鐵道客車垂向振動系統(tǒng)建模與分析

鐵道客車垂向振動系統(tǒng)建模與分析

隨著運營速度的增加和客運系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的減少，車輛結(jié)構(gòu)的彈性振動對客運系統(tǒng)的運營穩(wěn)定性的影響越來越明顯。因此，為了研究車輛的柔性振動效應(yīng)，我們不能使用傳統(tǒng)的多剛體系統(tǒng)動力學(xué)方法來進(jìn)行客車系統(tǒng)的建模，也不能使用剛?cè)狍w界面動力學(xué)方法進(jìn)行研究。另外,客車系統(tǒng)速度的提高和彈性振動的加劇,也要求懸掛系統(tǒng)具有更好的減振隔振性能,但傳統(tǒng)懸掛系統(tǒng)的阻尼與剛度參數(shù)一經(jīng)確定,客車系統(tǒng)的振動性能也就確定了。如要進(jìn)一步提高客車系統(tǒng)的減振性能,有效的方法是采用主動和半主動懸掛,由于其能夠根據(jù)線路及運行狀況實時地調(diào)整懸掛系統(tǒng)參數(shù),可以保證客車高速運行時具有更好地運行平穩(wěn)性能,因而一直受到科技工作者的廣泛重視和深入研究。主動和半主動懸掛已在日本新干線500系、700系等高速列車上得到成功應(yīng)用。本文的主要目的是通過建立考慮車體彈性振動的客車剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型,深入研究客車的幅頻振動特性和隨機(jī)振動特性,并應(yīng)用半主動懸掛進(jìn)一步改善客車系統(tǒng)的振動性能。1半主動減振器阻尼系數(shù)選取鐵道客車以常速v在直線軌道上運行來建立考慮車體彈性效應(yīng)的垂向振動數(shù)學(xué)模型,客車系統(tǒng)力學(xué)模型和車體彈性振動坐標(biāo)系如圖1所示。模型由輪對、構(gòu)架和車體3個部件以及一系懸掛和二系懸掛組成,二系懸掛采用半主動減振器,目的是在不改變其他參數(shù)的情況下,看能否通過半主動減振器進(jìn)行車體的浮沉尤其是彎曲振動的減振。為了研究車體的彈性效應(yīng)對客車系統(tǒng)振動的影響,也為了研究問題和尋找振動規(guī)律的方便,將車體假設(shè)為均質(zhì)等截面歐拉梁,而輪對和構(gòu)架仍看成剛體。將每一部件坐標(biāo)系的原點取在其靜平衡時的質(zhì)心位置,并以速度v沿軌道中心線向前即x方向運動,坐標(biāo)系的z軸垂直于軌道平面指向上,車體彈性振動坐標(biāo)系隨車體剛性運動一起運動。由于構(gòu)架的點頭運動與客車垂向振動系統(tǒng)的其他運動不耦合,在此可不予考慮。因此,整個客車垂向振動系統(tǒng)的剛體運動只需考慮4個自由度,即:前后構(gòu)架的浮沉運動zb1、zb2;車體的浮沉運動zc和繞橫向軸(指向紙面)的點頭運動θc?？蛙囅到y(tǒng)的參數(shù)說明及原始參數(shù)值見表1?？蓪④圀w看成兩端自由的均質(zhì)等截面歐拉梁,設(shè)車體的垂向彈性振動位移為u(x,t),則車體彈性振動偏微分方程為EΙ?4u(x,t)?x4+ρA?2u(x,t)?t2=-ρA¨zc(t)+ρA(x-L2)¨θc+2∑k=1Fk(t)δ(x-xk)(1)式中,xk=L/2-(-1)kLs,k=1對應(yīng)于前轉(zhuǎn)向架,k=2對應(yīng)于后轉(zhuǎn)向架;Fk(t)為彈簧阻尼力,其式為Fk(t)=-c2k[˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θc-˙zbk(t)]-k2[zc(t)+u(xk,t)+(-1)kLsθc-zbk(t)](2)式中,c2k(k=1,2)為前后轉(zhuǎn)向架二系垂向半主動減振器的阻尼系數(shù),如始終取c2k=c2,即為被動懸掛。