第十五屆中環(huán)杯小學(xué)數(shù)學(xué)五年級決賽詳解

第15屆中環(huán)杯決賽試題解析（五年級）一、填空題A（本大題共8小題，每題6分，共48分）：13731649113151.計(jì)算：________.201511715【【答案】2解答】1164373911315201511715313131993151720151157117311130553133115171231212.老師布置了一些數(shù)學(xué)回家作業(yè)。由于小明基礎(chǔ)不好，所以小明收到的題目數(shù)量比小王收到的題目數(shù)量多20道。若兩人收到的題目數(shù)量之比為4:3，則小明回家需要完成________道題目?！敬鸢浮?0【解答】設(shè)小明收到了道題目，則小王收到了x道題目，根據(jù)題意4x4x3xx，所以小明需要完成4x4道題目。3.如圖，正八邊形的邊長為1，將其進(jìn)行下圖的切割，切割后灰色部分面積與斜線部分面積之差為________（大減?。?。14【【答案】解答】如下圖，,B與C,D抵消，剩下的中間的正方形可以切割為四個(gè)等腰直角1三角形，其中三個(gè)與灰色部分抵消，留下的一個(gè)面積就是4【說明】考察等腰直角三角形用斜邊表示的面積公式ACBD4.在一組英文字母串中，第一個(gè)字母串a(chǎn)A、第二個(gè)字母串a(chǎn)B，之后每個(gè)字母串123都是由an1后面跟著的反轉(zhuǎn)構(gòu)成的。比如（我們用表示的32aann2aiain1反轉(zhuǎn)，就是從右往左讀這個(gè)字母串得到的結(jié)果，比如、），，，。那么，這組字母串的前aaaaaaaaa432543654個(gè)中，有________個(gè)是回文字母串（所謂的回文字母串，就是指從左往右讀與從右往左讀相同，比如、）【【答案】6解答】通過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)只有a、a、a、、a999不是回文字母串，別的369都是，那么可以直接得到答案：一共只有個(gè)非回文字母串，剩下的個(gè)都是回文字母串。接下來嚴(yán)格證明一下（考場上沒有時(shí)間的話，這部分可以忽略）：假設(shè)nP，n1Q，那么，。由于在兩邊與可以保證其n2QPn3QPQQ回文特性，最后n3是否為回文字母串就取決于的情況。如果aP為回文字母Pn串，那么n3Q也是回文字母串；如果nP不是回文字母串，那么n3Q也不是回文字母串?？紤]到a、a都是回文字母串，所以a,a,,a與a,a,,a9981247100058都是回文字母串。而aBA不是回文字母串，所以a,a,,a不是回文字母串。至369999此，已經(jīng)證明了前面的猜測。5.如下左圖，七個(gè)字母放置在圓中，每次將包含中心圓的三個(gè)圓（這三個(gè)圓的圓心構(gòu)成等邊三角形）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣稱為一次操作。比如可以將,B,D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而B出現(xiàn)在原D的位置（用BD表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)），DA，AB。也可以將D,E,F進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（DE，EF，F(xiàn)D），但是不能將,D,G或者C,B,E進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。經(jīng)過若干次操作后，得到下右圖。那么，最少需要操作________次。EFCEABCAFDBDGG【【答案】3解答】由于除了G以外，外圍的5個(gè)圓中的字母位置都變了，而每次操作只能改變外圍2個(gè)圓中的字母位置，所以至少需要3次。如下圖，第一次旋轉(zhuǎn)F,D,E，第二次旋轉(zhuǎn),B,F，第三次旋轉(zhuǎn)E,C,BCEACDACDFEFFDBEFBEBABCAGGGDG6.我們用Sk表示一個(gè)首項(xiàng)為k，公差為k2的等差數(shù)列，比如S3為3、12、、。如果______。是Sk中的一項(xiàng)，滿足條件的k之和為_3【答案】【解答】由于Sk的首項(xiàng)為k，公差為k2，所以其中的某一項(xiàng)可以表示為k2k1。如果是Sk中的一項(xiàng)，則k1306k|306。由于322，滿足條件的k1、2、17、（注意，當(dāng)k時(shí)，k1；當(dāng)k時(shí)，m0），所以這些數(shù)之和為127.下圖的三角形網(wǎng)格中，有________條直線能正好經(jīng)過其中的兩個(gè)點(diǎn)【【答案】60解答】首先，這里一共有19個(gè)點(diǎn)，所以會(huì)產(chǎn)生1條直線。然后我們將其中29171通過超過2個(gè)點(diǎn)的直線數(shù)量減去，就得到最后的答案了。（1）通過3個(gè)點(diǎn)的直線有15條，如下圖所示，一共導(dǎo)致15C條直線不滿足要求23（2）通過4個(gè)點(diǎn)的直線有6條，如下圖所示，一共導(dǎo)致6C條直線不滿足要求24（3）通過5個(gè)點(diǎn)的直線有3條，如下圖所示，一共導(dǎo)致3C條直線不滿足要求25綜上所述，本題的答案為17115C6C3C171453630602324258.