正六角形蜂窩夾芯層彎曲剛度分析

正六角形蜂窩夾芯層彎曲剛度分析

0蜂夾芯層彎曲剛度計算方法近年來，蜂窩夾芯層材料作為一種先進的高性能材料，在航空航天、小材料等行業(yè)得到了廣泛應用。當這種云中心板被送到表面內(nèi)負荷時，從理論上講，根據(jù)表面變形的正六角形云中心板的等效彈性參數(shù)，這項工作根據(jù)面的外部負荷（與六角形水平方向）計算云中心層的彎曲剛度是非常必要的。90年代初期,曾出現(xiàn)了考慮芯層抗彎能力的蜂窩夾芯層板模型,這種模型將芯層視為一均質(zhì)的正交各向異性層,在計算蜂窩夾芯層彎曲剛度時,仍然使用了基于蜂窩芯層面內(nèi)變形的等效彈性參數(shù),但是,這種做法并不能真正有效地提高蜂窩夾芯層彎曲變形計算的精度;2001年,富明慧等提出了一種考慮蜂窩夾芯層彎曲剛度的蜂窩夾層板模型,并在此基礎上將蜂窩夾芯層板視為一橫觀各向同性材料薄板,然而,該文并沒有考慮胞元壁板扭轉(zhuǎn)變形和給出充足的算例.因此,對蜂窩夾芯層彎曲剛度的計算,尚缺乏全面的理論分析以及相關算例.本文擬采用MSC.Marc商用軟件對圖1(a)中正六角形胞元周期排列構(gòu)成的蜂窩夾芯層(參見圖1(b))在彎曲載荷作用下產(chǎn)生的撓度進行詳細的數(shù)值計算與理論探討,并力圖在此基礎上提出準確計算蜂窩夾芯層彎曲剛度的理論分析方法.1有限元fem法本節(jié)擬通過分析圖1(b)中點線范圍內(nèi)所示的單個單元彎曲變形來探討整個蜂窩狀夾芯層彎曲變形的求解方法.圖2(a)為從1(b)中點線范圍內(nèi)割出的單個單元示意圖,圖2(b)為蜂窩夾芯層無限遠處受均勻彎矩作用下構(gòu)成單個單元的胞元壁ABB′A′、CBB′C′和DBB′D′在連接處所受的力和彎矩示意圖,圖中采用局部坐標系(ξ,η,ζ).單個單元的彎曲變形可以依據(jù)該單元各邊緣AA′、CC′和DD′繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角來確定.圖1(b)中蜂窩芯層采用整體坐標系(x,y,z),圖2(b)中胞元壁板采用局部坐標系(ξ,η,ζ).蜂窩芯層整體坐標系(x,y)平面和胞元壁板局部坐標系(ξ,)平面均置于胞元壁高半中腰位置,z坐標軸與η坐標軸重合,即z=η.胞元正壁和胞元斜壁的物理量分別用下標v和l加以區(qū)分.另外,為了區(qū)別整體坐標系下蜂窩結(jié)構(gòu)等效應力與局部坐標系下胞元各壁板應力,整體坐標系下應力符號上方使用符號～.對于圖2(b)所示的胞元薄壁板,假定面內(nèi)分布力T和面外分布力Q沿η方向為線形分布,則有:Τ=Τ0ηh/2,Q=Q0ηh/2(1)另外,由于胞元薄壁板在連接處ξ=±l/2附近彎曲變形w變化很小,因此,可以認為面外分布力Q引起的薄壁板扭轉(zhuǎn)變形滿足以下條件:?w?ξ|ξ=±l/2=0(2)根據(jù)材料力學中梁的純彎曲理論,面內(nèi)分布力T引起的薄板面內(nèi)彎曲變形問題求解的最終結(jié)果是,邊ξ=+l/2相對于邊ξ=-l/2的轉(zhuǎn)角θT用下式計算:θΤ=2Τ0lEsth(3)式中Es為胞元壁板縱向彈性模量.對幅寬l、高h和厚t的矩形胞元薄板,如果滿足條件式(2),即純扭轉(zhuǎn),則根據(jù)材料力學純扭轉(zhuǎn)理論,面外分布力Q引起的薄板扭轉(zhuǎn)變形問題求解的最終結(jié)果是,若邊ξ=+l/2相對于邊ξ=-l/2的扭轉(zhuǎn)角取為φ,則φ用下式表示:φ=2Q0Eslft(hl,tl,υ)(4)其中ft為扭轉(zhuǎn)形狀系數(shù).關于ft的理論分析,由于非常復雜,限于篇幅,擬在另文中報道.