合的兩相介質(zhì)。隨著biot飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)方程的建立，飽和多孔介質(zhì)動(dòng)態(tài)回應(yīng)的研究越來越受到重視。在這項(xiàng)工作中，威爾采用了哈希爾變換、卡尼亞語(yǔ)和海參崴分解，首次研究了飽和半空間的拉默問題。他沒有考慮飽和半空間中的流的粘度。在這項(xiàng)工作中，使用哈希爾分解法和漢科爾變換分析了飽和半空間的拉默問題，并用六個(gè)勢(shì)函數(shù)引用了飽和半空間中覆蓋的彈性土層的穩(wěn)定動(dòng)態(tài)反應(yīng)。王立忠等人通過積分變換計(jì)算了垂直方向上的飽和半空間表面位移的方程。楊軍等人通過積分變換方法分析了一些飽和半空間在表面上的心理狀態(tài)激勵(lì)的反應(yīng)。由于土壤和兩相介質(zhì)力學(xué)模型的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)處理中相當(dāng)困難。上述研究?jī)H限于平面畸變或軸對(duì)稱問題的解。對(duì)于飽和土壤的三維非軸對(duì)稱問題系統(tǒng)的研究，沒有報(bào)告，需要進(jìn)一步研究。本文從兩相介質(zhì)的Biot三維波動(dòng)方程出發(fā),應(yīng)用積分變換方法提出位移組合和應(yīng)力組合積分變換式,成功地得到以土體骨架位移和孔隙水壓力為基本未知量的波動(dòng)方程的基本解,在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)研究了飽和土三維非軸對(duì)稱的Lamb問題.考慮了表面排水和不排水兩種條件,獲得了三維非軸對(duì)稱飽和彈性半空間在表面豎向和水平力作用下表面徑向位移、豎向位移和周向位移的積分形式解,并與現(xiàn)有文獻(xiàn)提供的飽和土在豎向力作用下的軸對(duì)稱問題作了對(duì)比,同時(shí)將解答又退化到單相介質(zhì)(理想彈性半空間體)的經(jīng)典Lamb問題,從而驗(yàn)證了本文解答的準(zhǔn)確性.文中進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.數(shù)值結(jié)果表明,二維模型不能準(zhǔn)確地描述三維問題,這與文獻(xiàn)的結(jié)論是一致的.運(yùn)用本文的結(jié)果容易給出動(dòng)力Green影響函數(shù),并為運(yùn)用邊界元法求解飽和土動(dòng)力響應(yīng)問題打下了理論基礎(chǔ).1三維非軸對(duì)稱法的基本公式1.1土體壓縮性的物理及物理方程土體運(yùn)動(dòng)方程σij|j=ρ..ui+ρf..wi,(1)流體運(yùn)動(dòng)方程-pf|i=ρf..ui+m..wi+ηk′.wi,(2)滲流連續(xù)方程-.pf=.Μwi|i+α.Μui|i,(3)若不計(jì)土顆粒和流體壓縮性(α=1,1/M=0)時(shí),則方程(3)可簡(jiǎn)化為:.wi|i+.ui|i=0.(4)幾何方程εij=12(ui|j+uj|i)?e=divu?ξ=-divw,(5)物理方程σij=λeδij+2μεij-αpfδij,(6)式中u為土體位移向量;w為流體相對(duì)于土骨架位移向量;pf為孔壓;ρ為飽和土總密度;ρf為流體密度;η為流體在常溫下黏滯系數(shù);k′為滲透系數(shù);λ,μ為土骨架的Lamé常數(shù);α和M為表征土顆粒和流體壓縮性的常數(shù).圓點(diǎn)“·”表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).1.2控制方程的建立基于(1)～(6)式,同時(shí)根據(jù)Zienkiewicz等人的研究,對(duì)一般頻率不高的飽和土的動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算問題,可忽略流體相對(duì)土骨架運(yùn)動(dòng)的慣性項(xiàng),若不計(jì)土顆粒和流體的壓縮性,則分別得到以位移表示的流體和土體運(yùn)動(dòng)方程為-gradpf=ρf..u+ηk′.w,(7)μΔ2u+(λ+μ)grade-gradpf=ρ..u.