第十四章 整式的乘除與因式分解章節(jié)復(fù)習(xí)(教學(xué)課件)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)(人教版)

整式的乘除與因式分解章節(jié)復(fù)習(xí)1.梳理本章的知識(shí)，并會(huì)歸納總結(jié);2.熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行整式的乘除運(yùn)算;3.熟練地運(yùn)用平方差公式和完全平方公式;4.會(huì)對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.一、冪的乘法運(yùn)算同底數(shù)冪乘法法則：am?an=______.(m，n都是正整數(shù))即：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)_____，指數(shù)_____.條件：結(jié)果：am+n

不變相加①底數(shù)不變①乘法②同底數(shù)冪

②指數(shù)相加拓展：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，am·an·ap=______.(m，n，p都是正整數(shù))am+n+p一、冪的乘法運(yùn)算冪的乘方法則：(am)n=______.(m，n都是正整數(shù))即：冪的乘方，底數(shù)_____，指數(shù)_____.amn

不變相乘拓展：[(am)n]p=amnp

（m，n，p都是正整數(shù)）n為偶數(shù),n為奇數(shù).冪的乘方法則的逆用：amn=

(am)n=

(an)m一、冪的乘法運(yùn)算積的乘方法則：(ab)n=______.(n為正整數(shù))即：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.anbn

拓展：(abc)n=anbncn.積的乘方公式的逆用：anbn=(ab)n二、整式的乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.【三步走】（1）系數(shù)相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.二、整式的乘法單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.注：積的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘乘法分配律轉(zhuǎn)化二、整式的乘法多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.多乘多順口溜：多乘多，來(lái)計(jì)算，多項(xiàng)式各項(xiàng)都見(jiàn)面，乘后結(jié)果要相加，化簡(jiǎn)、排列才算完.三、整式的除法同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)即同底數(shù)冪相除，底數(shù)_____，指數(shù)_____.不變相減規(guī)定：a0=1(a≠0)

這就是說(shuō)，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.三、整式的除法單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.四、乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.公式變形:1.(a–b)(a+b)=a2-b22.(b+a)(-b+a)=a2-b2四、乘法公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.可以合寫(xiě)成

(a±b)2=a2±2ab＋b2兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.注：公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.(簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍中間放”)四、乘法公式1.添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化是一致的.添括號(hào)是否正確可用去括號(hào)檢驗(yàn).2.不論怎樣添括號(hào)，原式的值都不能改變，添括號(hào)法則在利用乘法公式的計(jì)算中應(yīng)用較多.五、因式分解我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即因式分解整式乘法五、因式分解正確找出多項(xiàng)式的公因式的步驟：1.定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都有的相同的字母.3.定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母的最低次數(shù).

多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.如：pa+pb+pc的公因式是p.五、因式分解如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.五、因式分解例1.計(jì)算：(1)(a+b)2·(a+b)3(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6(3)(x-y)2·(y-x)5解:(1)(a+b)2·(a+b)3

=(a+b)2+3

=(a+b)5(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6

=(m-n)3+2+6

=(m-n)11(3)(x-y)2·(y-x)5

=(y-x)2·(y-x)5

=(y-x)2+5

=(y-x)7【點(diǎn)睛】公式am·an=am+n中的底數(shù)a不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式等其他代數(shù)式.當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)的冪相乘時(shí)，先把底數(shù)統(tǒng)一，再進(jìn)行計(jì)算．n為偶數(shù)，n為奇數(shù).同底數(shù)冪的乘法及其逆用1例2.(1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；

(2)已知23x＋2＝32，求x的值.(2)∵23x＋2＝32＝25，

∴3x＋2＝5，

∴x＝1.解：(1)2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；【點(diǎn)睛】(1)關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的乘法公式，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知因式的乘積的形式，然后再求值.(2)關(guān)鍵是將等式兩邊轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式，然后根據(jù)指數(shù)相等列方程解答.【1-1】計(jì)算:(1)x4·x6=____;(2)a·a4=_____;(3)5×54×53=______;(4)x2n+1·x3n-1=______.【1-2】若am=3，an=5，則am+n等于()A.243B.125C.8D.15x10a558x5nD【1-3】計(jì)算下列各題：(4)－a3·(－a)2·(－a)3.(2)(a-b)3·(b-a)4;(3)(-3)×(-3)2×(-3)3;(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3;解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；(3)(-3)×(-3)2×(-3)3=36；(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.冪的乘方及其逆用2例3.計(jì)算：(1)(x4)3·x6;(2)a2(－a)2(－a2)3＋a10.解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)a2(－a)2(－a2)3＋a10

=

－a2·a2·a6＋a10

=

－a10＋a10

=

0【點(diǎn)睛】與冪的乘方有關(guān)的混合運(yùn)算中，一般先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項(xiàng)．例4.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；

(2)102n＝(10n)2＝22＝4；

(3)103m＋2n＝103m×102n＝(10m)3×(10n)2

=27×4＝108.

