高中不等式講義及例題

不等式一、知識(shí)體系：二、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1.不等式的基本性質(zhì)及推論：(1)如果，那么，如果，那么．(對稱性)即：；。(2)如果，且，那么．(傳遞性)即，。(3)如果，那么．即。(4)如果，且，那么．(相加法則)即，(5)如果，且，那么；如果，且，那么(6)如果．(相乘法則)(7)若(8)若2．不等式的證明：（1）幾個(gè)重要的不等式：設(shè)、是兩個(gè)正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)．均值不等式定理：若，，則，即．常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有=1\*GB3①若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值．=2\*GB3②若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值．（2）不等式的證明方法：=1\*GB3①比較法：作差作商后的式子變形,判斷正負(fù)或與1比較大小。=2\*GB3②綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立的證明方法。邏輯關(guān)系是：思維特點(diǎn)：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論。=3\*GB3③分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。邏輯關(guān)系是：思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法。=4\*GB3④反證法：正難則反。先假定要證不等式的反面成立,然后推出與已知條件(或已知真命題或定理、公理、定義)矛盾的結(jié)論,從而斷定反證假定錯(cuò)誤,因而要證不等式成立。=5\*GB3⑤放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小來證明不等式成立。常用的放縮方法有：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；將分子或分母放大（或縮?。?；利用基本不等式，如：；；利用常用結(jié)論：；；（程度大）；（程度?。?6\*GB3⑥換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.=7\*GB3⑦構(gòu)造法：過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；=8\*GB3⑧數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．3．不等式的求解：（1）一元二次不等式的解法：先將不等式化為或的形式，然后求出對應(yīng)方程的根（若有根的話），再寫出不等式的解：大于時(shí)兩根之外，小于時(shí)兩根之間；或者利用二次函數(shù)的圖象來寫出一元二次不等式的解集。（2）分式不等式的解法：主要是轉(zhuǎn)化為，再用數(shù)軸標(biāo)根法求解。（3）高次不等式的解法：主要利用數(shù)軸標(biāo)根法進(jìn)行求解。（4）絕對值不等式的求解：；（5）根式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的求解：利用根式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為普通的不等式（組）進(jìn)行求解。（6）含參不等式的求解：具體問題具體分析，基本模型依然是前面幾種不等式，靈活利用前面的方法。4．不等式的綜合應(yīng)用。不等式比較靈活，可以和數(shù)學(xué)的很多知識(shí)相結(jié)合考察，如集合、函數(shù)、數(shù)列等等。在面對這樣的綜合性比較強(qiáng)的習(xí)題時(shí)，利用基本的概念和定理，熟練利用基本技巧，不斷的分析，將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)一個(gè)小的習(xí)題來求解，是一般的求解思路?！纠}】已知，求證?！纠恳阎猘、b，比較與的大小。【例三】若【例四】已知，，，，。（1）通過某種“試驗(yàn)”，你能很快地猜測出A、B、C、D的大小關(guān)系嗎？（2）證明你的“猜測”?！纠濉恳阎?，求證.【例六】已知a<b<0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【例七】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④。A．1 B．2 C．3 D．【例八】若（）A． B．C． D．【例九】設(shè)x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三數(shù)()A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2【例十】若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為多少？【例十一】若0<a<b，且a+b＝1，則a，b，，2ab，a2+b2從小到大的順序是_______。【例十二】已知，則的取值范圍是；【例十三】已知都是正數(shù)，求證：①如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；②如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值?！纠摹恳阎?，且，則的最小值是【例十五】已知：a，b是正常數(shù)，x，y∈R*，且a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a、b的值．【例十六】已知a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：【例十七】設(shè)a,bR+，求證：【例十八】已知，求證：【例十九】已知x、y均為正數(shù)，設(shè)M=,N=,試比較M和N的大小【例二十】已知a，b∈R，且a+b=1.求證：【例二十一】若a,b,c,dR+，求證：【例二十二】求證：?！纠咳魓,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個(gè)小于2?！纠摹吭O(shè)0<a,b,c<2，求證：，不可能同時(shí)大于1。【例二十五】已知,求證-(a。【二十六】解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1【例二十七】解關(guān)于x的不等式。【例二十八】設(shè)函數(shù)f(x)，求使f(x)≥的x取值范圍．【例二十九】k為何值時(shí)，