2023屆福建省福州市格致中學(xué)高三上學(xué)期期中模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2023屆福建省福州市格致中學(xué)高三上學(xué)期期中模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若A=，則（

）A．A=B B．A C．AB D．BA【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再判斷集合之間的關(guān)系.【詳解】的定義域?yàn)閇-2,2]，易知u=的值域?yàn)閇0,4]故的值域?yàn)閇0,2]即A=[0,2]，B=[-2,2]，易得A，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了用描述法表示集合，考查了集合的化簡(jiǎn)與集合間的關(guān)系；集合常用的表示方法有列舉法，描述法，圖示法.集合{}表示函數(shù)的定義域，集合{}表示函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題.2．已知：“函數(shù)在上是增函數(shù)”，：“”，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先求出命題p對(duì)應(yīng)的a的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系即可判斷.【詳解】由函數(shù)在上是增函數(shù)，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所有，即，，是的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)應(yīng)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．3．在中，若

，則=A．1 B．2

C．3 D．4【答案】A【詳解】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，且在上不單調(diào)，然后利用排除法分析判斷即可【詳解】由圖象知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除A，對(duì)于D，定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是非奇非偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除D，對(duì)于C，因?yàn)楹驮谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除C，對(duì)于B，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；又因?yàn)?，且時(shí)，，故B選項(xiàng)符合題意.故選：B．5．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以,.故C正確.【解析】1等比比數(shù)列的性質(zhì);2對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.6．《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有問(wèn)題“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”，意思是：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬丈，長(zhǎng)丈；上棱長(zhǎng)丈，無(wú)寬，高丈（如圖）．問(wèn)它的體積是多少?”這個(gè)問(wèn)題的答案是A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈【答案】A【詳解】過(guò)點(diǎn)分別作平面和平面垂直于底面，所以幾何體的體積分為三部分中間是直三棱柱，兩邊是兩個(gè)一樣的四棱錐，所以立方丈，故選A.7．設(shè)，，，其中，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用換元法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】令，，因?yàn)椋?，所以，，，雖然是單調(diào)遞增函數(shù)，但是，無(wú)法比較大小，所以a，b的大小無(wú)法確定，排除AB，，（因?yàn)?，所以取不到等?hào)），故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性8．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，可判斷在上的單調(diào)性，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性，可求出不等式的解集．【詳解】解：構(gòu)造，則，因?yàn)?，則∴函數(shù)在上是減函數(shù)，∵不等式，且，等價(jià)于，即為，所以，解得．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．C．復(fù)數(shù)的實(shí)部為 D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限【答案】BD【分析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)為，再逐項(xiàng)驗(yàn)證判斷.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；復(fù)數(shù)的實(shí)部為，故C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，代數(shù)運(yùn)算以及幾何意義，還考查分析運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】BCD【分析】利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，即有，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以可得有最大值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以C正確，對(duì)于D，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以D正確，故選：BCD11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，以下結(jié)論正確的有（

）A．B．異面直線所成的角為定值C．點(diǎn)到平面的距離為定值D．三棱錐的體積是定值【答案】ACD【詳解】由，可證平面，從而，故A正確；取特例，當(dāng)E與重合時(shí)，F(xiàn)是，即，平行，異面直線所成的角是，當(dāng)F與重合時(shí)，E是，即，異面直線所成的角是，可知與不相等，故異面直線所成的角不是定值，故B錯(cuò)誤；連結(jié)交于，又平面，點(diǎn)到平面的距離是，也即點(diǎn)到平面的距離是，故C正確；為三棱錐的高，又，故三棱錐的體積為為定值，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求空間中點(diǎn)到平面的距離常見(jiàn)方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，求垂線；（2）等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離；（3）向量法：計(jì)算斜線在平面的法向量上的投影即可.12．若函數(shù)，則下述正確的有（