【點(diǎn)睛】此類題的關(guān)鍵是逆用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法公式，將所求代數(shù)式正確變形，然后代入已知條件求值即可.例5.比較3500，4400，5300的大小.分析：這三個(gè)冪的底數(shù)不同,指數(shù)也不相同,不能直接比較大小,通過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)指數(shù)都是100的倍數(shù),故可以考慮逆用冪的乘方法則.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.∵256>243>125,∴4400>3500>5300.【點(diǎn)睛】比較底數(shù)大于1的冪的大小的方法有兩種：(1)底數(shù)相同，指數(shù)越大，冪就越大；(2)指數(shù)相同，底數(shù)越大，冪就越大.故在此類題中，一般先觀察題目所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪，然后再進(jìn)行大小比較.

CDA

積的乘方及其逆用3例6.計(jì)算：(1)(-4ab)3；(2)(-3ab2c3)3；(3)(-xmy3n)2.解：(1)(-4ab)3=(-4)3·a3·b3=-64a3b3(2)(-3ab2c3)3=(-3)3·a3·(b2)3·(c3)3=-27a3b6c9(3)(-xmy3n)2=(-1)2·(xm)2·(y3n)2=x2my6n例7.計(jì)算：(1)0.22022×52022；(2)解：(1)0.22022×52022=(0.2×5)2022=12022=1解：(2)【點(diǎn)睛】逆用積的乘方公式an·bn＝(ab)n，要靈活運(yùn)用，對(duì)于不符合公式的形式，要通過(guò)恒等變形，轉(zhuǎn)化為公式的形式，再運(yùn)用此公式可進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．【3-1】若(2ambm+n)3=8a9b15成立，則()m=3，n=2B.m=n=3C.m=6,n=2D.m=3，n=5【3-2】現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“※”:a※b=ba，如3※2=23=8，則2※(-5)=______，3※(-2x3y4)=__________.A25-8x9y12

整式的乘法4

【點(diǎn)睛】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式就是把它們的系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘，結(jié)合同類項(xiàng)的定義，列出二元一次方程組求出參數(shù)的值，然后代入求值即可．

解：[xy（x2﹣xy）﹣x2y（x﹣y）]?3xy2＝（x3y﹣x2y2﹣x3y+x2y2）?3xy2＝0．例11.先化簡(jiǎn)，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.原式＝－8＋2－15＝－21.例12.已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，求系數(shù)a、b的值．解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2.∵積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，【點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題首先要利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算出展開(kāi)式，合并同類項(xiàng)后，再根據(jù)不含某一項(xiàng)，可得這一項(xiàng)系數(shù)等于零，再列出方程(組)解答．

CBD【4-4】計(jì)算:(2x+3y)(x-2y)(2)(-2a+3)(5+a)(3)(-3m+2)2(4)(m+2)(2m2-m-3)解:(1)原式=2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy-6y2(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15(3)原式=(-3m+2)(-3m+2)=9m2-6m-6m+4=9m2-12m+4(4)原式=2m3-m2-3m+4m2-2m-6=2m3-m2+4m2-3m-2m-6=2m3+3m2-5m-6同底數(shù)冪的除法及其逆用5例13.計(jì)算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；例14.已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的除法即am－n=am÷an，對(duì)am－n－1進(jìn)行變形，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．解：∵am＝12，an＝2，a＝3，

∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.【5-1】a12

÷

a5=_____,(ab)3÷(ab)2=_____.(a+b)6÷(a+b)2=______，(a-c)8÷(c-a)2=______.【5-2】若2m=15，2n=5，則2m-n的值是_____.a7ab(a-c)63【5-3】計(jì)算：(1)x7÷x5(2)m8÷m8(3)(-a)10÷(-a)7(4)(xy)5÷(xy)3解：(1)x7÷x5=x7-5=x2(2)m8÷m8=m8-8=m0=1(3)(-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3(4)(xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2(a+b)4整式的除法6例15.計(jì)算：(12a3-6a2+3a)÷3a；

(2)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a=4a2-2a+1；(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz－2xz＋1.例16.先化簡(jiǎn)，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y原式＝x－y＝2022－2021＝1.＝x－y.把x＝2022，y＝2021代入上式，得【6-1】(16x3-8x2+____)÷(-2x)=-8x2+4x-2【6-2】若某長(zhǎng)方形的面積為4a2-6ab+2a,它的長(zhǎng)為2a，則它的寬是_________.4x2a-3b+1解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.【6-3】計(jì)算：(6ab+5a)÷a;(2)(15x2y-10xy2)÷5xy;(3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．乘法公式的運(yùn)用7

例18.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)(2)(a+b+c)2解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc【點(diǎn)睛】第1小題選用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，需要分組.分組方法是“符號(hào)相同的為一組，符號(hào)相反的為另一組”.第2小題要把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.

BBA

【7-5】運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x-3y+1)2(2)(3a+b-c)(3a-b+c)(3)29×31×(302+1)(3)原式=(30-1)×(30+1)×(302+1)=(302-1)