伯努利概型答題

復(fù)習(xí):貝努利概型:在n重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)序列中,如果

(1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A與A(2)每次試驗(yàn)都有P(A)=p,P(A)=1-p,則n次試驗(yàn)中恰有k次A發(fā)生的概率為k=1,2,…n第四章

幾種重要的分布(一).二項(xiàng)分布X~B(n,p)例1

設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).我們來求X的概率分布.男

女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X

=1

X

=2

X

=3

X

=4X可取值0,1,2,3,4.X的概率函數(shù)是：用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則不難驗(yàn)證：

（1）（2）當(dāng)n=1時(shí)，稱X服從參數(shù)為n和p的二P項(xiàng)(X分=k布)=p，k(記1-作pp作)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布X~B(n,p)例某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù).X

~

B

(3,

0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用“使用到1000小時(shí)已壞”“成功”的概率為0.8P(X

1)=P(X=0)+P(時(shí)X數(shù)=1看)作一次試驗(yàn),=(0.2)3+視3(為0“.8成)(功0.”2.)每2

次試驗(yàn),=0.104對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；([x]表示不超過x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk(n+1)p=7.7那么.n=7當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n

+1)p和k

=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.n=13,p=0.5Pkn0(n+1)p=7那么.n=7或n=6最大想觀看二項(xiàng)分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請(qǐng)看演示二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差方法一:若

X~B(n,p)，

X=0,1,2,….n.k=0,1,2,….n.方法二.X1X2…Xn若

X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).X=0,1,2,….n.設(shè)Xi表示第i次成功的次數(shù).則

X=

X1+X2+…+Xn若設(shè)則

X=

X1+X2+…+Xn=

npi=1,2，…，n所以

E(X)=X~B(n,p)則,X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).E(Xi)=Xi01P1-pp又:Xi的分布律為:=

p例:

某地區(qū)有500名成年居民,現(xiàn)隨機(jī)對(duì)100名成年居民作民意測驗(yàn),有80%的居民支持糧食調(diào)價(jià),試計(jì)算該地區(qū)平均有多少人支持糧食調(diào)價(jià).解: 設(shè)X表示500名成年居民支持糧食調(diào)價(jià)的人數(shù).那么X~B(500,80%)EX=

np

=500×80%=400(名)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，如:要計(jì)算或諸如此類的計(jì)算問題，必須尋求近似方法.二項(xiàng)分布的泊松近似.(二).泊松(Poisson)分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,

2,…,且概率分布為：其中

>0

是常數(shù),則稱

X

服從參數(shù)為

的泊松分布,記作X~P(

).當(dāng)λ=2時(shí),泊松分布為:不難驗(yàn)證：

（1）（2）這是因?yàn)?泊松(Poisson)分布的數(shù)學(xué)期望與方差.一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù);…一放射性源放射出的 粒子數(shù)；某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù)；到某機(jī)場降落的飛機(jī)數(shù);一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù);例如泊松分布常用于稠密性問題例:一個(gè)合訂本共100頁,假定每頁上印刷錯(cuò)誤的數(shù)目X服從泊松分布(λ=2),計(jì)算該合訂本中各頁的印刷錯(cuò)誤都不超過4個(gè)的概率.解: 由題目X~P(2).P(X≤4)=

P(X=0)+

P(X=1)+

P(X=2)+

P(X=3)+

P(X=4).查表求值.=0.135335+0.270671+0.270671+

0.180447+0.09022=4=40.947348.所求概率為(0.947348)100=0.0045.泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P(

)二項(xiàng)分布與泊松分布?xì)v史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.n

100,

np10時(shí)近似效果就很好請(qǐng)看演示二項(xiàng)分布的泊松近似當(dāng)n很大時(shí)，p

很小.有以下近似式：其中實(shí)際計(jì)算中，泊松定理:

設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p).由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.

設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來處理. 問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的二項(xiàng)分布.解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N個(gè)維修人員， 所求的是滿足P(X>N)<0.01的最小的N.P(X>N)=只需配備8名工人若一人負(fù)責(zé)20臺(tái),求這20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)處理的概率此時(shí),