北京市2022-2023學年上學期高二期末數(shù)學試題匯編-11等差數(shù)列（含解析）

第第頁北京市2022-2023學年上學期高二期末數(shù)學試題匯編-11等差數(shù)列（含解析）北京市2022-2023學年上學期高二期末數(shù)學試題匯編-11等差數(shù)列

一、單選題

1．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若是等差數(shù)列的前項和，，則（）

A．B．

C．D．

2．（2023春·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）

A．B．5C．9D．15

3．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若、、成等差數(shù)列，則（）

A．B．C．D．

4．（2023春·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則（）

A．10B．11C．12D．13

5．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列，1，4，…的第10項為（）

A．22B．23C．24D．25

6．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，，則當?shù)那绊椇妥畲髸r，的值為（）

A．5B．6C．7D．8

7．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）

A．1125塊B．1134塊C．1143塊D．1152塊

8．（2023秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，，則（）

A．4B．6C．8D．10

9．（2023秋·北京通州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的首項和公差d分別為（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列40，37，34，……中，第6項是（）

A．28B．25C．24D．22

二、填空題

11．（2023秋·北京·高二?？计谀┰诠顬榈牡炔顢?shù)列中，，則等于.

12．（2023秋·北京東城·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，則.

13．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）設隨機變量的分布列如下：

12345678910

給出下列四個結論：

①當為等差數(shù)列時，；

②當為等差數(shù)列時，公差；

③當數(shù)列滿足時，；

④當數(shù)列滿足時，時，.

其中所有正確結論的序號是.

14．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列各項均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個成立，且，．記．給出下列四個結論：

①可能為等差數(shù)列；

②中最大的項為；

③不存在最大值；

④的最小值為36．

其中所有正確結論的序號是．

15．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）3與7的等差中項為．

三、解答題

16．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）設數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項和為．從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．

條件①：，；

條件②：，．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

17．（2023春·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列前項和為，滿足．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若等比數(shù)列前項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，設，求數(shù)列的前項和．

條件①：；

條件②：；

條件③：．

18．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的的前項和為，從條件①條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：

(1)求的通項公式；

(2)若是等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.

①；②；③.

19．（2023春·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，為其前項和．若，設．

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設，求數(shù)列的前項和．

20．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設為無窮數(shù)列，給定正整數(shù)，如果對于任意，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．

(1)判斷下列兩個數(shù)列是否具有性質(zhì)；（結論不需要證明）

①等差數(shù)列：5，3，1，…；②等比數(shù)列：1，2，4，…．

(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)，，，且由該數(shù)列所有項組成的集合，求的通項公式；

(3)若既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列，求的最小值．

21．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，，且，的等差中項等于．

(1)求的通項公式；

(2)設，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．

22．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.

參考答案：

1．B

【分析】根據(jù)與關系計算求解.

【詳解】，

故選：B.

2．B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結合已知條件求解

【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，

因為，所以，

所以，所以，

故選：B

3．A

【分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.

【詳解】因為、、成等差數(shù)列，則.

故選：A.

4．B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式運算求解.

【詳解】由題意可知：數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

所以.

故選：B.

5．D

【分析】由題可得數(shù)列的首項及公差，即可得數(shù)列的通項公式及答案.

【詳解】由題可得數(shù)列首項為，公差為，

則數(shù)列通項公式為，

則數(shù)列的第10項為.

故選：D

6．A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求得的通項公式即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列的公差為，

則由題意可得，解得，

所以，，

當?shù)那绊椇妥畲髸r，只需，即，解得，

又，所以，

故選：A

7．B

【分析】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)求解．

【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，

設每層有環(huán)，則，，

是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，

所以，

所以，，

故選：B．

8．C

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.

【詳解】因為是等差數(shù)列，所以.

故選：C.

9．D

【分析】直接計算首項，根據(jù)等差數(shù)列的定義計算公差d.

【詳解】因為等差數(shù)列的通項公式，

所以首項，

公差.

故選：D.

10．B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念寫出通項公式，即可求出結果.

【詳解】由題意知為等差數(shù)列，且，則，所以，

故選：B.

11．3

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】由得，所以．

故答案為：3．

12．

【分析】利用已知條件求出公差，利用等差數(shù)列通項公式求解即可.

【詳解】設等差數(shù)列的公差為，

由，，

所以，

所以，

故答案為：.

13．①③④

【分析】根據(jù)題意可得，且,，，2，，10．對①②結合等差數(shù)列的性質(zhì)分析運算；對③根據(jù)等比數(shù)列求和以及分布列的性質(zhì)即可分析運算；對④根據(jù)遞推關系作差，結合累乘迭代即可求解．

【詳解】由題意可得：，且,，，2，，10，

對①：當為等差數(shù)列時，則，

可得，故，①正確；

對②：當為等差數(shù)列時,由①知，所以，

由于,，所以，解得：，故②錯誤；

對③：當數(shù)列滿足，2，時，滿足，，，2，，10，

則，

可得,，③正確；

對④：當數(shù)列滿足，2，時，則，

可得，,3，時,所以，

由于，所以，

因此，

由于，所以，因此，

當也符合，故，④正確．

故答案為：①③④

【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列給出與的遞推關系，要求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求．同時特別要注意驗證的值是否滿足“”的一般性通項公式．

14．③④

【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.

