《高等數(shù)學（上冊）》（陽平華）645-4教案 第六章 第24課 微積分基本公式

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課題微積分基本公式課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）理解積分上限函數(shù)的概念，并掌握其求導方法。（2）掌握牛頓—萊布尼茨公式，及其應用。（3）掌握定積分的計算。思政育人目標：通過學習積分上限函數(shù)及其導數(shù)和牛頓—萊布尼茨公式，培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神。教學重難點教學重點：積分上限函數(shù)的概念，牛頓—萊布尼茨公式教學難點：定積分的計算教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】通過引例，推導出牛頓—萊布尼茲公式設物體從某定點開始做直線運動，在t時刻所經(jīng)過的路程為，速度為，則在時間間隔內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為或，即．由此看出，的值等于被積函數(shù)的原函數(shù)在處的值與在處的值之差．對一般的情形，我們可以猜想有成立，其中是被積函數(shù)的原函數(shù)．這就是牛頓—萊布尼茲公式．在證明牛頓—萊布尼茲公式之前，先證明原函數(shù)存在定理．【教師】講解積分上限函數(shù)及其導數(shù)，并通過例題介紹其解法設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設x為上的一點．若積分上限在上每取一個值，函數(shù)在部分區(qū)間上的定積分總有一個值與相對應，即在上定義了一個函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，也稱為變上限定積分，記作，即或．相應地，可以定義積分下限函數(shù)（或變下限定積分）．定理1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上可導，且其導數(shù)為．證明對，取使，

（積分區(qū)間的可加性）（積分中值定理），其中在x與之間，如圖6-8所示．當時，．于是．圖6-8若，取，則同理可證；若，取，則同理可證．結(jié)論定理1指出，積分上限函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，這就肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性．因此，引出如下定理．定理2設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)是在上的一個原函數(shù)．例1設，求．解，．例2求極限．解這是一個型未定式，由洛必達法則有．例3求．解題中的變上限不是，而是，該變上限定積分可看成是由和復合而成的，故對求導時，按復合函數(shù)求導法則可得

．例4求，其中與均為可導函數(shù)．解

．【學生】理解積分上限函數(shù)，并掌握其求導方法學習積分上限函數(shù)及其導數(shù)。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解牛頓—萊布尼茨公式，并通過例題介紹其應用定理3（微積分基本公式）如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則．此公式稱為牛頓—萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．證明已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)．根據(jù)定理2可知，積分上限函數(shù)也是的一個原函數(shù)．于是存在一常數(shù)C，使．當時，有，因為，所以；當時，，所以，即．該公式進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)的聯(lián)系，并且表明：當被積函數(shù)的原函數(shù)可以求出時，在上的定積分值等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間上的增量．為了方便把表示為．例5計算．解由于在上連續(xù)且是的一個原函數(shù)，所以．例6計算．解由于是的一個原函數(shù)，所以例7設求．解利用定積分對區(qū)間的可加性，有．例8計算．解．例9計算正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形的面積．解這圖形是曲邊梯形的一個特例，它的面積．例10汽車以速度行駛，到某處需要減速停車．設汽車以等加速度剎車．問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解先要算出從開始剎車到停車所需的時間．當時，汽車速度．剎車后時刻汽車的速度為．當汽車停止時，速度，代入上式得，．于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離，即在剎車后，汽車需走過10m才能停?。緦W生】掌握牛頓—萊布尼茨公式及其應用學習牛頓—萊布尼茨公式，及其應用。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學生討論以下問題1．關于變下限的定積分，是否有類似于定理1的結(jié)果？能否給出更一般的表達式？2．利用定義計算幾個簡單函數(shù)的定積分，并驗證牛頓—萊布尼茨公式的正確性．【學生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學生對知識點的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課學習了積分上限函數(shù)及其導數(shù)、牛頓—萊布尼茨公式的相關知識及其應用。課后大家要多加練習，鞏固認知。【學生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習題6.2總結(jié)知識點