如圖，直角中，4，點(diǎn)HI都在長方形上，且都是正方形。則的面積為________。JIDHAEMCGBKFL【【答案】解答】如下圖，進(jìn)行切割后，得到弦圖，所以得到四個(gè)相同的三角形：1、、、，面積均為346，然后三個(gè)正方形的面積之和2為9，三個(gè)矩形的面積均為34，所以總面積為4650123245036110JIDHOAEMCGBKNFL二、填空題B（本大題共4小題，每題8分，共32分）：9.計(jì)算：4_____.94847424141029258257296295213421332【答案】761510210910910210219102104949292929284748272827287878272158272【解答】由于2414221222122121221232212所以1049847424410292582572962952134213241910292158272322121029258272962521342321722121722122010292222172221201011211756761510.甲、乙兩人分別從B兩地同時(shí)出發(fā)（甲從A出發(fā)），相向而行，在兩地之間不停地往返行走，甲的速度是乙的4倍。已知B之間相距S千米，其中S為正整數(shù)，并且S有8個(gè)因數(shù)。第一次兩人在C處碰頭（注意：這里的碰頭可以指迎面相遇，也可以指背后追到），的長度是一個(gè)整數(shù)；第二次兩人在D處碰頭，的長度還是一個(gè)整數(shù)；第二次碰頭后，乙感覺自己速度太慢，所以在D處附近的村子問老鄉(xiāng)借摩托車。等他借到摩托車回到D處時(shí)，甲已經(jīng)到達(dá)E處（甲還沒有到過A地），AE的長度又是一個(gè)整數(shù)；最后，乙騎著摩托車去追甲，摩托車的速度是甲速度的14倍，兩人同時(shí)達(dá)到A地。那么，B兩地相距_____千米?！敬鸢浮?05解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰頭時(shí)，S。根據(jù)題意，445【S5為整數(shù)，所以5|S；還是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走S千米，已經(jīng)兩個(gè)來回了，所以第二次碰頭時(shí)，甲應(yīng)該是追到乙。設(shè)乙走了x千米，則甲走了千米，得4xSS232到方程4xxSx，此時(shí)SS千米。根據(jù)題意，S為整數(shù)，所以333；3|S2接下來乙去借摩托車，甲繼續(xù)走?？紤]到摩托車的速度是甲速度的14倍，將S分3成14份，甲走了13份的時(shí)候，乙回到D處，然后兩人可以同時(shí)到達(dá)A地。所以，2111我們推出AESS。根據(jù)題意，S為整數(shù)，所以。21|S314215|S5|S綜上所述，3|S3|S。由于有8個(gè)因數(shù)，所以千米。SS35721|S7|S11.對任意正整數(shù)n，定義r,n為mn的余數(shù)（比如r3表示83的余數(shù)，所以）。那么滿足方程的最小正整數(shù)解為r8,32rm,1rm,2rm,3rm,104_____.【答案】【解答】如果m12，那么m除以4、6、8、10的余數(shù)不可能為0，此時(shí)的余數(shù)之和超過4了，所以m02。由于余數(shù)之和為4，對于一個(gè)偶數(shù)來說，它除以8的余數(shù)只能是0、2或4（如果是6就超過4了）。（1）如果這個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)為4，則它必須為3，5，7，9，10的公倍數(shù)，由于，為了滿足除以8的余數(shù)為4，這個(gè)數(shù)至少為；3,5,7,9,106302（2）如果這個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)為2，則它除以4的余數(shù)也為2（4個(gè)余數(shù)都用完了），所以它還是必須為3，5，7，9，10的公倍數(shù)，這個(gè)數(shù)至少為3；（3）如果這個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)為0，則m02、m04、m0mod8。我們要進(jìn)一步分析。如果m除以3的余數(shù)不是0，那么它除以6，9的余數(shù)也不會(huì)為。由于m為偶數(shù)，所以m除以6的余數(shù)至少為2。為了使得余數(shù)之和為4，則只能m130是m26，但是m26m23，矛盾，所以這個(gè)數(shù)一定是3的倍m19數(shù)。由于這是一個(gè)偶數(shù)，而且它又是3的倍數(shù)，所以必定是6的倍數(shù)，所以mm0mod3。至此，我們已經(jīng)推出：m0mod1、m02、m03、06、、、、、mm04m?mod5m0mod6m?mod7m0mod8、（表示還不能確定的余數(shù)）。接下來對除以9的余數(shù)?9m?mod10?m進(jìn)行討論：（3.1）如果m39，只剩下1個(gè)余數(shù)了。考慮到m15mor6mod10，所以剩下的余數(shù)應(yīng)該給7，也就是說m05、m1mod10m1mod5、m39、m0mod10，此時(shí)m最小為120；m17mm08（3.2）如果m09，剩下4個(gè)余數(shù)。由于，此時(shí)m已經(jīng)是098,9的倍數(shù)了。