矢量分析：旋度、散度、梯度

§1.1

矢量表示法和運(yùn)算§1.2

通量與散度,散度定理

§1.3

環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

§1.4

方向?qū)?shù)與梯度,格林定理

§1.5

曲面坐標(biāo)系

§1.6

亥姆霍茲定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis2023/10/201基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。2023/10/202了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。2023/10/203物理量的表示矢量：大寫(xiě)黑體斜體字母

A

大寫(xiě)斜體字母加表示矢量的符號(hào)標(biāo)量：小寫(xiě)斜體字母

u單位矢量：小寫(xiě)上加倒勾ex2023/10/204

若一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,這個(gè)矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax,Ay,Az,則矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其運(yùn)算1.1.1矢量表示法及其和差2023/10/205A的單位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction則

2023/10/206圖1-2矢量的相加和相減

2023/10/207

矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。它符合交換律:

1.1.2標(biāo)量積和矢量積定義：標(biāo)量積A·B是一標(biāo)量,其大小等于兩個(gè)矢量模值相乘,再乘以它們夾角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、標(biāo)量積Dotproduction

特點(diǎn)：1、2023/10/208|B|cos

AB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cos

AB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者說(shuō)矢量B在A上的分量）等于A?B/|A|2、2023/10/209并有互相垂直的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為03、4、2023/10/2010

定義：矢量積A×B是一個(gè)矢量,其大小等于兩個(gè)矢量的模值相乘,再乘以它們夾角αAB(≤π)的正弦,其方向與A,B成右手螺旋關(guān)系,為A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交換律。由定義知,二、矢量積Crossproduction

特點(diǎn)：2023/10/20112、2023/10/2012A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項(xiàng)是y→z,其第二項(xiàng)下標(biāo)則次序?qū)φ{(diào):z→y,依次類(lèi)推。并有2023/10/2013圖1-3矢量乘積的說(shuō)明2023/10/2014矢量的三連乘也有兩種。標(biāo)量三重積:Scalartripleproduction

矢量三重積:Vectortripleproduction

公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。

1.1.3三重積

ABC2023/10/2015解：AB在C上的分量為：例：，求

給定兩矢量

和上的分量。

在2023/10/2016如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，，p和P已知，試求X

解：由P=AX，有A

P＝A

(A

X)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例2023/10/2017作業(yè)P311-11-32023/10/2018§1.2通量與散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1

矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述

矢量場(chǎng)的通量

定義：若矢量場(chǎng)A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則為矢量A沿有向曲面S的通量。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

在電場(chǎng)中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過(guò)該曲面的電通量；在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過(guò)該曲面的磁通量。

2023/10/2019通過(guò)閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫(xiě)成a)若，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；

b)若，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷就是接受電力線的負(fù)源；

c)若，閉合面無(wú)源。2023/10/20201.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意義1)矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性；2)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；3)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；1、定義：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無(wú)限收縮時(shí)，矢量

A通過(guò)該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即2023/10/20213、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓

表示為哈密頓

拉普拉斯

22023/10/2022正源負(fù)源無(wú)源2023/10/2023

散度的基本運(yùn)算公式

C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量2023/10/2024上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度,因此直觀地可知,矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量,即從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意義：2023/10/2025點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]例2023/10/20262023/10/2027可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。這證明在此球面上所穿過(guò)的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。2023/10/2028球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解：例：2023/10/2029

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

環(huán)量Curlofavectorfield2023/10/2030為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強(qiáng)度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)處,上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。為此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定義和運(yùn)算1、定義：2023/10/20312、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí),該面元矢量的方向。它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。若某區(qū)域中各點(diǎn)curlA=0,稱A為無(wú)旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。2023/10/2032矢量A的旋度可表示為密勒算子