本文研究目的,僅限于描述蜂窩狀結(jié)構(gòu)彎曲剛度的基本求解方法.下面我們根據(jù)面外分布力Q和條件式(2),采用有限元FEM方法(MSC.Marc通用商業(yè)軟件)首先數(shù)值分析圖2(b)所示的胞元薄壁板的扭轉(zhuǎn)變形角,然后通過式(4)計算扭轉(zhuǎn)形狀系數(shù)ft.表1給出了扭轉(zhuǎn)形狀系數(shù)ft的有限元FEM法數(shù)值計算結(jié)果.1.1均勻彎曲，當單一作用時，子宮壁板變形圖3給出了My單獨作用時各胞元壁板變形轉(zhuǎn)角.有關各個轉(zhuǎn)角的正負規(guī)定,均取圖中相應雙箭頭方向為正(下同).1.1.1胞元正壁板面內(nèi)分布力t引起的轉(zhuǎn)角作用在胞元正壁板面內(nèi)分布力T,根據(jù)力的平衡分析有:Τ0=2?σy|η=h/2lcosθ=2Μyh/2Ιzlcosθ=ΜyhΙzlcosθ(5)式中Iz為蜂窩芯層沿x方向單位寬度橫截面對z軸的幾何慣性矩,即Iz=h3/12.將上式代入式(3)得,胞元正壁板面內(nèi)分布力T引起的AA′邊相對BB′邊的轉(zhuǎn)角θvx為:θvx=2ΜyEstσΙzl2cosθ(6)由于此時胞元正壁板面外力Q=0,因此由其引起的胞元正壁板AA′邊相對BB′邊的扭轉(zhuǎn)角有:θvy=0(7)1.1.2胞元斜壁板面內(nèi)分布力t引起的cc邊的轉(zhuǎn)角類似地作用在胞元斜壁板面內(nèi)分布力T,根據(jù)力的平衡分析有:Τ0=?σy|η=h/2lcosθsinθ=Μyh/2Ιzlcosθsinθ(8)將式(8)代入式(3)得,胞元斜壁板面內(nèi)分布力T引起的CC′邊相對BB′邊的轉(zhuǎn)角θ1σ為:θ1σ=ΜyEst1Ιzl2cosθsinθ(9)因此,它相對于x軸和y軸的分轉(zhuǎn)角θ1σ|x和θ1σ|y分別為:θ1σ|x=θ1σsinθ,θ1σ|y=θ1σcosθ(10)1.1.3胞元斜壁板面外分布力q引起的cc邊的扭轉(zhuǎn)角有關作用在胞元斜壁板面外分布力Q,根據(jù)力的平衡分析有:Q0=?σy|η=h/2lcos2θ=Μyh/2Ιzlcos2θ(11)將式(11)代入式(4)得,胞元斜壁板面外分布力Q引起的CC′邊相對BB′邊的扭轉(zhuǎn)角θ1τ為:θ1τ=2ft(hl,tl,υ)Μyh/2EsΙzcos2θ=ΜyhEsΙzft(hl,tl,υ)cos2θ(12)因此,它相對于x軸和y軸的分扭轉(zhuǎn)角θ1τ|x和θ1τ|y分別為:θ1τ|x=θ1τcosθ,θ1τ|y=θ1τsinθ(13)1.1.4彎曲柔度系數(shù)cs圖2(a)所示的單元在彎矩My作用下,其等效彎曲曲率可表為:{1ρy|Μy=(θ1σ|x+θ1τ|x)+θvxl(1+sinθ)1ρx|Μy=(θ1σ|y-θ1τ|y)×22lcosθ(14)另外,根據(jù)彈性力學中薄板理論,我們有:{1ρx=CxΜx+C1Μy1ρy=CyΜy+C1Μx(15)式中Cx、Cy和C1稱為彎曲柔度系數(shù).若Mx=0,則:C1=1/ρx|ΜyΜy,Cy=1/ρy|ΜyΜy(16)1.2單次彎曲和x線方程的彎曲變形圖4給出了Mx單獨作用時各胞元壁板變形轉(zhuǎn)角方向示意圖.1.2.1胞元正壁板的轉(zhuǎn)角此時,由于作用在胞元正壁板面內(nèi)和面外分布力T與Q全都為零,因此,胞元正壁板的轉(zhuǎn)角θvx和θvy也均為零,即:θvx=0,θvy=0(17)1.2.2cos1+sin結(jié)構(gòu)有關作用在胞元斜壁板面內(nèi)分布力T,根據(jù)力的平衡分析有:Τ0=?