2023-2024學(xué)年江蘇省南京市棲霞區(qū)伯樂中學(xué)九年級（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市棲霞區(qū)伯樂中學(xué)九年級（上）期初數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，共12分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.以下調(diào)查中，最適合采用普查的是(

)A.了解全市中學(xué)生的睡眠時(shí)間 B.了解某班同學(xué)的身高情況

C.了解一批燈泡的使用壽命 D.了解長江的水質(zhì)情況2.當(dāng)x=1時(shí)，下列分式無意義的是(

)A.x?1x B.x+1x C.xx?13.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是(

)A.當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形

B.當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形

C.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形

D.當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形4.無理數(shù)10在(

)A.2和3之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間5.已知點(diǎn)A(x1,y1)B(x2A.y1+y2<0 B.y16.如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕為EF，EF與AC交于點(diǎn)O.若AE=5，BF=3，則AO的長為(

)A.5

B.325

C.

二、填空題（本大題共10小題，共20分）7.今年我市有5萬名考生參加中考，為了解這些考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取1000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)調(diào)查中樣本容量是______．8.若x?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

．9.一個(gè)不透明的口袋中裝有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一球，摸到______(填“紅”、“黃”或“白”)球的可能性最?。?0.計(jì)算：24?61611.若反比例函數(shù)y=k?2x的圖象，在每個(gè)象限內(nèi)y都隨x的增大而增大，則k的值可以是______.(寫出一個(gè)滿足條件的即可)12.以?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于BC邊的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若A點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,1)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為

．

13.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE.若AD//BC，則∠BDE的度數(shù)為______°.14.已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,?1)，若x<?2，則y的取值范圍為______．15.如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG.若AD=3，AB=CF=2，則CG的長為

．

16.若關(guān)于x的方程mx?1x?1=3無解，則m的值為______．三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6分）17.解分式方程：x?2x?3四、解答題（本大題共8小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.(本小題10.0分)

(1)計(jì)算：(5+2)(5?2)+(519.(本小題6.0分)

目前，我國的空氣質(zhì)量得到了大幅度的提高.現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了某城市1個(gè)月的空氣質(zhì)量情況，并將監(jiān)測的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題：

(1)本次調(diào)查中，一共調(diào)查的天數(shù)為______天.

(2)將條形圖補(bǔ)充完整；

(3)估計(jì)該城市一年(以365天計(jì)算)中，空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)的天數(shù)．

20.(本小題6.0分)

在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種球共40個(gè)，小穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：摸球的次數(shù)n405060708090100200摸到白球的頻數(shù)22263036404650100摸到白球的頻率0.550.520.500.510.500.510.500.50(1)請估計(jì)：當(dāng)摸球次數(shù)n很大時(shí)，摸到白球的概率將會(huì)接近______(結(jié)果精確到0.01)；

(2)估算盒子里有白球______個(gè)；

(3)若要使摸到白球的概率為0.6，求需往盒子里再放入多少個(gè)白球？21.(本小題8.0分)

如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF．

(1)求證：四邊形BEDF是菱形；

(2)若AC=8，AE=2，求四邊形BEDF的周長．22.(本小題6.0分)

如圖，在?ABCD中，利用直尺和圓規(guī)在邊AD上作點(diǎn)P，使點(diǎn)P分別滿足以下要求(不寫作法，保留作圖痕跡)：

(1)在圖①中作出點(diǎn)P，使得BP=CP；

(2)在圖②中作出點(diǎn)P，使得BP=AP+BC．

23.(本小題8.0分)

某蓄水池員工對一蓄水池進(jìn)行排水，該蓄水池每小時(shí)的排水量V(m3/?)與排完水池中的水所用的時(shí)間t(?)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求V與t的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若每小時(shí)排水量不超過2000m3，則排完水池中的水至少需要______?；

(3)由于該蓄水池員工有其他任務(wù)，為了提前2?排完水池中的水，需將原計(jì)劃每小時(shí)的排水量增加24.(本小題8.0分)

【閱讀理解】對于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a?2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，(只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b=2ab).