半主動減振器的阻尼系數(shù)采用開關(guān)控制方式,控制規(guī)律為c2k(t)={min(ch,c2˙zck(t)Δ˙zck(t))˙zck(t)Δ˙zck(t)＞0c0zck(t)Δ˙zck(t)≤0(3)式中,ch、c0為半主動減振器阻尼系數(shù)的高限和低限值,本文取c0=0為理想情況下的值;c2為基值阻尼系數(shù);˙zck(t),Δ˙zck(t)分別為半主動減振器車體懸掛點的絕對速度和半主動減振器的相對速度,其表達(dá)式為{˙zck(t)=˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θcΔ˙zck(t)=˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θc-˙zbk(t)(4)對于車體而言,半主動減振器提供只做負(fù)功的阻尼力,使車體起到減振作用,以提高旅客的乘坐舒適性。但對于構(gòu)架而言,半主動減振器提供的阻尼力可能會做負(fù)功,也可能會做正功。設(shè)車體第i階正則振型函數(shù)和正則坐標(biāo)分別為Yi(x)和qi(t),可采用振型疊加法截取前N階模態(tài)來求車體彈性振動響應(yīng),方程(1)的解可表示為u(x,t)=Ν∑i=1ui(x,t)=Ν∑i=1Yi(x)qi(t)(5)對于截取的模態(tài)階數(shù)N,要求截止頻率高于實際有效頻率的兩倍以上。將式(5)代入式(1)得EΙΝ∑i=1d4Yi(x)dx4qi(t)+ρAΝ∑i=1Yi(x)d2qi(t)dt2=-ρA¨zc(t)+ρA(x-L2)¨θc+2∑k=1Fk(t)δ(x-xk)(6)將式(6)乘以Yj(x)dx,沿車體全長積分,并利用模態(tài)的正交性和δ函數(shù)的性質(zhì),得到¨qi(t)+ω2iqi(t)=-mzi¨zc(t)+mθi¨θc(t)+2∑k=1Fk(t)Yi(xk)(7)式中,廣義質(zhì)量mzi=ρA∫L0Yi(x)dxmθi=ρA∫L0(x-L2)Yi(x)dx對于具有自由邊界條件的歐拉梁,其固有(自振)頻率和正則振型為ωi≈(2i+1)2π24L2√EΙρA(8)Yi(x)=AiUi(x)=Ai[chβix+cosβix-chβiL-cosβiLshβiL-sinβiL(shβix+sinβix)](9)式中,βi≈(2i+1)π2L;系數(shù)Ai=1/√ρA∫L0U2i(x)dx?？赏茖?dǎo)出客車系統(tǒng)的剛體運動微分方程組mb¨zb1+2c1˙zb1+c21[˙zb1-˙zc-˙u(x1,t)+Ls˙θc]+(2k1+k2)zb1-k2[zc+Lsθc+u(x1,t)]=c1[˙zr(t)+˙zr(t-τ1)]+k1[zr(t)+zr(t-τ1)](10)mb¨zb2+2c1˙zb2+c22[˙zb2-˙zc-˙u(x2,t)-Ls˙θc]+(2k1+k2)zb2-k2[zc-Lsθc+u(x2,t)]=c1[˙zr(t-τ2)+˙zr(t-τ3)]+k1[zr(t-τ2)+zr(t-τ3)](11)mc¨zc+Ν∑i=1mzi¨qi+c21[˙zc+˙u(x1,t)-Ls˙θc-˙zb1]+c22[˙zc+˙u(x2,t)+Ls˙θc-˙zb2]+k2[2zc-zb1-zb2+u(x1,t)+u(x2,t)]=0(12)Ιc¨θc-Ν∑i=1mθi¨qi+c21Ls[Ls˙θc-˙u(x1,t)+˙zb1]+c22Ls[Ls˙θc+˙u(x2,t)-˙zb2]+k2Ls[2Lsθc-u(x1,t)+u(x2,t)+(zb1-zb2)]=0(13)式(10)、式(11)中,zr為軌道激勵;二到四位輪對的時間滯后為τ1=2bvτ2=2Lsvτ3=2(b+Ls)v(14)聯(lián)立上面的各式就可進(jìn)行考慮車體彈性效應(yīng)的客車系統(tǒng)振動計算,式(7)、式(12)和式(13)中包含多個慣性力項,需事先進(jìn)行解耦。