北京市2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二期末數(shù)學(xué)試題匯編-07空間向量與立體幾何（含解析）

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一、單選題

1．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A．當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為

B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值

C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得

D．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得平面

2．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

3．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（）

A．直線坐標(biāo)平面B．直線坐標(biāo)平面

C．直線坐標(biāo)平面D．直線坐標(biāo)平面

4．（2023秋·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)的值為（）

A．B．C．D．

5．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知m，n是實(shí)數(shù)，若，，且，則（）

A．B．0C．2D．4

6．（2023秋·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)，點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．B．

C．D．

7．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面，，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，為平面的一個(gè)法向量，則的坐標(biāo)可能是（）

A．B．C．D．

8．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．若，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A．B．C．D．

9．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）若，則的值為（）

A．B．0C．1D．2

10．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點(diǎn)，則直線與平面的位置關(guān)系是（）

A．平行B．垂直C．直線在平面內(nèi)D．相交且不垂直

11．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（）

A．B．C．D．

12．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）

A．B．C．D．

二、填空題

13．（2023秋·北京·高二校考期末）已知，，若與共線，則.

14．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知平面的法向量為，直線l的方向向量為，且，則實(shí)數(shù)．

15．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，，，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，若，其中x，y，，則，，．

16．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中x，y，，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)，時(shí)，可能是等腰三角形；

②當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積恒為；

③當(dāng)，且時(shí)，的面積的最小值為；

④當(dāng)，且時(shí)，可能為直角．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．

17．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的平面的一個(gè)法向量是，點(diǎn)到平面的距離為．

18．（2023秋·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)．

三、解答題

19．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，、、、分別是、、、的中點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.

(1)求證：平面；

(2)求平面與平面所成銳二面角的大??；

(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

20．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在多面體中，梯形與正方形所在平面互相垂直，，，.

(1)求證：平面；

(2)求證：平面；

(3)若點(diǎn)在線段上，且，求異面直線與所成角的余弦值.

21．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)．

(1)求證：∥平面；

(2)求證：平面平面；

(3)設(shè)平面與平面夾角為60°，，，求長(zhǎng)．

22．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)．

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)求到平面的距離．

參考答案：

1．C

【分析】根據(jù)選項(xiàng)A，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，則，判斷選項(xiàng)A；

根據(jù)選項(xiàng)B，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則，判斷選項(xiàng)B；

設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，根據(jù)選項(xiàng)C，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，可證得面，即可判斷選項(xiàng)C；

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】當(dāng)時(shí),，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，

則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則此時(shí)面積取得最大值，

,

由于直三棱柱，則,為等腰直角三角形,則,面，則面

因?yàn)槊?，所以?/p>

則,故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則,

由于點(diǎn)到平面的距離為定值，點(diǎn)到線段的距離恒為

則,則，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)時(shí)，,設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，,

，平面，則面，

又因?yàn)槊?，則，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，面，即面，

則,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)平面的法向量為.

則

當(dāng)時(shí)，則與平行，則存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比..

2．B

【分析】通過(guò)空間直角坐標(biāo)系已知線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)求中點(diǎn)坐標(biāo)，只需將各坐標(biāo)相加并除以2，即可得出中點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，

線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，

即線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，

故選：B.

3．C

【分析】求出及三個(gè)坐標(biāo)平面的法向量，根據(jù)與法向量的關(guān)系判斷．

【詳解】，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，這三個(gè)法向量與都不平行，

但，點(diǎn)均不在坐標(biāo)平面上，因此與坐標(biāo)平面平行，

故選：C．

4．B

【分析】根據(jù)平行關(guān)系可知，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】，，，解得：.

故選：B.

5．D

【分析】根據(jù)空間向量共線，即可代入坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】由得存在實(shí)數(shù)，使得，故，

進(jìn)而，解得，所以，

故選：D

6．A

【分析】設(shè)，根據(jù)列方程組即可求解.

【詳解】設(shè)，則，

因?yàn)椋?，解?

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故選:A.

7．D

【分析】先求出，根據(jù)法向量求解公式列方程即可求解．

【詳解】依題意得，，則

設(shè)，則

，取則，所以

故選：D

8．C

【分析】根據(jù)可得與共線，由向量的坐標(biāo)表示可得答案.

【詳解】若，則，

即，解得，且，即.

故選：C.

9．C

【分析】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以.

故選：C

10．D

【分析】根據(jù)圖形位置證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面的法向量，直線的方向向量，判斷平面的法向量是否與直線的法向量垂直，又判斷直線與直線是否垂直，可得直線與平面的位置關(guān)系.

