何不使用《超級(jí)畫板》

何不使用《超級(jí)畫板》張景中彭翕成武漢華中師范大學(xué)教育信息技術(shù)工程研究中心430079最近，單壿先生在《何不使用計(jì)算器》（文[1]）中談到可以用計(jì)算器來解決“在△ABC中，已知，，且，求”是否有解的爭論（參見《數(shù)學(xué)通訊》2006年第23期爭鳴欄目）。因?yàn)橛糜?jì)算器很容易就能得出，這與矛盾，所以題設(shè)條件不合理。作為我國著名的奧賽專家，單壿先生都主張用計(jì)算器來幫助解題，可見計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)逐步深入，正從單純的教學(xué)演示向日常的學(xué)習(xí)工具發(fā)生轉(zhuǎn)變。在沒有條件使用計(jì)算機(jī)時(shí)，選用計(jì)算器不失為一種選擇；但如果有條件使用計(jì)算機(jī)，還是用計(jì)算機(jī)效果更好。當(dāng)然，使用計(jì)算機(jī)需要選擇合適的軟件，在此我們向大家推薦《Z+Z智能教育平臺(tái)——超級(jí)畫板》，下面通過幾個(gè)實(shí)例來說明。例1也談構(gòu)造n次迭代還原函數(shù)《數(shù)學(xué)通訊》刊登的文[2]討論了n次迭代還原函數(shù)的問題。的n次迭代=，若存在最小的正整數(shù)n，使得，則稱為n次迭代還原函數(shù)。文[3]得出結(jié)論：若函數(shù)滿足，為2次迭代還原函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為3次迭代還原函數(shù)。若用《超級(jí)畫板》，我們只需在程序區(qū)依次輸入并執(zhí)行“f(x){(c*x+d)/(a*x+b);}”、“x-f(f(x));”、“x-f(f(f(x)));”得到圖1，然后比較系數(shù)即可得到上述結(jié)論。繼續(xù)探索可得：當(dāng)時(shí)，為4次迭代還原函數(shù)。用上述操作很容易驗(yàn)證為6次迭代還原函數(shù)和是3次迭代還原函數(shù)。圖1例2將圓的性質(zhì)推廣到橢圓這幾年的雜志刊登了很多類比、推廣的文章，如圓的性質(zhì)向橢圓的推廣。文[4]由圓的性質(zhì)向橢圓推廣得到了9條結(jié)論，其中第一條是：圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角；那么設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且不與，重合，則。這一結(jié)論是正確的，但不是本質(zhì)的。學(xué)過仿射幾何的人都知道：橢圓可以看作是圓壓縮而成，在變換過程中，有些幾何量是保持不變的，如同一直線上的線段比；而有些幾何量是會(huì)發(fā)生變化的，如線段的長度，直線的斜率等。若用《超級(jí)畫板》作出圖形，測(cè)量后就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)橢圓的主軸與坐標(biāo)系不平行時(shí)，不是常數(shù)。上述推論僅當(dāng)橢圓的主軸與坐標(biāo)系平行時(shí)才成立。那么，什么是本質(zhì)上的推廣呢？蝴蝶定理就是。蝴蝶定理對(duì)圓是成立的；當(dāng)圓變成橢圓時(shí)，其結(jié)論（表現(xiàn)為同一直線上的線段比）仍然成立。這一推廣可看作是本質(zhì)的推廣。圖2圖3再看一個(gè)例子。如圖3，過圓外點(diǎn)A作圓的切線AB、AC，AB與AC交于點(diǎn)D，AO交圓于點(diǎn)E，則可列出很多等式，如，，，等。當(dāng)圓變成橢圓，一般來說，，就不一定成立了；但，，都還是成立的。