二次函數專題三：最值問題

二次函數專題三：最值問題一、幾何最值問題引子：初中階段學過的有關線段最小值的有兩點之間線段最短和垂線段最短，無論是兩點之間選段最短還是垂線段最短，它們的本質就是要線段首尾相接，或者說線段要有公共端點，如果我們公共端點，我們要想辦法把它們構造成有公共端點來解決；有關線段最大值的問題，學過的有三角形三邊之間的關系，兩邊之差小于第三邊，我們可以利用這個來求第三邊的最大值，還有稍微難一點的就是利用二次函數及其自變量取值范圍來求最大值幾何最值模型：1、兩點間距離之和最小2、兩點之間距離之差絕對值最大3、線段距離之和最大（?。?、費馬定理總結：共線距離最大（?。?、拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x=-1，B(1,0)，C(0,-3).⑴求二次函數的解析式；⑵在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.思路點撥：點P到A、C兩點距離之差最大，即求|PA－PC|的最大值，因P點在對稱軸上，有PA=PB，也就是求|PB－PC|，到了這兒，易知當P點是BC所在直線與對稱軸的交點，易知最大值就是線段BC的長。具體解題過程略2、研究發(fā)現(xiàn)，二次函數（）圖象上任何一點到定點（0，）和到定直線的距離相等.我們把定點（0，）叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線.（1）寫出函數圖象的焦點坐標和準線方程；（2）等邊三角形OAB的三個頂點都在二次函數圖象上，O為坐標原點，求等邊三角形的邊長；（3）M為拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P（1，3）為定點，求MP+MF的最小值.思路點撥：（2）因△OAB是等邊三角形，易知AB平行于X軸，且∠AOB=60°，知OA、OB于y軸的夾角等于30°，利用這點容易求出三角形的邊長（3）由題目可知MF的長度等于M點到直線y=－1的距離，那么MP+MF就是P點到達拋物線上某一點再到y(tǒng)=－1上某一點的距離和，易知最小值就是過P點做y=－1的垂線段的長解：（1）焦點坐標為（0，1），準線方程是；（2）設等邊ΔOAB的邊長為x，則AD=，OD=.故A點的坐標為（，）.把A點坐標代入函數，得，解得（舍去），或.∴等邊三角形的邊長為.（3）如圖，過M作準線的垂線，垂足為N，則MN=MF.過P作準線的垂線PQ，垂足為Q，當M運動到PQ與拋物線交點位置時，MP+MF最小，最小值為PQ=4.3、思路點撥：（2）要求AE和AM的長，對于求線段的長度我們學過的是勾股定理，相似三角形和簡單三角函數，從題目可知OA和OE的長以及E點到x軸的距離，我們作EG⊥x軸，垂足為G，那么容易求出OG的長，從而求出AE的長；要求AM的長，先做OK⊥AE，垂足為K，要求AM的長，首先我們利用已知的OA的長和∠EAO的函數值來求出AK和OK的長，利用OK的長和三角形OMN是等邊三角形求出MK和NK的長，AM的長也就知道了（3）這個是著名的費馬點的問題，第2問給了我們提示，我們可以猜想當P點在什么位置時，PA+PB+PO才能取最小值，P點應該在線段AE上，至于具體的位置我們還不知道，我們就在線段AE上任取一點P，把PA、PB、PO連起來，要取最小值，那么這三條線段應該首尾相接，我們應該能想到它們首尾相接后的位置就是AE所在直線，這時P點應該和在△OAB內的M點重合，PA的長就是AM的長，m的最小值就是AE的長解：(1）過作⊥于．---------------------------1分∵=，∴△∽△．∵點，，可得，．∵為中點，∴．∴，．∴．∴點的坐標為.-----------2分∵拋物線經過、兩點，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側，∴點的坐標為.∴,∴在△中，,.過點作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或．（寫出一個給1分）（3）可以取到的最小值為．當取得最小值時，線段的長為.4、2009年中考第25題如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(－6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長AC到點D，使，過D點作DE∥AB交BC的延長線于點E．(1)求D點的坐標；(2)作C點關于直線DE的對稱點F，分別連結DF、EF，若過B點的直線y＝kx＋b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；(3)設G為y軸上一點，點P從直線y＝kx＋b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點．若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短．(要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明)思路點撥：（3）首先要把速度轉化成路程，也就是線段的長度，直線與y軸的交點假設為M，則OM=6,設P點在y軸上的速度為2v，那么在GA上的速度為v，P點到達A點所用的時間為，要使時間最短，也就是求AG+GM/2的最小值，那么我們要把它轉化成我們熟悉的兩條線段的和，因為∠BMO=30°，GM/2也就是G點到BM的距離，我們作GK⊥BM，垂足為K,問題轉化成求GA+GM的最小值，易知，A、G、M必須共線且垂直BM，所以G點就是過A點作BM的垂線與y軸的交點解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4)，∴OA＝6，OC＝4．設DE與y軸交于點M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．又，．∴CM＝2，MD＝3．同理可得EM＝3．∴OM＝6．∴D點的坐標為(3，6)．(2)由(1)可得點M的坐標為(0，6)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線．∴點C關于直線DE的對稱點F在y軸上．∴ED與CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四邊形CDFE為菱形，且點M為其對稱中心．