如式(7)考慮前N階模態(tài),則客車系統(tǒng)的總方程數(shù)為N+4。2自由模態(tài)下一階彎曲共振車體垂向彎曲振動的自振頻率fi=ωi/2π,可采用式(8)計算,其前三階彎曲自振頻率與車體截面等效抗彎剛度EI的關(guān)系見圖2,EI越大則彎曲自振頻率越高。原始參數(shù)下的一、二、三階彎曲自振頻率分別為9.70Hz、26.94Hz、52.81Hz。因此,考慮車體的前三階模態(tài)已能夠滿足實際要求。軌道上總是存在各種各樣的不平順激勵,有周期性和隨機(jī)性的,周期性不平順具有特定的波長,而隨機(jī)不平順是含有不同頻率成分的連續(xù)譜,也可看成是由很多不同波長組成的。當(dāng)某一波長的激勵恰好引起客車系統(tǒng)某一振型的振動并與其自振頻率相等時,就會引起該振型的共振,這時的車速可定義為共振速度。車體浮沉振動將引發(fā)車體一階彎曲振動模態(tài),該模態(tài)出現(xiàn)共振的條件為:車輛定距是軌道激勵波長Lr的整倍數(shù),這時車輛系統(tǒng)在此波長的激勵作用下表現(xiàn)為上下浮沉振動。車體一階垂向彎曲自振頻率f1等于軌道激勵頻率(車速與軌道波長之比),即Lr=2Lsnf1=vnLrn=1,2,3,?(15)由式(15)可得到共振速度vn=2Lsf1n(16)車體點頭振動將引發(fā)車體二階彎曲振動模態(tài),該模態(tài)出現(xiàn)共振的條件為Lr=4Ls2n-1f2=vnLrn=1,2,3,?(17)于是,可得到車體點頭共振速度為vn=4Lsf22n-1(18)當(dāng)n較小時,共振速度高,對應(yīng)于軌道長波長,共振時的軌道波長只與車輛定距有關(guān)。由計算公式(18)可知,共振速度只與車輛系統(tǒng)本身自振頻率和車輛定距有關(guān)。改變車體的垂向彎曲自振頻率,共振速度將改變,自振頻率高則各次共振速度提高。由計算得到的車體一階、二階垂向彎曲振動的各次共振速度和對應(yīng)的軌道波長,分別見表2和表3。而對應(yīng)于軌道長波長(較小的n值)的車體二階彎曲共振速度太高,無實際意義,在此無需列出。由于車體三階及以上的高階彎曲自振頻率較高,要使其模態(tài)出現(xiàn)共振,則車輛運行速度需要更高,軌道波長更短,這在實際情況下一般是不易出現(xiàn)的,可不必考慮。我們知道,實際軌道激勵是隨機(jī)的,含有不同波長成分,只是有些波長成分能量強,有些弱。因此,當(dāng)客車從低速到高速(如350km/h)的加速運行過程中,車體一階和二階垂向彎曲振動會出現(xiàn)多次不同強弱的共振,由于共振速度是很快越過的,對客車系統(tǒng)的振動影響不會太大。但是,如果客車的正常運行速度處于共振速度附近,如200～210km/h,這勢必會引起車體的一階彎曲共振(表2中的n=3)和二階彎曲共振(表3中的n=9),解決的辦法唯有從軌道上考慮,盡量減小對應(yīng)的軌道波長(6m,2.12m)的強度。如要從根本上避免出現(xiàn)車體彎曲共振,客車的運行速度就需避開共振速度。本文共振速度的概念同樣適用于車輛系統(tǒng)的多剛體振動和橫向彈性振動。3共振速度的測試對于計及車體彈性效應(yīng)時的客車系統(tǒng)幅頻特性分析,考慮車體彎曲振動前三階模態(tài),采用變步長四階龍格-庫塔法在時域內(nèi)進(jìn)行客車系統(tǒng)方程的求解。一位輪對處的軌道激勵取為zr(t)=asin2πft,式中激勵頻率f=v/Lr。于是,我們可進(jìn)行客車系統(tǒng)幅頻特性曲線的計算,即得到動力放大系數(shù)β(穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵幅值之比)與激勵頻率或車速(固定軌道波長)的關(guān)系。