浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

寧波市2022學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可．【詳解】，；∴．故選：A．2.下列選項(xiàng)中滿足最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用周期排除A，B，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性在C，D中可得到正確答案.【詳解】對選項(xiàng)A，B其周期為，選項(xiàng)C，D其周期為，故排除選項(xiàng)A，B；對于C：在上為單調(diào)遞減，則在上為單調(diào)遞增，故C正確；對于D：在上為單調(diào)遞增，則在上為單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：C3.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算函數(shù)對稱軸，結(jié)合函數(shù)開口方向分析可得該函數(shù)的遞增區(qū)間，根據(jù)充分必要性辨析可得答案.【詳解】對稱為軸，若，又開口向上，在上單調(diào)遞增，又，故在上單調(diào)遞增成立；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，不成立，則得，不能推出，故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)(且)過點(diǎn)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)可求，再根據(jù)函數(shù)有意義列式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，，解得或(舍)，因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，所以，得，由有意義，得，得且，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B5.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】已知角終邊經(jīng)過，所以，所以.故選：D6.2022年11月15日，聯(lián)合國宣布，世界人口達(dá)到80億，在過去的10年，人口的年平均增長率為1.3%，若世界人口繼續(xù)按照年平均增長率為1.4%增長，則世界人口達(dá)到90億至少需要()年(參考數(shù)據(jù)：，，)A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.8.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式，通過取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)世界人口達(dá)到90億至少需要年，由題意，得，因此世界人口達(dá)到90億至少需要8.5年，故選：B7.函數(shù)的圖象最有可能的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再通過取特殊點(diǎn)確定正確選項(xiàng).【詳解】有意義可得，所以且，所以且且，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，B，D錯誤，又，C錯誤，選項(xiàng)A符合函數(shù)的解析式，故選：A.8.已知，且，則的最小值為()A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因?yàn)椋?，令，則且，代入中得：當(dāng)即時(shí)取“=”,所以最小值為1.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列不等式錯誤的是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式基本性質(zhì)，逐一分析給定的四個(gè)不等式的正誤，可得答案.【詳解】對于A中的不等式，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A中的不等式不成立；對于B中的不等式，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B中的不等式不成立；對于C中的不等式，因?yàn)?，所以，化簡得出，正確；對于D中的不等式，因?yàn)?，所以在的情況下不成立.故選：ABD10.以下命題正確的是()A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)的最小值為C.為三角形內(nèi)角，則“”是“”的充要條件D.設(shè)是第一象限，則為第一或第三象限角【答案】AD【解析】【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A正確，對選項(xiàng)B，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷B錯誤，對選項(xiàng)C，利用特值法即可判斷C錯誤，對選項(xiàng)D，根據(jù)題意得到，，即可判斷D正確.【詳解】對選項(xiàng)A，，因?yàn)椋?，令，所以，因?yàn)?，為增函?shù)，，為減函數(shù)，所以的增區(qū)間為，故A正確.對選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.因?yàn)?，無解，故等號取不到，即函數(shù)最小值不是，故B錯誤.對選項(xiàng)C，若，則，所以若為三角形內(nèi)角，則，不滿足充要條件，故C錯誤.對選項(xiàng)D，若是第一象限，則，，所以，，即為第一或第三象限角，故D正確.故選：AD11.如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，軸，軸，在軸上，在角的終邊上.由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義可知，，的值分別等于線段，的長，且，則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；【答案】BCD【解析】【分析】利用當(dāng)時(shí)，，可得各個(gè)函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的圖象的對稱性得到函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又各個(gè)函數(shù)都有零點(diǎn)，由此可判斷ACD；再結(jié)合函數(shù)和的圖象，可判斷B.【詳解】由已知可知，當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，，對于A，當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因，所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，綜上所述：函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又為奇函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；作出函數(shù)和的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，所以，又由于為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).故選：BCD12.