湖北省黃岡市2022-2023學年高一上學期元月期末數學試題（教師版含解析）

2022-2023學年高一元月期末考試數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號?考場號?座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一?選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出即可.【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定為“”.故選:D.2.已知集合則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合，求函數的定義域得集合，再求即可.【詳解】由得，函數有意義滿足，即，解得：，所以，故選：D3.下列函數中最小正周期為且是奇函數的為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據正切函數的周期與奇偶性可判斷AB，根據誘導公式化簡CD的解析式，再根據正余弦函數的奇偶性可判斷.【詳解】的最小正周期為,故A錯誤；為非奇非偶函數，故B錯誤；，易知為奇函數，且最小正周期為，故C正確；為偶函數，故D錯誤.故選:C.4.衡量病毒傳播能力的一個指標叫做傳播指數，它指的是在自然情況下(沒有外力介人，同時所有人都沒有免疫)一個感染者傳染的平均人數.它的計算公式是：確診病例增長率系列間隔，其中系列間隔是指在一個傳播鏈中兩例連續(xù)病例的間隔時間(單位：天).根據統(tǒng)計，某種傳染病例的平均增長率為，兩例連續(xù)病例間隔時間平均為4天.根據以上數據計算，若甲感染這種傳染病，則經過4輪傳播后由甲引起的得病總人數(不含甲)為()A.81人 B.120人 C.243人 D.36人【答案】B【解析】【分析】根據確診病例增長率系列間隔，先求得，然后求經過4輪傳播后由甲引起的得病總人數.【詳解】由題意得：，所以經過4輪傳播后由甲引起的得病的總人數約為：.故選：B.5.已知，則有()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將化到同一個單調區(qū)間上的同名函數比大小，再將與比大小.詳解】，，因為在為增函數，所以，又，所以，故選：C6.已知角的終邊過點，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三角函數的定義和同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】由三角函數的定義可得：，也即，由可得：，解得：或(舍去)，因為角的終邊過點，所以，則，故選：.7.已知是定義在R上的奇函數，，對，且有，則關于的不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題干條件得到函數在R上的單調遞增，且，換元后得到，分三種情況，由單調性解不等式得到，從而得到.【詳解】因為對，且有，所以上，單調遞增，因為是定義在R上的奇函數，所以在R上的單調遞增，又，所以，，令，則，當時，顯然滿足，當時，因為，在R上的單調遞增，所以當時，滿足，當時，因為，在R上的單調遞增，所以當時，滿足，故，即，解得.故選：B8.已知函數若關于的方程有個不同的實數根，則實數的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，作出函數的圖象，分析可知關于的方程在內有兩個不等的實根，令，利用二次函數的零點分布可得出關于的不等式組，解之即可.【詳解】令，作出函數的圖象如下圖所示：因為關于的方程有個不同的實數根，則關于的方程在內有兩個不等的實根，設，則函數在內有兩個不等的零點，所以，，解得.故選：A.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列計算結果為有理數的是()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據特殊角的三角函數判斷A，根據對數的運算性質與換底公式判斷BCD.【詳解】，不是有理數，故A錯誤；，是有理數，故B正確；，是有理數，故C正確；，是有理數，故D正確.故選:BCD10.若，則使“”成立的一個必要不充分條件是()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】若，,則是的必要不充分條件，解指數不等式可判斷A；取可判斷B；C選項中利用可判斷；D選項中利用指數函數的值域進行判斷.【詳解】對于A，由可得，則“”是“”的必要不充分條件，故A正確；對于B，當時，，此時，得不到，故B錯誤；對于C，時，，此時,故“”不是使“”成立的充分條件.因為,所以.當時，必有.所以“”是使“”成立的必要條件.故“”是使“”成立必要不充分條件，故C正確；對于D，當時，，此時,故“”不是使“”成立的充分條件.當時，與中至少有一個正數，不妨設,則,又因為，則必有,所以“”是使“”成立的必要條件.故“”是使“”成立必要不充分條件，故D正確.故選;ACD.11.函數，以下正確的是()A.若的最小正周期為，則B.若，且，則C.當時，在單調且在不單調，則.D.當時，若對任意的有成立，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由函數周期公式可判斷A；由題意得，結合函數周期公式可判斷B；若在單調，則且，結合得，則，驗證題設條件可判斷C；由題意得，即，求得最小值可判斷D.【詳解】，，，故A錯誤；，又，且，，，，故B正確；當時，若在單調，則，且，，又，，則，由，得，此時在單調且在不單調，故C正確；當時，，又因為對任意的有成立，則，即，當時，取最小值，故D正確．故選：BCD.12.空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態(tài).這些曲線在數學上稱為懸鏈線.懸鏈線在工程上有廣泛的應用.在恰當的坐標系中，這類函數的表達式可以為(其中為非零常數)，則對于函數以下結論正確的是()A.若，則為偶函數B.若，則函數的零點為0和C.若，則函數的最小值為2D.