圖3和圖4分別為針對車體一階和二階彎曲振動計算得到的動力放大系數(shù)與車速的關(guān)系曲線,車體一階彎曲振動輸出響應(yīng)取點為車體中央(x=12.25m),二階彎曲振動取點為車體端部(x=0.0m)。圖中不同的曲線n是在不同的軌道波長(見表2和表3)激振下得到的,各曲線的峰點對應(yīng)于該軌道波長下的共振速度。由計算結(jié)果可知,通過數(shù)值計算得到的各次共振速度的值與前節(jié)根據(jù)共振速度定義得到的結(jié)果是一致的,這驗證了共振速度定義的正確性。圖中各曲線在低速時還存在另一峰值點,其對應(yīng)于車體的浮沉和點頭剛體模態(tài)自振頻率。4個輪對同時同向垂向激振,并逐漸加大激振頻率,可得到車體和構(gòu)架振動的幅頻特性曲線,車體輸出點為車體中央。由圖5可知,車體的浮沉共振頻率為0.77Hz,車體的一階彎曲共振頻率為9.68Hz(與式(8)算得的固有頻率相符),構(gòu)架的浮沉共振頻率為5.5Hz;采用半主動減振器能夠減小車體的振動,但構(gòu)架的振動有所增大,這是由于半主動減振器是針對車體運動方向采用開關(guān)方式控制阻尼力的緣故。由圖6可知,車體一階彎曲自振頻率越低并越靠近構(gòu)架的浮沉自振頻率,車體垂向共振的峰值越大,因此,車體一階彎曲自振頻率應(yīng)盡量離開構(gòu)架的浮沉自振頻率。一、二位輪對同時同向垂向激振,而三、四位輪對同時反向垂向激振,并逐漸加大激振頻率,得到的車體和構(gòu)架振動的幅頻特性曲線見圖7,車體輸出點為車體端部。同樣由圖7可知,車體的點頭共振頻率為1.06Hz,車體的二階彎曲共振頻率為26.94Hz(與式(8)算得的固有頻率相符);采用半主動減振器能夠減小車體的振動,但構(gòu)架的振動有所增大。4彈性土地模型的試驗結(jié)果實際的軌道隨機(jī)不平順是含有不同波長成分的連續(xù)譜,圖8為一軌道隨機(jī)不平順輸入,能量主要集中在波長為30～70m的范圍內(nèi),以約62m波長處的能量最大。對于客車系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算,同樣采用時域方法來進(jìn)行,認(rèn)為軌道的隨機(jī)不平順輸入是各態(tài)歷經(jīng)的,因此,可以用一段有限長的軌道隨機(jī)輸入樣本函數(shù)來模擬客車在線路上的運行情況。軌道隨機(jī)激勵下客車系統(tǒng)的加速度和位移響應(yīng)計算結(jié)果如圖9、圖10所示,車體響應(yīng)包含浮沉、點頭剛體振型和前三階彎曲振型的疊加。由圖9可知,車體加速度隨車速的提高而增大,由于車體彈性振動的影響,端部的加速度大于中部;采用半主動減振器能夠顯著降低車體的加速度,在高速情況下減振效果更好;但采用半主動減振器會使構(gòu)架的加速度有所增大,這與前一節(jié)的幅頻特性分析結(jié)果一致。由圖10可知,車體和構(gòu)架位移存在峰值,對應(yīng)的車速為170km/h左右,該速度主要對應(yīng)于車體的浮沉共振(自振頻率0.77Hz),是由能量相對比較集中的62m軌道波長引起的;采用半主動減振器會使共振速度有所減小;車體端部的位移響應(yīng)大于中部,采用半主動減振器能夠顯著降低車體的位移響應(yīng),但會使構(gòu)架位移響應(yīng)有所增大?？紤]與不考慮車體彈性振動情況下車體端部和中部的平穩(wěn)性指標(biāo)計算結(jié)果如圖11所示。由圖可知,平穩(wěn)性指標(biāo)隨車速的提高而增大,彈性車體模型的結(jié)果大于剛性車體,速度越高彈性振動的影響越大;車體端部的平穩(wěn)性指標(biāo)大于中部;對于被動懸掛的彈性車體模型,平穩(wěn)性指標(biāo)在125、225、315km/h等多個速度附近存在峰值點,這