第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組C卷）

第1頁（共1頁）第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組C卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）計算：+＝．2．（10分）在右邊的算式中，每個漢字代表0至9這十個數(shù)字中的一個，相同漢字代表相同數(shù)字、不同漢字代表不同數(shù)字．則“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)是．3．（10分）如圖，在直角三角形ABC中，點F在AB上且AF＝2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD：EF為．4．（10分）如圖是由若干塊長12厘米、寬4厘米、高2厘米的積木搭成的立體的正視圖，上面標(biāo)出了若干個點．一只螞蟻從立體的左側(cè)地面經(jīng)過所標(biāo)出的點爬到右側(cè)的地面．如果螞蟻向上爬行的速度為每秒2厘米，向下爬行的速度為每秒3厘米．水平爬行速為每秒4厘米．則螞蟻至少爬行了秒．5．（10分）設(shè)a，b，c，d，e均是自然數(shù)，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，則a+b的最大值為．6．（10分）現(xiàn)有甲、乙、丙三個容量相同的水池．一臺A型水泵單獨向甲水池注水，一臺B型水泵單獨向乙水池注水，一臺A型和一臺B型水泵一起向丙水池注水．已知注滿乙水池比注滿丙水池所需時間多4個小時，注滿甲水池比注滿乙水池所需時間多5個小時，則注滿丙水池的三分之二需要個小時．7．（10分）用八塊棱長為1cm的小正方塊堆成一立體，其俯視圖如右圖所示，問共有種不同的堆法（經(jīng)旋轉(zhuǎn)能重合的算一種堆法）．8．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．連接CF交DE于P點，求的值．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）有三個農(nóng)場在一條公路邊，分別在如圖所示的A，B和C處．A處農(nóng)場年產(chǎn)小麥50噸，B處農(nóng)場年產(chǎn)小麥10噸，C處農(nóng)場年產(chǎn)小麥60噸．要在這條公路邊修建一個倉庫收買這些小麥．假設(shè)運(yùn)費(fèi)從A到C方向是每噸每千米1.5元，C到A方向是每噸每千米1元．問倉庫應(yīng)該建在何處才能使運(yùn)費(fèi)最低？10．（10分）把，，…，，中的每個分?jǐn)?shù)都化成最簡分?jǐn)?shù)，最后得到的以2014為分母的所有分?jǐn)?shù)的和是多少？11．（10分）上面有一顆星、兩顆星和三顆星的積木分別見圖的（a），（b）和（c）．現(xiàn)有5塊一顆星，2塊兩顆星和1塊三顆星的積木，如果用若干個這些積木組成一個五顆星的長條，那么一共有多少種不同的擺放方式？（如圖（d）是其中一種擺放方式）．12．（10分）某自然數(shù)減去39是一個完全平方數(shù)，減去144也是一個完全平方數(shù)，求此自然數(shù)．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）如圖，圓周上均勻地標(biāo)出十個點．將1～10這十個自然數(shù)分別放到這十個點上．用過圓心的一條直線繞圓心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線上沒有標(biāo)出的點時，就把1～10分成兩組．對每種擺放方式，隨著直線的轉(zhuǎn)動有五種分組方式．對于每種分組都有一個兩組數(shù)和的乘積，記五個積中最小的值為K．問所有的擺放中，K最大為多少？14．（15分）將每個最簡分?jǐn)?shù)（其中m，n互質(zhì)的非零自然數(shù)）染成紅色或藍(lán)色，染色規(guī)則如下：（1）將1染成紅色；（2）相差為1的兩個數(shù)顏色不同，（3）不為1的數(shù)與其倒數(shù)顏色不同．問：和分別染成什么顏色？

第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組C卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）計算：+＝1．【分析】把繁分?jǐn)?shù)的分子分母中的算式分別化簡，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解答即可．【解答】解：+＝+＝+＝1；故答案為：1．2．（10分）在右邊的算式中，每個漢字代表0至9這十個數(shù)字中的一個，相同漢字代表相同數(shù)字、不同漢字代表不同數(shù)字．則“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)是1962．【分析】（1）如果百位不退位，四位數(shù)減四位數(shù)，差的千位、百位為0，所以“數(shù)學(xué)”＝20，再看后兩位，競賽+競賽＝24，所以“競賽”＝24÷2＝12，據(jù)此即可寫出“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)；如何判斷是否符合題意．（2）如果百位退位，則易得“數(shù)學(xué)”＝19，再看后兩位，則競賽+競賽＝2024﹣1900＝124，所以“競賽”＝124÷2＝62，據(jù)此即可寫出“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)．