(8)對(duì)(7)和(8)式兩邊取散度,同時(shí)利用(4)式,可得(λ+2μ)Δ2e=(ρ-ρf)¨e+ηk′˙e,(9)Δ2pf=ηk′.e-ρf..e.(10)若f表示控制方程(8)～(10)中的任一物理量,考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),則可設(shè)f=ˉfeiωt,ˉf表示相應(yīng)物理量的幅值,ω表示激振頻率.于是控制方程組變?yōu)棣苔?ˉu+(λ+μ)gradˉe-gradˉpf=ρω2ˉu,Δ2ˉpf=aˉe,Δ2ˉe=bˉe,(11)其中a=ηk′iω+ρfω2,b=a-ρω2λ+2μ.(12)2,2pf1r2pf25r的《222222222222222522222222222222222252225222222222222222222222222252222225555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555在柱坐標(biāo)下,控制方程組(11)可寫成以下標(biāo)量形式,即μ[Δ2ˉur-1r(2?ˉuθr?θ+ˉurr)]+(λ+μ)?ˉe?r-?ˉpf?r+ρω2ˉur=0,μ[Δ2ˉuθ-1r(ˉuθr-2?ˉurr?θ)]+(λ+μ)?ˉer?θ-?ˉpfr?θ+ρω2ˉuθ=0,μΔ2ˉuz+(λ+μ)?ˉe?z-?ˉpf?z+ρω2ˉuz=0,Δ2ˉpf=aˉe,Δ2ˉe=bˉe.(13)2.1jnk,z-unk,z-kr的變換方程對(duì)控制方程(13)中各變量沿周向進(jìn)行Fourier展開,并記[ˉur(r,θ,z)ˉuz(r,θ,z)ˉpf(r,θ,z)ˉe(r,θ,z)]Τ=∞∑n=0[ˉurn(r,z)ˉuzn(r,z)ˉpfn(r,z)ˉen(r,z)]Τcosnθ,ˉuθ(r,θ,z)=∞∑n=0ˉuθn(r,z)sinnθ.(14)將(14)式代入方程(13),得到μ[(Δ20-1r2)ˉurn-2nr2ˉuθn]+(λ+μ)?ˉen?r-?ˉpfn?r+ρω2ˉurn=0,μ[(Δ20-1r2)ˉμθn-2nr2ˉern]-(λ+μ)nˉenr+nˉpfnr+ρω2ˉuθn=0,μΔ20ˉuzn+(λ+μ)?ˉen?z-?ˉpfn?z+ρω2ˉuzn=0,Δ20ˉpfn-aˉen=0,Δ20ˉen-bˉen=0(n=0,1,2,?),(15)算子?20=?2?r2+1r??r-n2r2+?2?z2.對(duì)(15)式中各量作Hankel變換,同時(shí)引入位移組合Hankel變換式,即[?en(k,z)?pfn(k,z)?uzn(k,z)]Τ=∫∞0[ˉen(r,z)ˉpfn(r,z)ˉuzn(r,z)]ΤJn(kr)rdr,?urn(k,z)+?uθn(k,z)=∫∞0[ˉurn(r,z)+ˉuθn(r,z)]Jn+1(kr)rdr,(16)?uθn(k,z)-?urn(k,z)=∫∞0[ˉurn(r,z)-ˉuθn(r,z)]Jn-1(kr)rdr,同時(shí)注意到ˉen的Hankel變換式?en=k?urn(k,z)+ddz?uzn(k,z),(17)于是得到變換后的方程組(λ+2μ)(μλ+2μd2dz2-α2)u?rn-(λ+μ)kddzu?zn+kp?fn=0,(λ+μ)kddzu?rn+μ(λ+2μμd2dz2-β2)u?zn-ddzp?fn=0,μ(d2dz2-β2)u?θn=0,d2dz2p?fn-k2p?fn-ae?n=0,d2dz2e?n-ψ2e?n=0.(18)其中Jn(kr)為第1類n階Bessel函數(shù),并且α=k2-ρω2λ+2μ；β=k2-ρω2μ；ψ2=k2+b.