機(jī)器人雅可比矩陣課件

機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)第四章機(jī)器人雅可比矩陣(ManipulatorJacobian)課程的基本要求:掌握運(yùn)動(dòng)和力雅可比矩陣的物理含義及基本的求解方法機(jī)器人雅可比矩陣4.1雅可比矩陣的定義機(jī)器人雅可比矩陣回顧：基本概念剛體位姿描述和齊次變換齊次坐標(biāo),歐拉角與RPY角齊次變換和齊次變換矩陣的運(yùn)算操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)連桿參數(shù)、連桿坐標(biāo)系連桿變換和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程機(jī)器人關(guān)節(jié)空間與操作空間機(jī)器人雅可比矩陣關(guān)節(jié)角位置和操作臂末端的直角坐標(biāo)位置關(guān)節(jié)空間操作空間運(yùn)動(dòng)學(xué)正解運(yùn)動(dòng)學(xué)反解機(jī)器人雅可比矩陣關(guān)節(jié)角速度和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度關(guān)節(jié)空間操作空間運(yùn)動(dòng)學(xué)正解運(yùn)動(dòng)學(xué)反解機(jī)器人雅可比矩陣4.1雅可比矩陣的定義(Jacobianmatrix)操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性變換。操作臂的雅可比矩陣，建立了從關(guān)節(jié)速度向操作速度的映射關(guān)系。進(jìn)行機(jī)器人操作臂的速度分析。式中，稱為末端在操作空間的廣義速度，簡(jiǎn)稱為操作速度，為關(guān)節(jié)速度；是6×n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為操作臂的雅可比矩陣。它的第i行第j列元素為，i=1,2,…,6;j=1,2,…,n。操作臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，描述機(jī)器人操作臂的位移關(guān)系，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。剛體的齊次變換矩陣，描述剛體之間的空間位姿關(guān)系。機(jī)器人雅可比矩陣假設(shè)矢量yRm為uRn的函數(shù)y=y(u)y相對(duì)于u的偏導(dǎo)數(shù)定義為

對(duì)于m=1,（標(biāo)量對(duì)矢量的導(dǎo)數(shù)）機(jī)器人雅可比矩陣根據(jù)上述一般數(shù)學(xué)定義，對(duì)于6關(guān)節(jié)機(jī)器人：設(shè)有6個(gè)各含6個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，簡(jiǎn)寫為x=f(q)。

求微分，

注意，如果函數(shù)f1(q)到f6(q)是非線性的，則是q的函數(shù)，寫成，式子兩邊同除以時(shí)間的微分，上式中，66的偏導(dǎo)數(shù)矩陣J(q)叫做雅可比矩陣。其中機(jī)器人雅可比矩陣雅可比矩陣機(jī)器人關(guān)節(jié)數(shù)*雅可比矩陣的行數(shù)取決于機(jī)器人的類型機(jī)器人雅可比矩陣雅可比矩陣在機(jī)器人中的應(yīng)用機(jī)器人雅可比矩陣可以把雅可比矩陣看作是關(guān)節(jié)的速度

變換到操作速度V的變換矩陣在任何特定時(shí)刻，q具有某一特定值，J(q)就是一個(gè)線性變換。在每一新的時(shí)刻，q已改變，線性變換也因之改變，所以雅可比矩陣是一個(gè)時(shí)變的線性變換矩陣。在機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，通常談到的雅可比矩陣是把關(guān)節(jié)角速度和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度聯(lián)系在一起的。必須注意到，對(duì)于任何給定的操作臂的結(jié)構(gòu)和外形，關(guān)節(jié)速度是和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度成線性關(guān)系，但這只是一個(gè)瞬間關(guān)系。機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣(x,y)

2

1xyl1l2例4.1將平面2R機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程兩端分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),則得其雅可比矩陣為平面2R機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些形位q，操作臂的雅可比矩陣的秩減少、這些形位稱為操作臂的奇異形位：操作臂的雅可比矩陣的秩減少的形位（數(shù)學(xué)上）操作臂在操作空間的自由度將減少（物理上）(singularconfiguration)機(jī)器人雅可比矩陣(x,y)