中學(xué)生雖然沒有學(xué)過仿射幾何，但可以借助《超級(jí)畫板》這樣的動(dòng)態(tài)幾何軟件作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)；中學(xué)老師也可以用他來驗(yàn)證所得到的結(jié)果，看看所得結(jié)論是否普遍成立。例3體會(huì)密率的優(yōu)越性祖沖之將圓周率的值精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，并提出了密率，即用作為π的近似值。在很長一段時(shí)間內(nèi)，密率的優(yōu)越性沒有引起人們的足夠重視。茅以升的《中國圓周率略史》記載：德國人蘇本在《數(shù)學(xué)游戲和隨筆》中說，分母在1000以內(nèi)的整數(shù)沒有比密率更準(zhǔn)確的。臺(tái)灣1982年出版的《環(huán)球百科全書》）則只是認(rèn)為：分母在113以內(nèi)的整數(shù)沒有比密率更準(zhǔn)確的。這類說法，大大低估了密率的準(zhǔn)確性。“要找比更接近于π的分?jǐn)?shù)，而且分母盡可能小”轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言就是“找一對(duì)正整數(shù)p，q，使?jié)M足（1）比更接近于π，也就是；（2）要求p盡可能小”；進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成程序語言如下：z=355/113;pi=3.14159265358979;d=z-pi;a=z;for(p=3;p<113;p=p+1){for(q=floor(p*(pi-d));q<floor(p*(pi+d))+1;q=q+1){if((q/p-pi)^2<(z-pi)^2){a=q/p;}else{a;}}}執(zhí)行此程序，計(jì)算機(jī)返回“>>(355)/(113)”，這說明在分母小于113的情況下，找不到符合要求的分?jǐn)?shù)。如果將“for(p=3;p<113;p=p+1)”改為“for(p=113;p<1000;p=p+1)”，運(yùn)行之后，計(jì)算機(jī)仍然返回“>>(355)/(113)”。耐心地做下去，最終發(fā)現(xiàn)符合要求的分?jǐn)?shù)是。這一分?jǐn)?shù)遠(yuǎn)比復(fù)雜。只有深刻感受密率的奧妙，我們才會(huì)發(fā)自內(nèi)心地敬重祖沖之這一偉大的數(shù)學(xué)家。筆者曾在《數(shù)學(xué)家的眼光》中證明了“若既約分?jǐn)?shù)比更接近圓周率，則分母一定要比16586要大”。因?yàn)槌Ｓ凶x者寫信來問能否通過計(jì)算得到，下面就給出改進(jìn)后的解法。已知，，所以。如果有一個(gè)分?jǐn)?shù)比更接近，由于，則。即有。由于，于是，解得。使得盡可能小，則取，即有被113整除。設(shè)，則。這樣問題就轉(zhuǎn)化為：“求滿足的最小的k”。我們可以用“笨辦法”驗(yàn)證，當(dāng)k＝0，1，2，……16時(shí)，都不能被113整除；而當(dāng)k＝17時(shí)，，能被113整除。此時(shí)，。得到這一結(jié)果，需要演算18次。若仔細(xì)觀察，計(jì)算可以大大減少。要使得k盡可能地小，其實(shí)就要使得m盡可能小，由于m的系數(shù)遠(yuǎn)大于k的系數(shù)，所以只需要檢驗(yàn)m，且m只能為奇數(shù)，可以“跳躍式前進(jìn)”。當(dāng)m＝1時(shí)，不合要求；當(dāng)m＝3時(shí)，即為所求。例4文章插圖問題最近，筆者常常登陸《數(shù)學(xué)通訊》的論壇，發(fā)現(xiàn)很多網(wǎng)友非常熱情，把自己的作品或收集到的資料拿出來給大家分享。有些是Word版本的，而其中的不少插圖是用Word自帶的繪圖工具繪制的。