解方程(18),得到變換域中的解e?n(k,z)=A1e-ψz+B1eψz,p?fn(k,z)=abA1e-ψz+abB1eψz+A2e-kz+B2ekz,u?rn(k,z)=βA0e-βz+βB0eβz-kbA1e-ψz-kbB1eψz-kρω2A2e-kz-kρω2B2ekz,u?zn(k,z)=kA0e-βz-kB0eβz-ψbA1e-ψz+ψbB1eψz-kρω2A2e-kz+kρω2B2ekz,u?θn(k,z)=A3e-βz+B3eβz.(19)由(7)式,可以容易求出流體相對(duì)于土骨架運(yùn)動(dòng)在變換域中的位移分量.從應(yīng)用角度,先求出w?zn(k,z)=kρfω2a-ρfω2A0e-βz-kρfω2a-ρfω2B0eβz+ψbA1e-ψz-ψbB1eψz+k(ρ-ρf)ω2(a-ρfω2)ρω2A2e-kz-k(ρ-ρf)ω2(a-ρfω2)ρω2B2ekz,w?rn(k,z)=βρfω2a-ρfω2A0e-βz+βρfω2a-ρfω2B0eβz+kbA1e-ψz+kbB1eψz+k(ρ-ρf)ω2(a-ρfω2)ρω2A2e-kz+k(ρ-ρf)ω2(a-ρfω2)ρω2B2ekz.(20)利用(6)式,對(duì)各應(yīng)力分量穩(wěn)態(tài)值作Fourier展開,即[σˉrz(r,θ?z)σˉzz(r,θ?z)]Τ=∑n=0∞[σˉrzn(r,z)σˉzzn(r,z)]Τcosnθ,σˉθz(r,θ?z)=∑n=0∞σˉθzn(r,z)sinnθ,(21)并注意到(14)式,可得到在柱坐標(biāo)下的飽和土本構(gòu)關(guān)系為σˉrzn(r,z)=μ(?uˉzn?r+?uˉrn?z),σˉθzn(r,z)=μ(?uˉθn?z-nruˉzn),σˉzzn(r,z)=λeˉn+2μ?uˉzn?z-pˉfn.(22)這里僅給出后文分析中所需要的垂直于Z軸平面上的應(yīng)力表達(dá)式.對(duì)上式,做Hankel變換,引入應(yīng)力組合Hankel變換式,即σ?zzn(k,z)=∫0∞σˉzzn(r,z)Jn(kr)rdr,σ?rzn(k,z)+σ?θzn(k,z)=∫0∞[σˉrzn(r,z)+σˉθzn(r,z)]Jn+1(kr)rdr,(23)σ?θzn(k,z)-σ?rzn(k,z)=∫0∞[σˉrzn(r,z)-σˉθzn(r,z)]Jn-1(kr)rdr,同時(shí)利用(17)式以及Bessel函數(shù)的恒等式Jn-1(x)-nxJn(x)=nxJn(x)-Jn+1(x),則可以得到σ?rzn(k,z)=μ[-ku?zn(k,z)+ddzu?rn(k,z)],σ?θzn(k,z)=μddzu?θzn(k,z),(24)σ?zzn(k,z)=(λ+2μ)ddzu?zn(k,z)+λku?rn(k,z)-p?fn.把(19)式代入(24)式,得到變換域中飽和土的應(yīng)力:σ?rzn(k,z)=-μ(k2+β2)A0e-βz+μ(k2+β2)B0eβz+2μkψbA1e-ψz+2μkψbB1eψz+2μk2ρω2A2e-kz-2μk2ρω2B2ekz,σ?zzn(k,z)=-2μkβA0e-βz-2μkβB0eβz+μ(k2+β2)bA1e-ψz+μ(k2+β2)bA2e-kz(25)+μ(k2+β2)ρω2A2e-kz+μ(k2+β2)ρω2B2ekz,σ?θzn(k,z)=-μβA3e-βz+μβB3eβz.至此,得到飽和土三維非軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的積分變換解.(19)式中的未知常數(shù)A0,B0,A1,B1,A2,B2,A3,B3可由適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和連續(xù)條件求得.2.2a0e-z-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-znb1e,b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-znb1e-b1e-znb1e-b1e-znb1e-b1e-znb1e-b1e-znb1e-b1e-znb1e的公式,znb1e的b3e-b1e-b1e-b1e-b1e-b1e-znz-b1e-b1e-z-b1e-znb1e的合成,zfnb1e應(yīng)用波輻射條件,并設(shè)Reβ≥0,Reψ≥0,同時(shí)使飽和彈性土層解中未知常數(shù)B0=B1=B2=B3=0,則可由飽和土彈性土層的的積分變換解直接得出飽和土彈性半空間動(dòng)力響應(yīng)的積分變換解為u?rn(k,z)=βA0e-βz-kbA1e-ψz-kρω2A2e-kz,u?zn(k,z)=kA0e-βz-ψbA1e-ψz-kρω2A2e-kz,u?