【獲得結(jié)論】在a+b≥2ab(a、b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值p，則a+b≥2p，只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2p．

【探索應(yīng)用】根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

(1)若m>0，只有當(dāng)m=______時(shí)，m+4m有最小值______；

(2)已知點(diǎn)Q(?4,?5)25.(本小題10.0分)

如圖，P是正方形ABCD的邊CD右側(cè)一點(diǎn)，CP=CD，∠PCD為銳角，連接PB，PD．

(1)如圖①，若PD=PC，求∠BPD的度數(shù)；

(2)如圖②，作CE平分∠PCD交PB于E．

①∠BEC的度數(shù)是______°；

②探究PD，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

答案和解析1.【答案】B

解：A.了解全市中學(xué)生的睡眠時(shí)間，適宜采用抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.了解某班同學(xué)的身高情況，適合普查，故本選項(xiàng)符合題意；

C.了解一批燈泡的使用壽命，適宜采用抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.了解長江的水質(zhì)情況，適宜采用抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：B．

由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．

本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．2.【答案】C

解：A、當(dāng)x=1時(shí)，分式有意義，不符合題意；

B，當(dāng)x=1時(shí)，分式有意義，不符合題意；

C、當(dāng)x=1時(shí)，x?1=0，分式無意義，符合題意；

D、當(dāng)x=1時(shí)，x+1≠0，分式有意義，不符合題意，

故選：C．

【分析】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．

直接利用分式有意義的條件分析得出答案．3.【答案】D

解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確；

B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故B選項(xiàng)正確；

C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故C選項(xiàng)正確；

D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)4.【答案】B

【解析】【分析】

此題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)的方法是解本題的關(guān)鍵．

由9<10<16可以得到答案．

【解答】

5.【答案】D

解：∵反比例函數(shù)y=?2x的圖象在二、四象限，而x1<0<x2，

∴點(diǎn)A(x1,y1)在第二象限反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，B(x2,y2)在第四象限反比例函數(shù)6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查矩形的性質(zhì)、折疊軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．由矩形的性質(zhì)，折疊軸對稱的性質(zhì)，可求出AF=FC=AE=5，由勾股定理求出AB，AC，進(jìn)而求出OA即可．

【解答】

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，

∴∠EFC=∠AEF，

由折疊可得∠AFE=∠EFC，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF=5，

由折疊得，F(xiàn)C=AF，OA=OC，

∴BC=3+5=8，

在Rt△ABF中，AB=52?32=4，

在Rt△ABC中，AC=7.【答案】1000

解：今年我市有5萬名考生參加中考，為了解這些考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取1000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)調(diào)查中樣本容量是1000．

故答案為：1000．

總體是指考查的對象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，首先找出考查的對象．從而找出總體、個(gè)體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．

本題考查總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，理解樣本容量的定義是正確判斷的關(guān)鍵．8.【答案】x≥1

【解析】【分析】

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．

直接利用二次根式有意義的條件得出答案．

【解答】

解：若x?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

則x?1≥0，

解得：x≥1．

故答案為：x≥19.【答案】紅

解：摸到紅球的可能性為：11+2+3=16，

摸到黃球的可能性為：21+2+3=13，

摸到白球的可能性為：31+2+3=12，10.【答案】6解：原式=26?6=6．11.【答案】1(答案不唯一)

解：∵反比例函數(shù)y=k?2x的圖象，在每個(gè)象限內(nèi)y都隨x的增大而增大，

∴k?2<0，

解得k<2，

∴k可以等于1．

故答案為：1(答案不唯一)．

先根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得出k?2<0，進(jìn)而可得出結(jié)論．

本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象，先根據(jù)題意求出12.【答案】(2,?1)

解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴點(diǎn)A和C關(guān)于對角線的交點(diǎn)O對稱，

又∵O為原點(diǎn)，

∴點(diǎn)A和C關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∵點(diǎn)A(?2,1)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,?1)，

故答案為(2,?1)．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行四邊形的性質(zhì)解答．

根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，再結(jié)合?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．13.【答案】15

解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=50°，AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∵AD//BC，

∴∠ABC=∠DAB=50°，

∴∠ADB=180°?50°2=65°，

∴∠BDE=∠BDA?∠ADE=65°?50°=15°，

故答案為：15．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠ADE=∠ABC=50°，AB=AD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠DAB=50°14.【答案】0<y<3解：由題意，∵y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,?1)，

∴k=3×(?1)=?3．

∴函數(shù)解析式y(tǒng)=?3x．

∴當(dāng)x=?2時(shí)，y=32．

又x<?2，

∴0<y<32．15.【答案】32【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到BF和BE的長，然后可以證明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，CD=AB，DC//AB，