2

1xyl1l2例4.1可利用雅可比矩陣的行列式判別奇異形位當(dāng)

2＝90或

2

＝0時(shí),機(jī)械手的雅可比行列式為0．矩陣的秩為1，因而處于奇異狀態(tài)。從幾何上看機(jī)械手完全伸直(

2

＝0)或完全縮回(

2

＝180)時(shí)，機(jī)械手末端喪失了徑向自由度．僅能沿切向運(yùn)動(dòng)，在奇異形位時(shí)，機(jī)械手在操作空間的自由度將減少。機(jī)器人雅可比矩陣?yán)?.2如圖所示．為了實(shí)現(xiàn)平面2R機(jī)械手末端沿x0軸以lm/s的速度運(yùn)動(dòng)，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度解：由

可以看出，只要機(jī)械手的雅可比J(q)是滿秩的方陣,相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度即可解出對(duì)于平面2R機(jī)械手，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為平面2R機(jī)械手的速度反解機(jī)器人雅可比矩陣?yán)?.2如圖所示．為了實(shí)現(xiàn)平面2R機(jī)械手末端沿x0軸以lm/s的速度運(yùn)動(dòng)，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度解：雅可比J(q)為于是得到與末端速度相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度反解為逆雅可比可為機(jī)器人雅可比矩陣討論：機(jī)械手接近奇異形位時(shí)，關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大。當(dāng)

2＝0；

2＝180時(shí)，機(jī)械手在水平位置，機(jī)器人雅可比矩陣?yán)何锢矸抡嬷械难趴杀染仃嚰s束函數(shù)C(x),單位圓上的質(zhì)點(diǎn)位置約束為一般情況下，采用位姿矢量q聚合表達(dá)n個(gè)粒子的位置。在3D空間，矢量長(zhǎng)度為3n?？紤]位置約束C是一個(gè)關(guān)于位姿矢量q的未知函數(shù)，則速度約束

矩陣被稱作C的雅可比矩陣，記作J。為了進(jìn)行物理仿真，求微分，根據(jù)力學(xué)關(guān)系，建立微分約束方程，基于物理仿真。機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣?yán)?：立體視覺雅可比矩陣兩只CCD攝像機(jī)任意的安裝在機(jī)器人手腕上，形成手眼機(jī)器人立體視覺系統(tǒng)。{Xc,Yc,Zc}為攝像機(jī)坐標(biāo)系，{x,y}為圖像坐標(biāo)系，CO為攝像機(jī)焦距f{Xw,Yw,Zw}為世界坐標(biāo)系，則根據(jù)上述透視投影關(guān)系,得到以世界坐標(biāo)系表示的P點(diǎn)坐標(biāo)與其投影點(diǎn)p的坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系：scenepointopticalcenterimageplaneyxXcYcCOpP(Xc,Yc,Zc)ZcXwYwZwW攝像機(jī)成像模型機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得：為世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的雅可比映射矩陣，它是攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)的函數(shù)。進(jìn)一步，經(jīng)過立體視覺攝像機(jī)定標(biāo)，得到：其中，=，k代表攝像機(jī)1，2。上式為手眼機(jī)器人跟蹤系統(tǒng)的視覺伺服控制方程。如果物體在世界坐標(biāo)系下的速度已知，根據(jù)采樣時(shí)間步長(zhǎng)

t，前一幀圖像位置x(k)，根據(jù)上式可以估計(jì)下一幀圖像位置x(k+1)，則可通過控制攝像機(jī)位姿，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的跟蹤。機(jī)器人雅可比矩陣4.2微分運(yùn)動(dòng)與廣義速度機(jī)器人雅可比矩陣4.2微分運(yùn)動(dòng)與廣義速度

剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)包含微分移動(dòng)矢量d和微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。前者由沿三個(gè)坐標(biāo)軸的微分移動(dòng)組成；后者又繞三個(gè)坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)組成，即將兩者合并為6維列矢量D，稱為剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量：