σx|η=h/2lcosθ(1+sinθ)=Μxh/2Ιzlcosθ(1+sinθ)(18)式中Iz為蜂窩芯層沿y方向單位寬度橫截面對z軸的幾何慣性矩,即Iz=h3/12.將式(18)代入式(3)得,胞元斜壁板CC′邊相對BB′邊的轉(zhuǎn)角θ1σ為:θ1σ=ΜxEsΙzt1l2cosθ(1+sinθ)(19)因此,與x軸和y軸的分轉(zhuǎn)角θ1σ|x和θ1σ|y分別為:θ1σ|x=θ1σsinθ,θ1σ|y=θ1σcosθ(20)1.2.3胞元斜壁板cc邊的扭轉(zhuǎn)角有關作用在胞元斜壁板面外分布力Q,根據(jù)力的平衡分析有:Q0=?σx|η=h/2lsinθ(1+sinθ)=Μxh/2Ιzlsinθ(1+sinθ)(21)將式(21)代入式(4)得,胞元斜壁板CC′邊相對BB′邊的扭轉(zhuǎn)角θ1τ為:θ1τ=2ft(hl,tl,υ)Μxh/2EsΙzsinθ(1+sinθ)(22)因此,與x軸和y軸的分扭轉(zhuǎn)角θ1τ|x和θ1τ|y分別為:θ1τ|x=θ1τcosθ,θ1τ|y=θ1τsinθ(23)1.2.4彎曲柔度系數(shù)圖2(a)所示的單元在彎矩Mx作用下,其等效彎曲曲率可表為:{1ρy|Μx=(θ1σ|x-θ1τ|x)l(1+sinθ)1ρx|Μx=(θ1σ|y+θ1τ|y)×22lcosθ(24)若My=0,則由式(15)可得彎曲柔度系數(shù)Cx和C1為:C1=1/ρy|ΜxΜx,Cx=1/ρx|ΜxΜx(25)1.3彎曲剛度的比較根據(jù)式(15),有:{Μx=Cy?(1/ρx)-C1?(1/ρy)CxCy-C21Μy=Cx?(1/ρy)-C1?(1/ρx)CxCy-C21(26)比較式(26)和彈性力學中的彎曲剛度表達式,得薄板彎曲分析中所用的彎曲剛度為:Dx=CyCxCy-C21,Dy=CxCxCy-C21,D1=-C1CxCy-C21(27)2基于面內(nèi)等效彈性參數(shù)的彎曲剛度理論的驗證為了驗證上節(jié)導出的彎曲剛度理論計算表達式的有效性,我們用其分別計算了三種載荷即:(1)Mx=28.33N,My=0;(2)Mx=0,My=28.33N;(3)Mx=My=28.33N作用下薄板上G1-G7各點的彎曲變形撓度,并分別與采用圖5所示的FEM數(shù)值計算模型所得數(shù)值結(jié)果進行比較,參見表2-4.同時,為了便于比較,表中也給出了由基于面內(nèi)彈性參數(shù)的彎曲剛度表達式計算獲得的薄板上G1-G7各點的彎曲變形撓度.從表中可以看出,基于上節(jié)彎曲剛度理論的彎曲變形撓度分析結(jié)果與有限元FEM的彎曲變形撓度數(shù)值計算結(jié)果相比,幾乎完全一致.另外,表2-4也表明:在(1)和(2)載荷作用下,由基于蜂窩芯層面內(nèi)等效彈性參數(shù)的彎曲剛度理論獲得的彎曲變形撓度解析結(jié)果與有限元FEM法得到的的彎曲變形撓度數(shù)值結(jié)果并不完全一致,但在第(3)種載荷即Mx=My載荷條件下,兩者結(jié)果幾乎一致,而且,很顯然,與上節(jié)理論得到的解析結(jié)果完全相等,究其緣由在于根據(jù)式(1)、(11)和(21),當Mx=My、θ=30°時面外垂直方向的力qζ|1(η),有:qζ|1(η)=Q|y-Q|x=ΜyηΙzl[cos230°即面外力等于零,這意味著胞元斜壁板沒有扭轉(zhuǎn)變形,也即意味著胞元斜壁沒有面外變形,只有面內(nèi)變形.因此,只有此時蜂窩結(jié)構(gòu)彎曲變形才可由基于面內(nèi)等效彈性參數(shù)的彎曲剛度計算確定.4實驗結(jié)果與分析本研究對由正六邊形胞元構(gòu)成的蜂窩芯層彎曲剛度進行了分析與探討,并得到以下結(jié)