∵AD=3，AB=CF=2，

∴CD=2，BC=3，

∴BF=BC+CF=5，

∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點(diǎn)，

∴BF=BE=5，DG=EG，

延長CG交BE于點(diǎn)H，

∵DC//AB，

∴∠CDG=∠HEG，

在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∠DGC=∠EGH，

∴△DCG≌△EHG(ASA)，

∴DC=EH，CG=HG，

∵CD=2，BE=5，

∴HE=2，BH=5?2=3，

∵∠CBH=60°，BC=BH=3，

∴△CBH是等邊三角形，

∴CH=BC=3，

∴CG=12CH=316.【答案】1或3

解：分式方程去分母得：mx?1=3x?3，

解得x=?2?m?3，

∵該方程無解，

∴x=?2?m?3是增根或m?3=0，

∵x=1是該方程的增根，

∴?2?m?3=1，

∴m=1或3．

故答案為：1或3．

先假設(shè)方程有解，利用含有m的代數(shù)式表示方程的解，再根據(jù)解可判斷出該方程無解符合根為增根的情況，將方程中的分母等于017.【答案】解：x?2x?3x?2=1，

兩邊同乘x(x?2)，得

x2?4x+4?3x=x2?2x，

解得：x=【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．

此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．18.【答案】解：(1)原式=(5)2?22+5?45+4

=10?45【解析】(1)利用乘法公式計(jì)算即可；

(2)先計(jì)算括號，再計(jì)算乘除．

本題考查二次根式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，完全平方公式．19.【答案】30

解：(1)調(diào)查的總天數(shù)為：15÷50%=30(天)，

故答案為：30；

(2)空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)為：30?15?3=12(天)，

補(bǔ)全圖形如下：

(3)根據(jù)題意得：

1230×365=146(天)，

答：估計(jì)該城市一年(以365天計(jì)算)中，空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)的天數(shù)為146天．

(1)用“良”的天數(shù)除以其所占百分比可得總天數(shù)；

(2)總天數(shù)減去良和輕度污染的天數(shù)求得優(yōu)的天數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全圖形即可得；

(3)用365天乘以空氣質(zhì)量未達(dá)到優(yōu)的天數(shù)所占的百分比即可得出答案．

20.【答案】0.51

20

解：(1)∵摸到白球的頻率為0.51，

∴當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.51．

故答案為：0.51；

(2)∵摸到白球的頻率為0.51，黑、白兩種球共40個(gè)，

∴估算盒子里有白球40×0.51≈20(個(gè))．

故答案為：20；

(3)設(shè)需往盒子里再放入x個(gè)白球，

根據(jù)題意得20+x40=0.6，

解得x=4，

答：需往盒子里再放入4個(gè)白球．

(1)由表格信息計(jì)算出摸到白球頻率的平均值，即可得到當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的概率；

(2)根據(jù)摸到白球的頻率為0.51，黑、白兩種球共40個(gè)，即可求出答案；

(3)根設(shè)需往盒子里再放入x個(gè)白球，根據(jù)摸到白球的頻率為0.6，黑、白兩種球共40個(gè)，即可求出答案．

本題考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：部分的具體數(shù)目=總體數(shù)目21.【答案】(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖所示：

在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA=OC=OB=OD，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∵OD=OB，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵BD⊥EF，

∴四邊形BEDF是菱形；

(2)解：∵AC=8，

∴OA=OB=4，

∵AE=2，

∴OE=4?2=2，

在△EOB中，根據(jù)勾股定理，得BE=25，

∵四邊形BEDF是菱形，

∴四邊形BEDF的周長為2【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得BD⊥AC，OA=OB=OC=OD，根據(jù)AE=CF，可得OE=OF，即可得證；

(2)根據(jù)已知條件，可得OE=2，OB=4，根據(jù)勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周長．

本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：(1)如圖①，點(diǎn)P即為所求；

(2)如圖②，點(diǎn)P即為所求．

【解析】(1)作線段BC的垂直平分線交AD于點(diǎn)P即可；

(2)延長DA到E，使得AE=AD，連接BE，作線段BE的垂直平分線交AD于點(diǎn)P，連接BP即可．

本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．23.【答案】t≥9

解：(1)根據(jù)題意得每小時(shí)的排水量V(m3/?)與排完水池中的水所用的時(shí)間t(?)之間成反比例函數(shù)關(guān)系，

設(shè)函數(shù)表達(dá)式為V=kt，把(6,3000)代入V=kt，

得3000=k6．

解得：k=18000，所以V與t之間的函數(shù)表達(dá)式為：V=18000t；

把V=2000代入V=18000t，得t=9，

∵V隨t的增大而減小，

∴每小時(shí)排水量不超過2000m3，那么排完水池中的水所用的時(shí)間t(?)滿足的條件是t≥9．

故答案為：t≥9；

(2)設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)的排水量為xm3，則實(shí)際每小時(shí)的排水量為(1+25%)xm3，

18000x?18000(1+0.25)x=2，

解得x=1800，

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=1800是原方程的根，

答：原計(jì)劃每小時(shí)的排水量是1800m24.【答案】2

4

解：