θn(k,z)=A3e-βz,p?fn(k,z)=abA1e-ψz+A2e-kz,w?zn(k,z)=kρfω2a-ρfω2A0e-βz+ψbA1e-ψz+k(ρ-ρf)ω2(a-ρfω2)ρω2A2e-kz,σ?rzn(k,z)=-μ(k2+β2)A0e-βz+2μkψbA1e-ψz+2μk2ρω2A2e-kz,σ?zzn(k,z)=-2μkβA0e-βz+μ(k2+β2)bA1e-ψz+μ(k2+β2)ρω2A2e-kz,σ?θzn(k,z)=-μβA3e-βz.(26)3飽和土壤的拉芒問題3.1[unk,0uznk,0出口,kf3、fps3.2.2,k-2,k-2,k-2,k-1,k-2,k-1,k-2,k-2,k-2,k-1,k-1,k-2,k-2,k-2,k-2,k3,圖2,3,2,3,5,5,5.2,3,5.2,3,5,2,3,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,10.2,3,5,10e,3,10e,3,10e,3,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,3,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10e,10與土的彈性固體模式(單相介質(zhì))不同,對(duì)于飽和土的Lamb問題除了在表面上滿足力的邊界條件外,還必須給定表面的排水與不排水條件.對(duì)飽和半空間,大多數(shù)只考慮表面滿足排水邊界條件,但為使研究的問題更具廣泛性,這里分別考慮排水和不排水邊界條件.(ⅰ)表面排水邊界條件,即pf|z=0=0.(27)由(26)式可以得到:[u?rn(k,0)u?zn(k,0)u?θn(k,0)]Τ=[Fd][σ?rzn(k,0)σ?zzn(k,0)σ?θzn(k,0)]Τ,(28)其中F11d=[(λ+2μ)βbρω2]/d4,F12d=[μk(k2+β2)(ρω2-a)+2μkβ(ak-ψρω2)]/d4,F22d=[(ak-ψρω2)ρω2]/d4,F33d=-d4/μβ,F21d=F12d,d4=μ2(k2+β2)2(a-ρω2)+4μ2k2β(ψρω2-ak).(ⅱ)表面不排水邊界條件,即?pf?z|z=0=0.(29)同樣,由(26)式可以得到:[u?rn(k,0)u?zn(k,0)u?θn(k,0)]Τ=[Fud][σ?rzn(k,0)σ?zzn(k,0)σ?θzn(k,0)]Τ,(30)其中F11ud=[μβ(kρω2-aψ)(β2-k2]/d5,F12ud=[μk(k2+β2)(kρω2-aψ)-2μk2ψβ(ρω2-a)]/d5,F22ud=[μkψ(ρω2-a)(β2-k2)]/d5,F33ud=-d5/μβ,F21ud=F12ud,d5=-μ2(k2+β2)2(kρω2-aψ)+4μ2k3βψ(ρω2-a).3.2了,有3.2在豎向集中力作用下,半空間表面應(yīng)力邊界條件為σˉzz(r,θ,0)=-σˉpv,σˉzr(r,θ,0)=σˉzθ(r,θ,0)=0(r＜R),σˉzz(r,θ,0)=σˉzr(r,θ,0)=σˉzθ(r,θ,0)=0(r＞R).(31)這里,σˉpv是略去因子eiωt的穩(wěn)態(tài)值,是以應(yīng)力形式表示的作用力幅值,并以σ?pv表示σˉpv的Hankel變換.將(31)式與應(yīng)力的Fourier展開對(duì)應(yīng)可得σˉzz0(r,0)=-σˉpv,σˉzr0(r,0)=σˉzθ0(r,0)=0,σˉzzn(r,0)=σˉzrn(r,0)=σˉzθn(r,0)=0(n≠0),(32)這樣位移只需考慮n=0一項(xiàng),即有uˉr(r,θ,0)=uˉr0(r,0),uˉz(r,θ,0)=uˉz0(r,0),uˉθ(r,θ,0)=0.