顯然不滿足我們的要求，而已經(jīng)超過120了；2綜上所述，m最小為12012.6個(gè)正整數(shù),,,d,,f按字母順序排成一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其中a1。如果某個(gè)正整數(shù)大于1，那么比這個(gè)正整數(shù)小1的數(shù)肯定出現(xiàn)在它的左邊。比如d1，則a,b,c中必有一個(gè)值為d1。舉例：1，1，2，1，3，2滿足要求；1，2，3，1，4，1滿足要求；1，2，2，4，3，2不滿足要求。滿足要求的不同排列有______【【答案】解答】我們用b表示滿足題目要求的n個(gè)自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列個(gè)數(shù)，顯然b1，n1接下來計(jì)算2，這個(gè)數(shù)列由兩個(gè)正整數(shù)構(gòu)成。由于a1，那么b1或2，如果a1b1a1，那么這個(gè)數(shù)列中的數(shù)最大為1，這樣的數(shù)列有1個(gè)；如果，那么這個(gè)b2數(shù)列中的數(shù)最大為2，這樣的數(shù)列有1個(gè)。我們用下面的寫法表示計(jì)數(shù)：11；21數(shù)列中的數(shù)最大為2接下來計(jì)算3，這個(gè)數(shù)列由三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成。（1）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為1，則前面的數(shù)只能都為1，所以只有1個(gè)。（2）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為2，有兩種可能：前面的數(shù)都是1，最后一個(gè)數(shù)填2，這樣的數(shù)列有1個(gè)，這個(gè)1就是前面2中的第一個(gè)數(shù)字；前面的數(shù)已經(jīng)到達(dá)2了，那么最后一個(gè)數(shù)可以是1，可以是2，所以有12個(gè)。其中1就是2中的第二個(gè)數(shù)字，2表示最后一個(gè)數(shù)字有兩種寫法；（3）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為3，則前面兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列必須到達(dá)最大為2的情況，這樣的數(shù)列有1個(gè)，這個(gè)1就是前面2中的第二個(gè)數(shù)字。我們用下面的寫法1112131數(shù)列中的數(shù)最大為23表示計(jì)數(shù)：；1311數(shù)列中的數(shù)最大為23利用相同的推導(dǎo)方法，我們得到下面的結(jié)果：3131132141數(shù)列中的數(shù)最大為23數(shù)列中的數(shù)最大為417611數(shù)列中的數(shù)最大為23數(shù)列中的數(shù)最大為451172763614111525101611152101511319065151203三、動(dòng)手動(dòng)腦題（本大題共2小題，每題10分，共20分）：13.用1，2，3，4，5，6，7，9這8個(gè)數(shù)碼組成4個(gè)兩位質(zhì)數(shù)（每一個(gè)數(shù)碼必須且只能用一次），這4個(gè)質(zhì)數(shù)有多少種不同的可能？【【答案】4解答】容易知道2、4、5、6只能作為十位數(shù)，設(shè)這四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)為、、2ab、。剩下的四個(gè)數(shù)字為1、3、7、9，簡單分析一下得a1,7，b9，c1,7，6dca1,7c1,7d3,9。由于a,c只能取3、9，剩下的1、7要分給b,d，一共有224種a3c9a9b1b7d1可能（第1個(gè)2表示或者，第2個(gè)2表示或者）c3d714.如圖，中，。在邊上有一塊奶酪，其位置在最靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)上。在上有三個(gè)透視鏡W、W、W，這三個(gè)透視鏡將四等分。有一只疑心病很123重的老鼠在AB上爬行（從A爬往B），米。當(dāng)老鼠，某個(gè)透鏡，奶酪在一條直線上時(shí)，老鼠能觀察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到這塊奶酪，這樣就可以保證在它還沒有爬到前，這塊奶酪沒有被別的老鼠吃掉。所以它第1分鐘往前爬米，第2分鐘往回退米，第3分鐘往前爬米，第4分鐘往回退米。，依次類推。當(dāng)這只老鼠爬到點(diǎn)后，它直接沿著BC沖過去吃奶酪。問：老鼠B在AB段上一共可以看到多少次奶酪。AW1W2W3奶酪BDC【答案】5解答】本題的關(guān)鍵就是要求出哪幾個(gè)點(diǎn)可以看到奶酪。設(shè)奶酪的位置為E（如下【圖），由于34，所以3E//，從而推出33。由于米，所3AB4004以300米。本題的難點(diǎn)就在于如何求出,的長度。312A11223EC3BD我們先來求2，這里提供兩種思路：思路一：如下圖，延長2E與延長線交于點(diǎn)H。被2所截，所以ADC2CE11113。設(shè)a，則，所以aWD32a。而被GWH所截，所以222222B