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則使方程有解的實(shí)數(shù)可以為()A. B.2 C. D.1【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡為，設(shè)，且，根據(jù)單調(diào)性，得到在時(shí)單調(diào)遞增，故，得到，代入，得到，設(shè)，，，得到，再根據(jù)單調(diào)性，可得到的范圍.【詳解】，，，，設(shè)，，明顯地，單調(diào)遞增，，，，，令，，，，設(shè)，則有解，等價(jià)于與有交點(diǎn)，明顯地，單調(diào)遞減，且，故，故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過化簡得到，設(shè)，利用的單調(diào)性，得到與的關(guān)系，進(jìn)而化簡得到，進(jìn)而利用與有交點(diǎn)，得到的取值范圍.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”的否定是__________．【答案】，【解析】【詳解】全稱命題的否可得，命題的否定為“，”．答案：，．14.計(jì)算______.【答案】【解析】【分析】對數(shù)、根式與指數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可.【詳解】原式，故答案為：.15.已知，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】切化弦展開后化簡代入計(jì)算即可.【詳解】∵故答案為：.16.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】對分大于0，小于0，等于0，同時(shí)利用函數(shù)圖像及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析求解即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，即，如圖所示：由圖知此時(shí)函數(shù)無最值，所以，②當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，由函數(shù)的最小值為，此時(shí)，所以函數(shù)最小值為，所以，即，解得：或(舍去)，③當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以最小值，由時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為滿足題意，綜上所述，當(dāng)函數(shù)最小值為時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故答案為：.四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知：在上恒成立；：存在使得；：存在，使得.(1)若且是真命題，求實(shí)數(shù)的范圍；(2)若或是真命題，且是假命題，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)且是真命題等價(jià)于、均是是真命題，將對應(yīng)的的范圍分別計(jì)算取交集即可；(2)或是真命題，且是假命題等價(jià)于、一真一假，故分若真假，或若假真兩類考慮，最后取并集.【小問1詳解】若為真，則在上恒成立等價(jià)于，得；若為真，則存在使得等價(jià)于，得；且是真命題等價(jià)于、均是是真命題，故，故；【小問2詳解】若為真，等價(jià)于有解，則，若為真假，則，若為真，則，若為假，則或；或是真命題，且是假命題等價(jià)于、一真一假，若真假，則若假真，則，綜上：18.已知函數(shù).(1)求關(guān)于的不等式的解集；(2)若，求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.(2).【解析】【分析】(1)利用一元二次不等式的解法及對參數(shù)分類討論即可求解；(2)根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.小問1詳解】由，得，即，當(dāng)時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.【小問2詳解】由，得，解得，所以.因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為.19.已知函數(shù).(1)化簡，并求解；(2)已知銳角三角形內(nèi)角滿足，求的值.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)將函數(shù)中的切化弦，再分子分母同時(shí)乘以，利用二倍角公式及輔助角公式即可化簡，化簡后將代入解析式即可求得結(jié)果.(2)將代入解析式，再由已知求出的取值范圍，即可求出的值，再利用湊角及兩角和差公式代入數(shù)值即可求得結(jié)果.【小問1詳解】所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以又因?yàn)榍?，所以，則，因?yàn)?，所?/p>

所以.20.已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在上為增函數(shù)；(2)求使成立的的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則將函數(shù)化簡之后得出的表達(dá)式，再利用單調(diào)性的定義即可得出證明；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性解帶絕對值不等式即可得出的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)可得所以取任意，且，則易知，所以，而；所以，即所以函數(shù)在上為增函數(shù).【小問2詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)橛煽傻?，所以函?shù)為偶函數(shù)；根據(jù)(1)可知，在上為增函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞增；又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞減，由可得只需滿足即可，易知，所以即，解得；根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知21.近期，寧波市多家醫(yī)院發(fā)熱門診日接診量顯著上升，為了應(yīng)對即將到來的新冠病毒就診高峰，某醫(yī)院計(jì)劃對原有的發(fā)熱門診進(jìn)行改造，如圖所示，原發(fā)熱門診是區(qū)域(陰影部分)，以及可利用部分為區(qū)域，其中，米，米，區(qū)域?yàn)槿切?，區(qū)域?yàn)橐詾榘霃降纳刃危?(1)為保證發(fā)熱門診與普通診室的隔離，需在區(qū)域外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長度；(2)在可利用區(qū)域中，設(shè)置一塊矩形作為發(fā)熱門診的補(bǔ)充門診，求補(bǔ)充門診面積最大值.【答案】(1)(米)；(2)(平方米).【解析】【分析】(1)在直角三角形中由已知條件可求出和，則可求得，從而可求出的長，進(jìn)而可求得結(jié)果；(2)連接，設(shè)，則結(jié)合已知條件表示出，然后表示出矩形的面積，化簡變形后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)?，所以，所以的長為，所以隔離帶的總長度為(米)；【小問2詳解】連接，設(shè)，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取到最大值，所以補(bǔ)充門診面積最大值為(平方米).22.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)