相應(yīng)地，剛體或坐標(biāo)系的廣義速度V是由線速度v,

組成的6維矢量：

機(jī)器人雅可比矩陣dδ

微分運(yùn)動(dòng)D和廣義速度V是相對(duì)于參考坐標(biāo)系而言的。例如，相對(duì)于坐標(biāo)系{T}而言，用，表示。

機(jī)器人雅可比矩陣dδ若相對(duì)于基坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)為D，則相對(duì)于坐標(biāo)系{T}的微分運(yùn)動(dòng)為{T}pnoa注意：D的微分位移和旋轉(zhuǎn)應(yīng)看作通過基坐標(biāo)系的原點(diǎn)的矢量。機(jī)器人雅可比矩陣合并寫為機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)于任何三維矢量p=[px，py，pz]T，其反對(duì)稱矩陣S(p)定義為S(p)是一個(gè)叉積算子，易證S(p)=p,

S(p)=–(p)T

機(jī)器人雅可比矩陣微分位移的變換簡(jiǎn)寫為

式中,R=[n,o,a]是旋轉(zhuǎn)矩陣。

相應(yīng)地，廣義速度V的坐標(biāo)變換為任意兩坐標(biāo)系{A},{B}之間廣義速度的坐標(biāo)變換為機(jī)器人雅可比矩陣4.3雅可比矩陣的構(gòu)造法機(jī)器人雅可比矩陣雅可比矩陣J(q)既可看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即對(duì)n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，J的每一列代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對(duì)于手爪線速度和角速度的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣分塊為4.3雅可比矩陣的構(gòu)造法關(guān)節(jié)速度線速度角速度機(jī)器人雅可比矩陣關(guān)節(jié)1速度引起手爪的線速度下面采用構(gòu)造性的方法直接構(gòu)造出各項(xiàng)Jti和Jai機(jī)器人雅可比矩陣Whitney基于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的概念提出求機(jī)器人雅可比的矢量積方法。如圖所示,末端手爪的線速度v和角速度

與關(guān)節(jié)速度

有關(guān)（1）對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)i,（2）對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i,標(biāo)量矢量機(jī)器人雅可比矩陣矢量積方法其中，表示手爪坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)系{i}的位置矢量在基坐標(biāo)系{o}中的表示。zi是坐標(biāo)系{i}的z軸單位向量(在基坐標(biāo)系{o}表示的)。機(jī)器人雅可比矩陣用矢量積方法計(jì)算J(q)由于PUMA560的6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)．因此其雅可比具有下列形式：4.4PUMA560的雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣4.5力雅可比機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人與外界環(huán)境相互作用時(shí)，在接觸的地方要產(chǎn)生力f和力矩n，統(tǒng)稱為末端廣義(操作)力矢量。記為例如，操作臂提取重物時(shí)承受的外載作用力和力矩；抓手對(duì)被抓物體的作用力和力矩；多足步行機(jī)構(gòu)與地面的作用力和力矩。在靜止?fàn)顟B(tài)下，廣義操作力矢量f應(yīng)與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力(或力矩)相平衡。n個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力(或力矩)組成的n維矢量稱為關(guān)節(jié)力矢量預(yù)備知識(shí)—操作器的靜力機(jī)器人雅可比矩陣?yán)锰摴υ恚梢詫?dǎo)出關(guān)節(jié)力矢量

與相應(yīng)的廣義操作力矢量F之間的關(guān)系。令各關(guān)節(jié)的虛位移為

qi，末端執(zhí)行器相應(yīng)的虛位移為D。所謂虛位移，是滿足機(jī)械系統(tǒng)幾何約束的無限小位移。各關(guān)節(jié)所作的虛功之和W＝