Word的繪圖工具不是為了繪制數(shù)學(xué)圖形而設(shè)計(jì)的，這些插圖準(zhǔn)確、美觀與否且不談，花費(fèi)了作者不少的時(shí)間。因?yàn)閃ord的繪圖工具沒有畫“點(diǎn)”功能，所以還有網(wǎng)友在為如何繪制點(diǎn)而發(fā)愁。中學(xué)數(shù)學(xué)中的圖形，主要是函數(shù)圖象，圓錐曲線，幾何圖形。如何繪制函數(shù)圖象和圓錐曲線，《數(shù)學(xué)通訊》的《超級(jí)畫板》專欄已經(jīng)作了相當(dāng)多的介紹，讀者也可參看文[5]的作法。因?yàn)椤冻?jí)畫板》的智能畫筆功能相當(dāng)強(qiáng)大，能直接作出點(diǎn)、線、圓等基本圖形；能主動(dòng)識(shí)別人的意圖，給出提示（如平行、垂直等），此時(shí)單擊或松開鼠標(biāo)即可作出需要的圖形。對(duì)于熟悉電腦基本操作的讀者，只要掌握下面三條基本規(guī)律便能舉一反三，得心應(yīng)手。第一條：左鍵單擊松開作點(diǎn)，左鍵按下拖動(dòng)畫線，左鍵雙擊（第二擊不抬起）拖動(dòng)畫圓。第二條：屏幕上出現(xiàn)的提示符合要求時(shí)單擊或松開即完成提示的操作。例如，鼠標(biāo)指向所要的交點(diǎn)并出現(xiàn)“交點(diǎn)”字樣時(shí)單擊就作出交點(diǎn)，鼠標(biāo)拖動(dòng)畫線并出現(xiàn)“平行”字樣時(shí)松開左鍵就畫出了平行線段。第三條：與作圖有關(guān)的幾何對(duì)象會(huì)變色。例如，作交點(diǎn)時(shí)相交的線或圓會(huì)變色，作垂直線時(shí)與所畫線段垂直的線會(huì)變色。所以看見提示時(shí)要注意一下哪些東西變色，確認(rèn)是否符合要求，以免作錯(cuò)。在繪制好圖形之后，可采用截圖的方式將轉(zhuǎn)移到其他程序中去?？梢杂面I盤上的PrintScreen鍵進(jìn)行截圖，然后再用Windows自帶的畫圖工具，進(jìn)行裁減；使用QQ的朋友則更方便，可直接按住Ctrl+Alt+A進(jìn)行截圖，調(diào)整所選方框相當(dāng)方便，截圖后，可直接粘貼到Word文檔中，無需保存成圖片格式。截圖之前有幾點(diǎn)需要注意：（1）有些刊物要求所有點(diǎn)的標(biāo)簽的字體要設(shè)置成TimesNewRoman、斜體，在《超級(jí)畫板》可選中所有點(diǎn)，在編輯菜單中統(tǒng)一進(jìn)行設(shè)置；點(diǎn)的標(biāo)簽的字體要適當(dāng)大一點(diǎn)，否則圖片一縮小，標(biāo)簽就看不清楚了；點(diǎn)的標(biāo)簽位置要適當(dāng)，不要和其他對(duì)象重疊；（2）有時(shí)圖形牽涉到坐標(biāo)系，可將坐標(biāo)系往屏幕左上方作適當(dāng)移動(dòng)，以免坐標(biāo)系不完整（沒有箭頭）。圖4則是筆者最近出版的《數(shù)學(xué)家的眼光（2007年增補(bǔ)版）》中的一個(gè)插圖，出版社的編輯認(rèn)為《超級(jí)畫板》所作圖形完全已經(jīng)達(dá)到了出版要求。圖4《超級(jí)畫板》不僅可以作為課件制作的平臺(tái)，還可以成為我們?nèi)粘W(xué)習(xí)的工具，給師生提供實(shí)驗(yàn)探索的環(huán)境、創(chuàng)新思維的觸媒和藝術(shù)欣賞的園地（文[6]），何不早點(diǎn)開始使用它呢？讀者在使用《超級(jí)畫板》過程中，如果遇到什么問題，可登錄《數(shù)學(xué)通訊》的論壇（/bbs）發(fā)布帖子，我們將盡全力給予幫助。參考文獻(xiàn)[1]單壿.何不使用計(jì)算器.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州）,2007（8）[2]曹松青.n次迭代還原函數(shù)的一