與A的矢量積,即

計(jì)算▽×A時(shí),先按矢量積規(guī)則展開(kāi),然后再作微分運(yùn)算,得

3、旋度的計(jì)算2023/10/2033第一章矢量分析即

2023/10/20344、旋度運(yùn)算規(guī)則:

在直角坐標(biāo)系中有

2023/10/2035任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度。任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)2023/10/2036一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，而一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；旋度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與通量源的關(guān)系；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的旋度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在旋渦源，因而稱之為無(wú)旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的散度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在通量源，因而稱之為無(wú)源場(chǎng)（或管形場(chǎng)）；在旋度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的旋度描述的是場(chǎng)分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。4、旋度與散度的區(qū)別：2023/10/2037因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem2023/10/2038自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

求任意點(diǎn)處(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。

例2023/10/2039解：2023/10/2040可見(jiàn),向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故

這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。

因2023/10/2041證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。

[證]設(shè)C為一任意常矢，則從而有（1-37）例1.42023/10/2042根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。2023/10/2043§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)

方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)與梯度2023/10/2044梯度gradient是一個(gè)矢量

的模就是

在給定點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向,亦即

的變化率最大的方向。2023/10/2045梯度運(yùn)算規(guī)則:

2023/10/20462、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。梯度的重要性質(zhì)2023/10/2047將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應(yīng)用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向?qū)?shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2048S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位矢量。適用于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)φ和ψ(2)說(shuō)明：把式中的φ與ψ交換位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2049(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),則有矢量格林定理2023/10/2050矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場(chǎng)的求解問(wèn)題變換為邊界S上場(chǎng)的求解問(wèn)題。如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布特性,便可利用格林定理求解另一場(chǎng)的分布特性。2023/10/2051參看圖1,場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y,′z′)間的距離為|R|,試證這里▽′表示對(duì)帶撇坐標(biāo)(x′,y′,z′)作微分運(yùn)算(將P取為定點(diǎn),P′為動(dòng)點(diǎn)):例：2023/10/2052［證］

2023/10/2053即同理可得

2023/10/2054例:求P點(diǎn)的電位梯度▽?duì)?。?/p>

：在點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)中,P(x,y,z)點(diǎn)的電位為2023/10/2055圖1-8柱坐標(biāo)系

§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系Cylindricalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系2023/10/2056么么么么方面Sds絕對(duì)是假的么么么么方面Sds絕對(duì)是假的2023/10/2058

矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：

以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P點(diǎn)的矢量r,稱為P點(diǎn)的位置矢量或矢徑。在柱坐標(biāo)系中P點(diǎn)的位置矢量是

對(duì)任意的增量dρ,dφ,dz,P點(diǎn)位置沿,,方向的長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)分別為三者總保持正交關(guān)系,并遵循右手螺旋法則:

位置矢量二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)2023/10/2059每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉梅(G.Lame)系數(shù),分別為與三個(gè)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元和體積元分別是度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：面積元和體積元：2023/10/2060圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sphericalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系2023/10/2061遵循右旋法則:

矢量A在球坐標(biāo)系中的表示

：二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)度量系數(shù)：

2023/10/2062面積元和體積元：

2023/10/2063圖1-10三種坐標(biāo)間的變換

1.5.3三種坐標(biāo)的變換及場(chǎng)論表示式2023/10/2064直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)2023/10/2065直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)2023/10/2066

在柱坐標(biāo)中三個(gè)長(zhǎng)度元分別為dρ,ρdφ和dz,因而其算子相應(yīng)地?fù)Q為球坐標(biāo)長(zhǎng)度元為dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子為

算子

2023/10/2067柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度

為了對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo),一個(gè)常用的公式是2023/10/2068球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度2023/10/2069在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場(chǎng)中,距離r>>l處的電位為求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,φ)。解

：例1.72023/10/2070亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下:若矢量場(chǎng)F在無(wú)限空間中處處單值,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和,即§1.6亥姆霍茲定理2023/10/2071二.矢量場(chǎng)的分類(lèi)根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類(lèi)：1)調(diào)和場(chǎng)