Tq與末端執(zhí)行器所作的虛功W＝FTD＝fTd+nT

應(yīng)該相等(總的虛功為零)，即將代入上式可得出操作臂的力靜態(tài)平衡機(jī)器人雅可比矩陣4.5力雅可比式中，JT(q)稱為操作臂的力雅可比。它表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(運(yùn)動(dòng))雅可比的轉(zhuǎn)置。因此可以看出．操作臂的靜力傳遞關(guān)系與速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)。具有對(duì)偶性。操作臂的力雅可比表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。機(jī)器人雅可比矩陣當(dāng)J(q)退化時(shí)(即秩虧)，操作臂處于奇異形位。J(q)的零空間N(J(q))表示不產(chǎn)生操作速度的關(guān)節(jié)速度的集合。靜力映射的零空間N(JT(q))代表不需要任何關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由機(jī)構(gòu)本身承受。而值域空間R(JT(q))則表示操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)力矢量的集合。機(jī)器人雅可比矩陣根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)知識(shí)，零空間N(J(q))是值空間R(JT(q))在n維關(guān)節(jié)空間的正交補(bǔ)，即對(duì)于任何非零的

N(J(q))，則有

R(JT(q))；反之亦然。其物理含義是，在不產(chǎn)生操作速度的這些關(guān)節(jié)速度方向上，關(guān)節(jié)力矩不能被操作力所平衡。為了使操作臂保持靜止不動(dòng)，在零空間N(J(q))的關(guān)節(jié)力矢量必須為零。機(jī)器人雅可比矩陣在m維操作空間中存在著相似的對(duì)偶關(guān)系。R(J(q))是N(JT(q))在操作空間的正交補(bǔ)。因此，不能由關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的這些操作運(yùn)動(dòng)的方向恰恰正是不需要關(guān)節(jié)力矩來平衡的操作力的方向。反之，若外力作用的方向是沿著末端執(zhí)行器能夠運(yùn)動(dòng)的方向，則外力完全可以由關(guān)節(jié)力(矩)來平衡。當(dāng)雅可比J(q)退化時(shí)，操作臂處于奇異形位，零空間N(JT(q))不只包含0，因而外力可能承受在操作臂機(jī)構(gòu)本身上。利用瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)和靜力的對(duì)偶關(guān)系，可以從瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)關(guān)系推導(dǎo)出相應(yīng)的靜力關(guān)系。由式(4.18)可以導(dǎo)出兩坐標(biāo)系{A}和{B}之間廣義操作力的坐標(biāo)變換關(guān)系機(jī)器人雅可比矩陣?yán)弘p連桿平面機(jī)器人(p48,55-56)：雙連桿操作器機(jī)器人雅可比矩陣4.5雅可比的奇異性和靈巧度一、雅可比的奇異性操作臂的雅可比依賴于形位q，關(guān)節(jié)空間的奇異形位q定義為操作臂6×n的雅可比的秩不是滿秩的這些關(guān)節(jié)矢量q，即滿足相應(yīng)的操作空間中的點(diǎn)x＝x(q)為工作空間的奇異點(diǎn)。在奇異形位處，操作臂喪失一個(gè)或多個(gè)操作自由度。粗略地講，機(jī)器人的奇異形位分為兩類：

(1)邊界奇異形位；

(2)內(nèi)部奇異形位。機(jī)器人雅可比矩陣二、速度反解機(jī)器人在執(zhí)行某一特定任務(wù)時(shí)，所需抓手獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目m隨任務(wù)的性質(zhì)而異，最多為6，有些則小于6，例如弧焊、噴漆等有對(duì)稱軸線，獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)是5個(gè)；帶球形測(cè)頭的機(jī)器人需要3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)；用于圓柱銑刀加工的需要4個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)。用于端銑刀的需要4個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)，用于平面作業(yè)的機(jī)器人需要3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)。獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目即為操作空間的維數(shù)m(1)當(dāng)M＜n，且J(q)是滿秧時(shí)，機(jī)器人具有冗余自由度，冗余度定義為dim(N(J))(2)當(dāng)M＝n，且J(q)是滿秩的，稱為滿自由度；(3)當(dāng)M＞n，機(jī)器人是欠自由度的。機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)于滿自由度的機(jī)器人，J(q)是方陣，一般情況下，根據(jù)操作速度