）A．在R上單調(diào)遞增 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】AC【分析】A.由和的單調(diào)性判斷；B.取判斷；C.D.判斷是否等于零即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的增函數(shù)，是定義在R上的減函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，然后求得，寫(xiě)出切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14．已知向量，，若，則的最小值為．【答案】8【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示得，再由基本不等式計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，即．又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為8．故答案為：8．15．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足，若，則.【答案】0.【分析】本題先利用函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)可得且，再結(jié)合可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，最后利用賦值法可求得，，，問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以且又所以所以所以函數(shù)的周期為，又因?yàn)?、，在中，令，可得：在中，令，可得：在中，令，可得：所以故答案為?.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性應(yīng)用，還考查了賦值法及計(jì)算能力、分析能力，是中檔題．16．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，且，則．【答案】8【解析】由與的關(guān)系化簡(jiǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義得出數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出，【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由題意可知，整理得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，，故答案為：【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是由與的關(guān)系對(duì)化簡(jiǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解.四、解答題17．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求出的面積：若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，______．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)求得，利用余弦定理得到，選條件①，根據(jù)正弦定理得，聯(lián)立方程組求得的值，進(jìn)而求得三角形的面積；選條件②：聯(lián)立方程組，求得的值，進(jìn)而求得面積；選條件③：利用基本不等式求得，與矛盾，三角形不存在．【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，又由，利用余弦定理得，所以，若選擇條件①：根據(jù)，結(jié)合正弦定理得﹐聯(lián)立方程組，解得，所以的面積；若選擇條件②：聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得：，解得，所以的面積；若選擇條件③：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，與矛盾，所以問(wèn)題中的三角形不存在．18．已知公差的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n和公式得出方程組，解之可得通項(xiàng)；（2）由（1）得，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列的和.【詳解】（1）由是與的等比中項(xiàng)，所以，聯(lián)立，即得，解得，所以．（2），所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）長(zhǎng)為何值時(shí)，直線與平面所成角最大？并求此時(shí)該角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），直線與平面所成角最大，此時(shí)該角的正弦值為.【分析】（1）根據(jù)已知條件，得到，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，進(jìn)而可證得平面平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，得到，，，進(jìn)而得到平面的一個(gè)法向量為，進(jìn)而可利用向量的公式求解【詳解】（1）∵平面平面，∴，又，∴，∴，即（為與交點(diǎn)）．又，∴平面，又因?yàn)槠矫?，所以，平面平面?）如圖，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，記直線與平面所成角為，則，故，即時(shí)，直線與平面所成角最大，此時(shí)該角的正弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用定義和正切函數(shù)的性質(zhì)，得到平面，進(jìn)而證明平面平面；以及建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，進(jìn)行求解直線與平面所成角的最大值，難度屬于中檔題20．已知函數(shù)求曲線在點(diǎn)處的切線方程若函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)x+y-1=0.(2).【分析】(1)求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線方程；(2)函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解題即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（5分）（2）由題意得，，所以.由，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.又，，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題有兩種解決方法，一個(gè)是利用二分法求解，另一個(gè)是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)求解.21．已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，焦距為2，點(diǎn)在橢圓上且滿(mǎn)足，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不垂直軸且不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，如果直線、的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)，即可得到，，即可得到答案.（2）首先設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)直線、的傾斜角互補(bǔ)和根系關(guān)系即可得到，從而得到直線恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意：，∴，由，，∴，，∴，∴，∴求橢圓的方程為．（2）依題意可設(shè)直線，，，由消去得：，∴由、的傾斜角互補(bǔ)可得：，∴，∴，即，∴，化簡(jiǎn)得：，則直線過(guò)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問(wèn)題，一般從三個(gè)方法把握：（1）從特殊情況開(kāi)始，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)、定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理，計(jì)算，在整個(gè)過(guò)程找到參數(shù)之間的關(guān)系，代入直線，得到定點(diǎn).22．．（1）若，討論的單調(diào)性（2），，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在上遞減；（2）.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)確定，從而可得的單調(diào)性；（2）由可得，求出，由令遞增，并確定存在零點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，由得與的關(guān)系，這樣可化簡(jiǎn)為，求