【詳解】解：如圖取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以

又在三棱柱中，平面，為中點(diǎn)，所以

則平面，又平面，所以，，

又，則，所以，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，，故，

又，

因?yàn)椋?/p>

所以直線與平面相交，且不垂直于平面．

故選：D.

11．D

【分析】利用向量的加減法則即可求解.

【詳解】

故選：D

12．B

【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量、，進(jìn)而求得．

【詳解】解：，

，

．

故選：B．

13．＃＃

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得出的值.

【詳解】解：因?yàn)榕c共線，所以，即,解得，，則.

故答案為：．

14．

【分析】根據(jù)直線與平面垂直可得直線l的方向向量與平面的法向量平行，利用兩向量平行的充要條件即可求解.

【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋本€l的方向向量為，且，所以，則存在實(shí)數(shù)使得，

也即，解得：，，

故答案為：.

15．///

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，從而可求解.

【詳解】因?yàn)镈為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，

所以

.

因?yàn)?，所?

故答案為:.

16．①②③

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式、空間向量夾角公式逐一判斷即可.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，

①：當(dāng)，時(shí)，，

，

若，而，不成立；

若，所以本結(jié)論成立；

②：當(dāng)，時(shí)，，

設(shè)平面的法向量為，，，

因此有，

，

所以點(diǎn)到平面的距離為：，

顯然，

三棱錐的體積恒為，所以本結(jié)論正確；

③當(dāng)，且時(shí)，，

，

由余弦定理可知：，

于是有

，

當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為，所以本結(jié)論正確；

④：當(dāng)，且時(shí)，，，

假設(shè)為直角，所以，

由，代入中，化簡(jiǎn)得：，解得，

當(dāng)時(shí)，，不符合題意，而，不符合題意，所以假設(shè)不成，因此本結(jié)論不正確，

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式是解題的關(guān)鍵.

17．5

【分析】由點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】由點(diǎn)到面的距離公式得.

故答案為：5

18．1

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以，

故答案為：1

19．(1)證明見解析；

(2)

(3)答案見解析.

【分析】（1）選條件①：平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件②：，由，得到，又，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件③：平面平面，由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；

（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFG的一個(gè)法向量為，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，由求解；

（3）設(shè)，，得到，由（2）知平面EFG的一個(gè)法向量為，由求解.

【詳解】（1）證明：選條件①：平面，

又平面ABCD，

所以平面平面，

因?yàn)槭钦切?，且是的中點(diǎn)，

所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD

所以平面；

選條件②：；

因?yàn)椋裕?/p>

則，又，且，

所以平面，

又平面ABCD，

所以平面平面，

因?yàn)槭钦切危沂堑闹悬c(diǎn)，

所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD

所以平面；

選條件③：平面平面.

因?yàn)槭钦切?，且是的中點(diǎn)，

所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD

所以平面；

（2）由（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，

，

所以，

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，所以，

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角為；

（3）設(shè)，，

則，

由（2）知平面EFG的一個(gè)法向量為：，

所以直線與平面所成角的正弦值為，

即，整理得，

因?yàn)?，所以方程無(wú)解，即不存在滿足條件的點(diǎn)M.

20．(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)

【分析】（1）首先根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到答案.

（2）首先取的中點(diǎn)，連接，易證，，再利用線面垂直的判定即可證明平面.

（3）首先以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫黄矫?；?/p>

所以平面.

因?yàn)槠矫?；平面；?/p>

所以平面.

又因?yàn)槠矫妫矫?，?/p>

所以平面平面；

又因?yàn)槠矫妫云矫?

（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)樗倪呅螢樘菪?，且，?/p>

所以四邊形為正方形，，.

所以，，

即，.

又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，?/p>

所以平面.

又因?yàn)槠矫妫?

因?yàn)椋?，，平面?/p>

所以平面.

（3）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

設(shè)異面直線與所成角為，則.

所以異面直線與所成角的余弦值為.

21．(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)

【分析】（1）連交于點(diǎn)，連接，由線面平行判定定理可證；

（2）證明CD⊥平面PAD,則應(yīng)用面面垂直的判定定理證明即可；

（3）建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角公式運(yùn)算得出AB的長(zhǎng)．

【詳解】（1）連交于點(diǎn)，連接，

∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn).∴，平面，平面

平面

（2）∵平面，平面，

，

∵為矩形，,

又,平面,平面

∴平面，又平面．

平面平面；

（3）以為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)AB＝，則A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），

∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），

顯然（1，0，0）為平面AED的一個(gè)法向量，

設(shè)平面ACE的法向量為（x，y，z），則，即，

令z得（，﹣1，），

∵平面與平面夾角為60°，

∴|cos|＝||，

解得，即AB．

22．(1)證明見解析