，可以反解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。只是在奇異形位時(shí)，逆雅可比J-1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇異點(diǎn)附近J(q)矩陣是病態(tài)的，反解的關(guān)節(jié)速度矢量可能趨于無限大。操作臂的運(yùn)動(dòng)性能和動(dòng)態(tài)性能變壞。實(shí)際上，若雅可比J(q)是滿秩方陣時(shí)，操作臂運(yùn)動(dòng)方程的速度反解為雅可比矩陣的秩若J是方陣，且非奇異，求逆運(yùn)算機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)于冗余度機(jī)器人，其雅可比的列數(shù)多于行數(shù)．即n＞m。當(dāng)J(q)是滿秩的時(shí)，冗余度為dim(N(J(q)))=n

m>0其運(yùn)動(dòng)方程(4.2)的速度反解不唯一，解集合所包含的任意參數(shù)的數(shù)目等于冗余度dim(N(J(q)))。其通解可表示為式中，

是方程(4.2)的一特解;是J(q)零空間的任意矢量，k是任意常數(shù).冗余度機(jī)器人對(duì)于避免碰撞，避開奇異狀態(tài)，增加操作臂的靈巧性，改善動(dòng)態(tài)性能會(huì)帶來好處。機(jī)器人雅可比矩陣若

其中

是J的廣義逆機(jī)器人雅可比矩陣操作臂雅可比的奇異性定性地描述了操作臂的運(yùn)動(dòng)靈巧性和運(yùn)動(dòng)性能。為了定量分析操作臂的靈巧性和速度反解的精度，提出了許多度量指標(biāo)。所有這些指標(biāo)在概念上都與雅可比的奇異值有關(guān)。根據(jù)矩陣的奇異值分解理論，對(duì)操作臂在任意形位的雅可比J(q)進(jìn)行奇異值分解，即式中，

為正交矩陣，而式中，

1＞

2＞…＞

m＞0為J的奇異值。三、雅可比矩陣的奇異值分解機(jī)器人雅可比矩陣1.條件數(shù)四、靈巧性度量指標(biāo)最大奇異值最小奇異值2.最小奇異值操作臂形位具有各向同性操作臂終端對(duì)于關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)越快。機(jī)器人雅可比矩陣3．可操作性(可操作度)小節(jié)計(jì)算雅克比速度映射力映射機(jī)器人雅可比矩陣作業(yè)：4.4,4.5,4.15機(jī)器人雅可比矩陣4.7剛度和變形機(jī)械臂在外力作用下發(fā)生變形，與操作臂剛度和作用力矢量有關(guān)。剛度是影響動(dòng)態(tài)特性和定位精度的主要因素。主要來源：連桿變形、連桿支撐和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)裝置。機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人關(guān)節(jié)變形的一個(gè)直接影響是引起末端的靜態(tài)變形誤差。在機(jī)器人的自重和外部負(fù)載的作用下，各關(guān)節(jié)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變形，而這種變形又會(huì)累積到機(jī)器人的末端。對(duì)串聯(lián)機(jī)器人，這種作用尤為明顯。機(jī)器人雅可比矩陣對(duì)于絕大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人，連桿臂的剛度足夠大，機(jī)器人的彈性變形主要體現(xiàn)在組成關(guān)節(jié)的傳動(dòng)部件上。關(guān)節(jié)變形主要是由傳動(dòng)件產(chǎn)生，如諧波齒輪，齒輪箱，傳動(dòng)帶，長(zhǎng)轉(zhuǎn)軸。連桿變形則主要是機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)剛度不足引起的。轉(zhuǎn)子—扭簧模型機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣操作剛度建模為操作柔度矩陣為操作剛度矩陣在關(guān)節(jié)處附加一個(gè)彈簧，其彈性系數(shù)為k。

稱k為關(guān)節(jié)剛度，稱k的倒數(shù)c為關(guān)節(jié)柔度。設(shè)各關(guān)節(jié)剛度為kq