(33)(ⅰ)半空間表面排水.由(28)式得u?r0(k,0)=F12dσ?pv,u?z0(k,0)=F22dσ?pv,u?θ0(k,0)=0.(34)由(16)式,對(duì)(34)式的位移求Hankel變換的逆變換:uˉr0(r,0)=∫0∞u?r0(k,0)J1(kr)kdk,uˉz0(r,0)=∫0∞u?z0(k,0)J0(kr)kdk,uˉθ0(r,0)=0.(35)把(28)式代入(35)式后得到uˉr0(r,0)=∫0∞μk(k2+β2)(ρω2-a)+2μkβ(ak-ψρω2)μ2(k2+β2)2(a-ρω2)+4μ2k2β(ψρω2-ak)σ?pvJ1(kr)kdk,uˉz0(r,0)=∫0∞(ak-ψρω2)ρω2μ2(k2+β2)2(a-ρω2)+4μ2k2β(ψρω2-ak)σ?pvJ0(kr)kdk,(36)uˉθ0(r,0)=0.(36)式中的uˉz0(r,0)與文獻(xiàn)一致.證明得到的解是正確的.(ⅱ)半空間表面不排水.由(30)式得u?r0(k,0)=F12udσ?pv,u?z0(k,0)=F22udσ?pv,u?θ0(k,0)=0.(37)對(duì)(37)式作與(35)式同樣的Hankel逆變換,得到uˉr0(r,0)=∫0∞μk(k2+β2)(kρω2-aψ)-2μk2ψβ(ρω2-a)μ2(k2+β2)2(aψ-kρω2)+4μ2k3ψβ(kρω2-aψ)σ?pvJ1(kr)kdk,uˉz0(r,0)=∫0∞μkψ(ρω2-a)(β2-k2)μ2(k2+β2)2(aψ-kρω2)+4μ2k3ψβ(kρω2-aψ)σ?pvJ0(kr)kdk,(38)uˉθ0(r,0)=0.3.3半空間表面排水在水平集中力作用下,半空間表面應(yīng)力邊界條件為σˉrz(r,θ,0)=σˉphcosθ,σˉzz(r,θ,0)=0,σˉzθ(r,θ,0)=-σˉphsinθ(r＜R),σˉzz(r,θ,0)=σˉzr(r,θ,0)=σˉzθ(r,θ,0)=0(r＞R),(39)這里,σˉph是略去因子ei\ωt的穩(wěn)態(tài)值,也是以應(yīng)力形式表示的作用力幅值,以σ?ph表示σˉph的Hankel變換.將(39)式與應(yīng)力的Fourier展開對(duì)應(yīng),則σˉθz1(r,0)=-σˉph,σˉzr1(r,0)=σˉph,σˉzz1(r,0)=0,σˉzzn(r,0)=σˉzrn(r,0)=σˉzθn(r,0)=0(n≠0).(40)這樣,位移分量為uˉr(r,θ,0)=uˉr1(r,0)cosθ,uˉz(r,θ,0)=uˉz1(r,0)cosθ,uˉθ(r,θ,0)=uθ1(r,0)sinθ.(41)(ⅰ)半空間表面排水.由(28)式有u?r1(k,0)=F11dσ?ph,u?z1(k,0)=F21dσ?ph,u?θ1(k,0)=-F33dσ?ph.(42)由(16)式,對(duì)(42)式變換域的位移求Hankel變換的逆變換,得到uˉr1(r,0)=∫0∞{[J1(kr)kr-J0(kr)]F11d-J1(kr)krF33d}σ?phkdk,uˉz1(r,0)=∫0∞F21dσ?phJ0(kr)kdk,uˉθ1(r,0)=∫0∞{-[J1(kr)kr-J0(kr)]F33d+J1(kr)krF11d}σ?phkdk.(43)(ⅱ)半空間表面不排水.由(30)式有u?r1(k,0)=F11udσ?ph,u?z1(k,0)=F21udσ?ph,u?θ1(k,0)=-F33udσ?ph.(44)由(16)式,對(duì)(44)式求Hankel變換的逆變換得位移解:uˉr1(r,0)=∫0∞{[J1(kr)kr-J0(kr)]F11ud-J1(kr)krF33ud}σ?phkdk,uˉz1(r,0)=∫0∞F21udσ?phJ1(kr)kdk,uˉθ1(r,0)=∫0∞{-[J1(kr)kr-J0(kr)]F33ud+J1(kr)krF11ud}σ?phkdk.(45)4回答是驗(yàn)證和數(shù)值計(jì)算方法4.1豎向集中力作用下的彈性半空間表面位移積分解如果飽和半空間中不含孔隙流體,即pf=0