【解答】解：（1）如果百位不退位，因為四位數(shù)減四位數(shù)，差的千位、百位為0，所以“數(shù)學(xué)”＝20；再看后兩位，競賽+競賽＝24，所以“競賽”＝24÷2＝12；所以，“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)是：2012，因為有重復(fù)的數(shù)字“2”，所以不符合題意，要舍去．（2）如果百位退位，則“數(shù)學(xué)”＝19，再看后兩位，則競賽+競賽＝2024﹣1900＝124，所以“競賽”＝124÷2＝62，所以，“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)是：1962．答：“數(shù)學(xué)競賽”所代表的四位數(shù)1962．故答案為：1962．3．（10分）如圖，在直角三角形ABC中，點F在AB上且AF＝2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD：EF為2：1．【分析】因為AF＝2FB，所以AF：FB＝2：1，因為四邊形EBCD是平行四邊形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，據(jù)此解答即可．【解答】解：因為AF＝2FB，所以AF：FB＝2：1，因為四邊形EBCD是平行四邊形，所以BE∥AC，則∠ADF＝∠BEF，∠EFB＝∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，故答案為：2：1．4．（10分）如圖是由若干塊長12厘米、寬4厘米、高2厘米的積木搭成的立體的正視圖，上面標(biāo)出了若干個點．一只螞蟻從立體的左側(cè)地面經(jīng)過所標(biāo)出的點爬到右側(cè)的地面．如果螞蟻向上爬行的速度為每秒2厘米，向下爬行的速度為每秒3厘米．水平爬行速為每秒4厘米．則螞蟻至少爬行了36秒．【分析】由圖可知：先讓螞蟻向上爬一個長，然后再水平爬5個寬，再向下爬一個長，再水平爬2個長，向上爬1個長，再水平爬5個寬，最后再鄉(xiāng)下爬1個長即可．【解答】解：所爬路線如圖：（5×4×2+2×12）÷4＝64÷4＝16（秒）12×2÷2＝12（秒）12×2÷3＝8（秒）16+12+8＝36（秒）答：螞蟻至少爬行了36秒．故答案為：36．5．（10分）設(shè)a，b，c，d，e均是自然數(shù)，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，則a+b的最大值為35．【分析】a，b，c，d，e均是連續(xù)的自然數(shù)也符合題意，假設(shè)分別是：1、2、3、4、5，則，a+2b+3c+4d+5e＝55，每個數(shù)增加1，則a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有幾個15；再結(jié)合余數(shù)即可確定a、b的值．【解答】解：如果a，b，c，d，e均是連續(xù)的自然數(shù)也符合題意，假設(shè)分別是：1、2、3、4、5，則，a+2b+3c+4d+5e＝1+2×2+3×3+4×4+5×5＝55如果它們都再加上1，則總和將會增加：1+2+3+4+5＝15（300﹣55）÷15＝16…5余數(shù)是5，只能加在e上，所以，a＝1+16＝17，b＝2+16＝18，所以，a+b的最大值為：17+18＝35．答：a+b的最大值為35．故答案為：35．6．（10分）現(xiàn)有甲、乙、丙三個容量相同的水池．一臺A型水泵單獨向甲水池注水，一臺B型水泵單獨向乙水池注水，一臺A型和一臺B型水泵一起向丙水池注水．已知注滿乙水池比注滿丙水池所需時間多4個小時，注滿甲水池比注滿乙水池所需時間多5個小時，則注滿丙水池的三分之二需要4個小時．【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)注滿乙水池所需時間為x小時，則注滿甲水池所需時間為x+5小時，注滿丙水池所需時間為x﹣4小時，再根據(jù)工作效率＝工作量÷工作時間，分別用1除以x+5、x，求出一臺A型水泵和一臺B型水泵每小時各注水幾分之幾；然后根據(jù)：一臺A型水泵的工作效率+一臺B型水泵的工作效率＝1÷注滿丙水池所需時間，列出方程，求出x的值，再用x減去4，求出注滿丙水池所需時間是多少，再用它乘以，求出注滿丙水池的三分之二需要多少小時即可．【解答】解：設(shè)注滿乙水池所需時間為x小時，則注滿甲水池所需時間為x+5小時，注滿丙水池所需時間為x﹣4小時，+＝（+）x（x﹣4）（x+5）＝?x（x﹣4）（x+5）x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）＝x（x+5）2x2﹣3x﹣20＝x2+5xx2﹣8x﹣20＝0解得x＝10或x＝﹣2（舍去）（10﹣4）×＝6×＝4（小時）答：注滿丙水池的三分之二需要4個小時．故答案為：4．7．（10分）用八塊棱長為1cm的小正方塊堆成一立體，其俯視圖如右圖所示，問共有10種不同的堆法（經(jīng)旋轉(zhuǎn)能重合的算一種堆法）．【分析】俯視圖相同，均為四個方格的正方形，共有8個小正方形，最下面一層必為四個小方格，可以分層討論，得出總的不同堆法，求得總數(shù)．【解答】解：根據(jù)分析，若分為兩層堆放，為4+4堆放，有1種堆法；分為3層堆放，1+3+4時，有4種堆法，2+2+4時，有2種堆法；分為4層堆放，4+2+1+1堆放，有2種堆法；分為5層堆放，4+1+1+1+1堆放，有1種堆法，綜上，共有10種堆法．故答案是：108．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．連接CF交DE于P點，求的值．