北師大版選擇性122圓的一般方程課件（21張）

2.2圓的一般方程第一章內(nèi)容索引0102自主預習新知導學合作探究釋疑解惑自主預習新知導學圓的一般方程1.(1)圓的一般方程當

D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程.(2)二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圓時,其在代數(shù)結構上的典型特征:①x2,y2的

系數(shù)相同

,且不等于0,即A=B≠0;②

不含

xy這樣的二次項,即C=0.具備上述兩個特征是一般二元二次方程表示圓的必要條件,但不是充分條件.2.圓x2+y2+2x-4y+3=0的圓心坐標和半徑分別是(

).答案:C合作探究釋疑解惑探究一圓的方程的判斷【例1】

下列各方程是否表示圓?若表示圓,求其圓心和半徑.(1)x2+y2+2xy=0;(2)x2+y2-4x=0;(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(4)x2+y2+2ax=0(a∈R).解:(1)因為方程x2+y2+2xy=0中含有xy這樣的項,所以不能表示圓.(2)由方程可知D=-4,E=F=0,因為D2+E2-4F=D2=16>0,所以方程表示圓.因為D2+E2-4F=+4-12<0,所以方程不表示任何圖形.(4)因為D2+E2-4F=4a2+02-4×0=4a2,所以當a≠0時,該方程表示的是以(-a,0)為圓心,半徑r=|a|的圓;當a=0時,原方程為x2+y2=0,此時該方程表示點(0,0).判斷二元二次方程是否表示圓的方法任何一個圓的方程都可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓有以下兩種方法:(1)計算D2+E2-4F,若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個點;若其值為負,則不表示任何圖形.(2)將該方程配方為

,根據(jù)圓的標準方程來判斷.由公式求半徑和圓心坐標時,一定要注意圓的一般方程的形式,二次項系數(shù)相等且為1.探究二求圓的一般方程【例2】

已知點A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解:(1)設△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.若將本例中條件“C(3,-1)”改為“圓C過A,B兩點且圓C關于直線y=-x對稱”,其他條件不變,如何求圓C的方程?應用待定系數(shù)法求圓的方程時應注意以下兩點:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程,一般采用圓的標準方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.探究三圓的方程的綜合應用【例3】

已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2),且圓心C在直線l:x-y+1=0上.(1)求圓C的方程;(2)線段PQ的端點P的坐標是(5,0),端點Q在圓C上運動,求線段PQ的中點M的軌跡方程.求與圓有關的軌跡問題常用的方法(1)直接法:根據(jù)題目的條件,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?設出動點坐標,并找出動點坐標所滿足的關系式.(2)定義法:當列出的關系式符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程.(3)相關點法:若動點P(x,y)隨著圓上的另一動點Q(x1,y1)運動而運動,且x1,y1可用x,y表示,則可將點Q的坐標代入已知圓的方程,即得動點P的軌跡方程.

易錯辨析因忽視圓的方程成立的條件而致誤【典例】

已知點O(0,0)在圓x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范圍.錯解:∵點O(0,0)在圓外,以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的錯誤在于忽視了圓