作直線BM．設BM與CD、EF分別交于點S、點T．可證△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直線BM將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形．由點B(6，0)，點M(0，6)在直線y＝kx＋b上，可得直線BM的解析式為y＝－x＋6．第25題答圖(3)確定G點位置的方法：過A點作AH⊥BM于點H，則AH與y軸的交點為所求的G點．由OB＝6，OM＝6，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2．∴G點的坐標為(0，2)．(或G點的位置為線段OC的中點)5、（2012東城一模第25題8分）25.如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點,頂點為.(1)求此二次函數解析式；(2)點為點關于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結、、，求和的最小值.25．（本小題滿分8分）解:(1)∵點A、B的坐標分別為（-1,0）、（3,0），∴解得∴二次函數解析式為.……………2分（2）可求點C的坐標為（1，）∴點D的坐標為（1，）.可求直線AD的解析式為.由題意可求直線BK的解析式為.∵直線的解析式為,∴可求出點K的坐標為(5,).易求.∴四邊形ABKD是菱形.∵菱形的中心到四邊的距離相等，∴點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2，）.……………5分(3)∵點D、B關于直線AK對稱,∴的最小值是.過K作KF⊥x軸于F點.過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q,∴KP⊥AD.∵AK是∠DAB的角平分線,∴.∴的最小值是.即BP的長是的最小值.∵BK∥AD,∴.在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.∴的最小值為8.……………8分6、（2012朝陽二模第第25題8分）25.在平面直角坐標系中，拋物線經過A（－3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.（1）求該拋物線的解析式；（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最??？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.25.解：（1）∵拋物線經過A（－3,0），B（4,0）兩點，∴解得∴所求拋物線的解析式為.……………2分（2）如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7.∵BD＝BC，∴.………………3分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ=∠CDP.∵BD＝BC，∴∠DCB=∠CDB.∴∠CDQ=∠DCB.∴DQ∥BC.∴△ADQ∽△ABC.∴.∴.∴.解得.………4分∴.………5分∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為.（3）設拋物線的對稱軸與x軸交于點E.點A、B關于對稱軸對稱，連接BQ交該對稱軸于點M.則，即.…………6分當BQ⊥AC時，BQ最小.…………………7分此時，∠EBM=∠ACO.∴.∴.∴，解得.∴M（，）.……………8分即在拋物線的對稱軸上存在一點M（，），使得MQ＋MA的值最小.二、代數最值問題1、（2012豐臺二模25題8分）25．如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標系xOy中，A（，0），C（0，2）．(1)拋物線經過點B、C，求該拋物線的解析式；（2）將矩形OABC繞原點順時針旋轉一個角度（0°<<90°），在旋轉過程中，當矩形的頂點落在（1）中的拋物線的對稱軸上時，求此時這個頂點的坐標；（3）如圖（2），將矩形OABC繞原點順時針旋轉一個角度（0°<<180°），將得到矩形OA’B’C’，設A’C’的中點為點E，聯(lián)結CE，當°時，線段CE的長度最大，最大值為．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴拋物線的對稱軸為x=．∴b=．……1分∴二次函數的解析式為：．……2分(2)①當頂點A落在對稱軸上時，設點A的對應點為點A’，聯(lián)結OA’，設對稱軸x=與x軸交于點D，∴OD=．∴OA’=OA=．在Rt△OA’D中，根據勾股定理A’D=3．∴A’(，-3)．……4分②當頂點落C對稱軸上時(圖略)，設點C的對應點為點C’，聯(lián)結OC’，在Rt△OC’D中，根據勾股定理C’D=1．∴C’(，1)．……6分(3)120°，4．……8分2、（2012西城二模第25題8分）25．在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為M，直線，點為軸上的一個動點，過點P作軸的垂線分別交拋物線和直線于點A，點B.⑴直接寫出A，B兩點的坐標（用含的代數式表示）；⑵設線段AB的長為，求關于的函數關系式及的最小值，并直接寫出此時線段OB與線段PM的位置關系和數量關系；(3)已知二次函數（，，為整數且），對一切實數恒有≤≤，求，，的值.25．解：(1)，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分圖10(2)=AB==.圖10∴==.﹍﹍3分∴當時，取得最小值.﹍﹍4分當取最小值時，線段OB與線段PM的位置關系和數量關系是OB⊥PM且OB=PM.(如圖10)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3)∵對一切實數恒有≤≤，∴對一切實數，≤≤都成立.()①當時，①式化為0≤≤.∴整數的值為0.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分此時，對一切實數，≤≤都成立.()②③即對一切實數均成立.②③由②得≥0()對一切實數均成立.④⑤∴④⑤