【詳解】當時，由得，由得，

于是與僅只一個為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯誤；

令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項為1），

若，則，

，而，，

因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，

若，則，

，而，，

因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，

從而的最小值為36，④正確；

當時，取，數(shù)列為：

，滿足題意，

取，，中最大的項不為，②錯誤；

由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，

所以所有正確結論的序號是③④.

故答案為：③④

【點睛】關鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結合新定義探求數(shù)列的相關性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.

15．5

【分析】由等差中項的定義，若成等差數(shù)列，則即可求得.

【詳解】設3與7的等差中項為，則由等差中項的定義得.

故答案為：5

16．(1)答案見解析；

(2)答案見解析.

【分析】（1）選條件①，利用等差數(shù)列通項及前n項和公式列出方程組求解即可；選條件②，求出數(shù)列首項求解作答.

（2）由（1）的結論，再利用等比數(shù)列前n項和公式求和作答.

【詳解】（1）選條件①，設等差數(shù)列的公差為，由，，得，

解得，因此，

所以數(shù)列的通項公式是.

選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，

所以數(shù)列的通項公式是.

（2）選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項、公比均為4，

所以數(shù)列的前n項和.

選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為2，

所以數(shù)列的前n項和.

17．(1)

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的基本量計算，等差等比數(shù)列的求和公式，利用分組求和即可求解.

【詳解】（1）設等差首項和公差分別為，

由得，

所以；

（2）設等比首項和公差分別為，

若選①②，由得；

由得，

所以公比為，故，

故，

故；

若選②③，

由可知公比不為1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若選①③，由可知公比不為1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

18．(1)

(2)

【分析】（1）若選擇①②，①③，②③作為已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得公差d，代入公式即可求得答案；

（2）根據(jù)題干條件，結合（1）可求得，的值，代入公式，即可求導、q，進而可得，根據(jù)分組求和法，結合等差、等比的求和公式，即可得答案.

【詳解】（1）選①；②

設等差數(shù)列的公差為.

由題設，得

解得.

所以.

選①；③

設等差數(shù)列的公差為.

由題設，得

解得.

所以.

選②；③

由題設，得，

，

解得.

所以.

（2）因為是等比數(shù)列，且由，得，

由，得

所以

所以.

所以

19．(1)證明見解析

(2)

【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則由可求出公差，從而可求得，則可得，然后計算即可得結論；

（2）由（1）可得，然后利用分組求和法可求得.

【詳解】（1）證明：設等差數(shù)列的公差為，則通項公式為，

又，則

即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項．

（2）由（1）知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項

數(shù)列的前項和

20．(1)數(shù)列具有性質(zhì)；數(shù)列不具有性質(zhì)

(2)的通項公式為或

(3)5

【分析】（1）性質(zhì)即，通過代入驗證即可判斷；

（2）通過轉(zhuǎn)化得到數(shù)列：，，，，是等差數(shù)列且公差，數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列且公差，進而分類討論的正負情況進而求解的通項公式；

（3）由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)，得．所以的最小值大于或等于5，然后證明的最小值等于5即可.

【詳解】（1）由題意知，數(shù)列通項公式為，滿足，所以數(shù)列具有性質(zhì)；

數(shù)列中，代入，，所以不滿足，所以數(shù)列不具有性質(zhì).

（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，得，

所以，即，

所以數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列．

又因為，，

所以數(shù)列的公差，

同理，得數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列，公差．

①若且，則數(shù)列的最小項是，數(shù)列的最小項是，

所以數(shù)列的最小項為1，這與矛盾；

②若且，同理，得的最大項為2，這與矛盾；

③若且，則為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列．

由，得3為數(shù)列中的項，

所以只能是，且；

同理，可得0為數(shù)列中的項，

所以只能，．

此時，的通項公式為．

④若，，類似③的討論可得，．

此時，的通項公式為．

綜上，的通項公式為或

（3）由數(shù)列1，1，2，2，3，3，，，，，，，，不是等差數(shù)列，且其同時具有性質(zhì)，，，得且．

類似的，由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)，得．

所以的最小值大于或等于5．

以下證明的最小值等于5，即證“既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列”．

因為具有性質(zhì)，即，

所以對于，是等差數(shù)列；

同理，由具有性質(zhì)，得對于，是等差數(shù)列．

由，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），且，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），得，，所以．

令，則，，．

同理，由，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），得，，

所以，且．

所以．

同理，由，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，為等差數(shù)列，

得；

由，，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，為等差數(shù)列，

得；

由，，，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，，為等差數(shù)列，得．

綜上，．

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．

即既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列．

所以的最小值等于5

【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列的綜合問題.要通過轉(zhuǎn)化與化歸的技巧，將問題進行轉(zhuǎn)化，結合分類討論等常見方法進行問題