若為奇函數，且使成立，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據函數的奇偶性定義判斷A即可；利用函數零點的定義及指對運算即可求得函數的零點，從而判斷B即可；根據得，討論的符號從而確定函數值域，從而判斷C即可；根據含參不等式能成立，利用指數函數的性質進行參變分離，結合基本不等式求得最值，即可得的取值范圍，從而判斷D即可.【詳解】解：對于A，當時，，函數定義域為，所以，則為偶函數，故A正確；對于B，若，，則函數，整理得，即，解得，，所以函數的零點為0和，故B正確；對于C，若，則，當時，，當且僅當，即時等號成立；當時，，當且僅當，即時等號成立；所以，故C錯誤；對于D，若為奇函數，則，所以，所以，則，若使成立，則，若，則，，所以即能成立，又，當且僅當時，即時，等號成立，所以，則的最小值為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.函數的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】由解析式可得，求解即可.【詳解】由題意可得,故，即.故函數的定義域為.故答案為:.14.已知函數的圖象過定點，且點在指數函數圖象上，則__________.【答案】【解析】【分析】由對數函數的圖象可得，故可求的解析式，根據對數的運算即可求解.【詳解】在中，令,可得,故.設,由題意可得,解得.所以，.故答案為:.15.已知，則的最小值為__________.【答案】##1.6【解析】【分析】由可得，又，再用“乘1法”即可求最小值.【詳解】因為，所以.所以,當且僅當時等號成立.故的最小值為.故答案為:.16.已知，，若對，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分析可知，，求出在上的最小值為，可知對任意的恒成立，利用參變量分離法可求得實數的取值范圍.【詳解】若對，總存在，使得成立，則，當時，令，則，由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，所以，當時，，故當時，，即對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，所以，當時，，故.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.(1)已知，求的值.(2)已知，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用誘導公式及同角三角函數的基本關系可得原式，代值求解即可；(2)將兩邊平方可求，從而可求，利用平方差公式可得，故可求解.【詳解】(1)原式=(2)兩邊平方得.∴18.設函數.(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若，且都有，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據一元二次不等式的解集即可求解；(2)根據題意可得函數關于直線對稱，利用二次函數的對稱軸得出，再結合基本不等式即可求解.【小問1詳解】依題意可知：和是方程的兩根，則有且∴【小問2詳解】由知關于直線對稱，即當且僅當時等號成立.∴的最大值為19.已知函數為奇函數.(1)求函數的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時相應的取值集合.(2)求函數的單調遞減區(qū)間.【答案】(1)時取最小值；時取最大值2;(2)與.【解析】【分析】(1)根據奇函數的性質可得，結合可求從而可得，根據正弦函數的性質即可求解；(2)，根據正弦函數的單調性即可求解.【小問1詳解】依題意有即，為奇函數，滿足題意.當時取最小值；當時取最大值2.【小問2詳解】依題意，若單調遞減，則又，令得其減區(qū)間為與.20.某兒童玩具廠生產的某一款益智玩具去年年銷量為2百萬件，每件銷售價格為20元，成本16元.今年計劃投入適當廣告費進行促銷.預計該款玩具的年銷售量百萬件與年廣告費用百萬元滿足，現(xiàn)已知每件玩具的銷售價為年平均每件玩具所占廣告費的與原銷售價之和.(1)當投入廣告費為2百萬元時，要使該玩具的年利潤不少于12百萬元，求的取值范圍；(2)若時，則當投入多少百萬元浩費該玩具生產廠獲得最大利潤.【答案】(1)；(2)當廣告費2百萬時最大利潤為萬元.【解析】【分析】(1)年利潤，解即可；(2)當時，,利用函數的單調性即可求解.小問1詳解】當時，銷售價為，年利潤，解得.【小問2詳解】當時，年利潤，設，設，則，因為，所以，所以，所以，所以.因為，所以，所以在上單調遞減，所以當時,所以.綜上：當廣告費2百萬時最大利潤為萬元.21.已知函數，函數圖象與的圖象關于對稱.(1)若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；(2)不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依題意可得，再根據復合函數的單調性可列出不等式，結合二次不等式恒成立求解即可；(2)把問題轉化為在上恒成立，分離參數，轉化為最值比較即可.【小問1詳解】因為函數圖象與的圖象關于對稱.所以，在上單調遞減，令則在上單調遞增，且對恒成立.，且當時，在上單調遞增，符合題意；當時，的對稱軸為，在上單調遞增，符合題意.故t的取值范圍為.【小問2詳解】依題意有且不等式在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，當時不等式成立，所以必須在上恒成立.令而在上單調遞增，綜上：a的取值范圍為.22.已知為上的偶函數，當時函數.(1)求并求的解析式；(2)若函數在的最大值為，求值并求使不等式成立實數的取值范圍.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】(1)由為上的偶函數，得，可求的值；當時，代入求得當時的解析式；(2)討論對稱軸的位置，確定的單調性，根據在的最大值為求得，根據的對稱性與單調性解不等式得的范圍.【小問1詳解】∵為R上的偶函數，∴，∴關于x=1對稱，∴.又，，當即時，，故.【小問2詳解】當時在上單調遞增，的最小值為，與題意矛盾，同理當對稱軸即時，則在上單調遞