【分析】連接EF，DF，則根據(jù)風(fēng)箏模型，有：S△EFC：S△FDC＝EP：PD，只要求出S△EFC和S△FDC的比即可求出EP：PD，從已知的線段之間的比例關(guān)系，可以算出面積之比，可以求得△EFC和△FDC分別與△ABC的面積比，從而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根據(jù)分析，如圖，連接EF，DF，則根據(jù)風(fēng)箏模型，有：S△EFC：S△FDC＝EP：PD又∵AF＝2BF∴S△AFC：S△BFC＝AF：BF＝2：1?，；同理：CE＝3AE?S△EFC：S△AEF＝EC：AE＝3：1?＝；CD＝4BD?S△CDF：S△BDF＝CD：BD＝4：1?＝故：EP：PD＝S△EFC：S△FDC＝．故答案是：．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）有三個農(nóng)場在一條公路邊，分別在如圖所示的A，B和C處．A處農(nóng)場年產(chǎn)小麥50噸，B處農(nóng)場年產(chǎn)小麥10噸，C處農(nóng)場年產(chǎn)小麥60噸．要在這條公路邊修建一個倉庫收買這些小麥．假設(shè)運(yùn)費(fèi)從A到C方向是每噸每千米1.5元，C到A方向是每噸每千米1元．問倉庫應(yīng)該建在何處才能使運(yùn)費(fèi)最低？【分析】分兩種情況討論，即：（1）假設(shè)在AB之間建立倉庫；（2）假設(shè)在BC之間建立倉庫；分別列出方程解答即可．【解答】解：（1）假設(shè)在AB之間建立倉庫，設(shè)到A的距離為x千米．那么總費(fèi)用為：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000為了使這個總費(fèi)用最小，由于107000一定了，所以要讓5x盡量小，所以x＝0，即設(shè)在A點總費(fèi)用最低．（2）假設(shè)在BC之間建立倉庫，設(shè)距離B點y千米處．那么總費(fèi)用為：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y＝0，最小費(fèi)用為109500，此時設(shè)在B點．107000＜109000．綜上所以設(shè)在A點運(yùn)費(fèi)最低，最低費(fèi)用為107000元．答：倉庫應(yīng)該建在A處才能使運(yùn)費(fèi)最低．10．（10分）把，，…，，中的每個分?jǐn)?shù)都化成最簡分?jǐn)?shù)，最后得到的以2014為分母的所有分?jǐn)?shù)的和是多少？【分析】因為2014＝2×1007＝2×19×53，分別求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍數(shù)有多少個，進(jìn)而求出分母不是2014的個數(shù)，進(jìn)而得解．【解答】解：2014＝2×1007＝2×19×53，2的倍數(shù)：1007個，19的倍數(shù)：106個，53的倍數(shù)：38個，2×19的倍數(shù)：53個，2×53的倍數(shù)：19個，19×53的倍數(shù)：2個，2×19×53的倍數(shù)：1個，分母不是2014的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1＝1078（個），不包括，那么共：1078﹣1＝1077（個）．每2個和為1，分母是2014的最簡分?jǐn)?shù)共：2013﹣1077＝936（個）和為：936÷2＝468．11．（10分）上面有一顆星、兩顆星和三顆星的積木分別見圖的（a），（b）和（c）．現(xiàn)有5塊一顆星，2塊兩顆星和1塊三顆星的積木，如果用若干個這些積木組成一個五顆星的長條，那么一共有多少種不同的擺放方式？（如圖（d）是其中一種擺放方式）．【分析】通過分析可知：分下列幾種情況①5＝1+2+2，此類為3個選一個，②5＝1+1+1+1+1，此類只有1種；③5＝2+3，此類為2個選一個，④5＝3+1+1，此類為3個選一個；⑤5＝2+1+1+1，此類為，4個選一個；把這幾種情況相加，據(jù)此解答即可．【解答】解：①5＝1+2+2，此類為3個選一個，有C31＝3種；②5＝1+1+1+1+1，此類只有1種；③5＝2+3，此類為2個選一個，有C21＝2種④5＝3+1+1，此類為3個選一個，有C31＝3種；⑤5＝2+1+1+1，此類為4個選一個，有C41＝4種；一共：3+1+2+3+4＝13種答：一共有13種不同的擺放方式．12．（10分）某自然數(shù)減去39是一個完全平方數(shù)，減去144也是一個完全平方數(shù)，求此自然數(shù)．【分析】設(shè)這個自然數(shù)減去39得到a2，減去144得到b2，由題意可得a2+39＝b2+144，化簡可得：a2﹣b2＝105，（a+b）（a﹣b）＝105，把105分解質(zhì)因數(shù)，105＝3×5×7，然后把因數(shù)3、5、7組合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四種對應(yīng)取值，然后進(jìn)一步解方程組即可．【解答】解：設(shè)這個自然數(shù)減去39得到a2，減去144得到b2，由題意可得：a2+39＝b2+144，即，a2﹣b2＝105，（a+b）（a﹣b）＝105，105＝3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四種對應(yīng)取值：，，，，相對應(yīng)求得四組符合題意的解是：，，，，所以這個自然數(shù)可以是：112+39＝160，132+39＝208，192+39＝400，53