若矢量場(chǎng)F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：

F=0和

F=0

則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)F為調(diào)和場(chǎng)。

注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。調(diào)和場(chǎng)，有源無(wú)旋場(chǎng)，無(wú)源有旋場(chǎng)，有源有旋場(chǎng)2023/10/2072如果，則稱矢量場(chǎng)F為無(wú)旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即函數(shù)u稱為無(wú)旋場(chǎng)F的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位。

無(wú)旋場(chǎng)F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一結(jié)論等價(jià)于無(wú)旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q有關(guān)。標(biāo)量位u的積分表達(dá)式：2)有源無(wú)旋場(chǎng)

2023/10/2073由，有2023/10/2074函數(shù)A稱為無(wú)源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。無(wú)源場(chǎng)F通過(guò)任何閉合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋場(chǎng)一般的情況下，如果在矢量場(chǎng)F的散度和旋度都不為零，即如果，則稱矢量場(chǎng)F為無(wú)源場(chǎng)。無(wú)源場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度，即3)無(wú)源有旋場(chǎng)2023/10/2075可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無(wú)源場(chǎng)Fs和無(wú)旋場(chǎng)Fi

的疊加，即其中Fs和Fi分別滿足于是因而，可定義一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得2023/10/2076常用的矢量恒等式2023/10/20772023/10/2078矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容

矢量場(chǎng)的表示方法和代數(shù)運(yùn)算和乘積運(yùn)算矢量場(chǎng)的散度和旋度標(biāo)量場(chǎng)的梯度曲面坐標(biāo)系亥姆霍茲方程2023/10/2079基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。2023/10/2080了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。2023/10/2081本章重要公式2023/10/20822023/10/20832023/10/2084例利用直角坐標(biāo)，證明

證明：2023/10/2085例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：A與B之間的夾角為

A在B上的分量為

2023/10/2086例：在的方向?qū)?shù)為求標(biāo)量函數(shù)

＝x2yz的梯度及

在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量

定出；求點(diǎn)(2,3,1)的方向?qū)?shù)值解：2023/10/2087例：利用散度定理及斯托克斯定理證明：1）2）證明:對(duì)于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理由于曲面S是任意的，故有2023/10/20882)對(duì)于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有

其中S1和S2如圖1所示。由斯托克斯定理，有由題圖1可知C1和C2是方向相反的同一回路，則有2023/10/2089圖1S1S2C2C1n1n2所以得到

由于體積V是任意的，故有2023/10/2090習(xí)題及答案

已知,求：(b)(c)(d)（a）1-5解：(a)(b)(c)(d)2023/10/20911-8設(shè)為使，，且，的模B=1，試確定a、b的值。解：，則得，又因即得或2023/10/2092應(yīng)用散度定理計(jì)算下述積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面解：1-132023/10/20931-14，在r=1和r=2兩個(gè)球面之間的區(qū)域存在矢量場(chǎng)計(jì)算：（a）（b）解：（a）2023/10/2094（b）可見(jiàn)散度定理成立。2023/10/20951-16，證明：證：設(shè)所以，2023/10/2096又所以，2023/10/20971-18，y的積分限為）。并驗(yàn)證斯托克設(shè)，試計(jì)算下述面積分：S為x-y平面第一象限內(nèi)半徑為3的四分之一圓（即x的積分限為斯定理。解：303xyz2023/10/2098所以2023/10/2099又，所以，斯托克斯定理成立。2023/10/201001-21在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度。試求點(diǎn)（2，2，0）處的，設(shè)（a）；（b）解：（a）所以；2023/10/20101（b）所以，2023/10/201021-23求在點(diǎn)（2，3，1）處的梯度及沿方向的方向?qū)?shù)。解：所以，2023/10/20103習(xí)題及答案1.1

給定三個(gè)矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(