2012年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）

第1頁（共1頁）2012年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）一、填空題1．（8分）2012××的計算結(jié)果是．2．（8分）在如圖的乘法豎式中，兩個乘數(shù)的和是．3．（8分）一袋大米，劉備單獨(dú)吃5天吃完，關(guān)羽單獨(dú)吃3天吃完；一袋小麥，關(guān)羽單獨(dú)吃5天吃完，張飛單獨(dú)吃4天吃完．劉備每天的飯量比張飛每天的飯量少%．4．（8分）有2012個小矮人，他們不是好人，就是壞人，每天他們都要參加一次聚會，每次聚會人數(shù)是3或5．每次參與聚會的小矮人中，若好人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成好人；若壞人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成壞人，如果第三天聚會完畢后，全部2012人全變成了好人．那么第一天聚會前好人的人數(shù)的最小值是．5．（8分）三個半圓、兩個圓如圖擺放，兩個小半圓和兩個小圓的半徑都是10厘米，大半圓外的陰影面積比大半圓內(nèi)的陰影面積大平方厘米．二、填空題6．（10分）如圖由一個正五邊形、五個長方形、五個等邊三角形組成，它是一個立體圖形的平面展開圖，那么這個立體圖形有條棱．7．（10分）＝．8．（10分）有一個五位數(shù)，它分別除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13這12個自然數(shù)的余數(shù)互不相同，這個五位數(shù)是．9．（10分）早上8：10，菲菲從家步行去上學(xué)．3分鐘后，狗狗出發(fā)跑去追她，在離家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回頭去追菲菲，在離家400米的地方再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，剛好在學(xué)校追上．菲菲到校時間是8點(diǎn)分．10．（10分）如圖所示，廣場中央有一座漂亮的噴泉，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿噴泉周圍的小路不重復(fù)地繞噴泉走一周，最終回到A點(diǎn)的走法共有種．（圖中的兩個噴泉圓及兩圓之間的線段均表示小路，繞噴泉一周指小明行走路線為封閉路線且噴泉在此路線內(nèi)部）三、填空題11．（12分）有16張卡片，黑白各8張，分別寫有數(shù)字1～8，把它們像撲克牌那樣洗過后，如圖那樣排成四行，排列規(guī)則如下，每行中左到右按從小到大的順序排列，黑白卡片上的數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊，已知每行4張卡片上的4個數(shù)字之和都相等，左下角是2，右上角是7，請問：圖中由左上至右下的對角線四張卡片上的數(shù)字依次是．12．（12分）如圖，在正方形環(huán)形道路的四個頂點(diǎn)各有編號為1、2、3、4的車站：甲、乙、丙、丁四個人分別從編號為A、B、C、D的車站同時出發(fā)（A、B、C、D互不相同），沿順時針方向駕車勻速行駛，且從1、2、3、4號車站出發(fā)的車的速度分別為1、2、3、4，以后速度再不變化．行駛完畢后，他們有如下的話：甲說：“我第一次追上乙時恰在車站①”．乙說：“我第一次追上丙時恰在車站②”．丙說：“我第一次追上丁時恰在車站③”．丁說：“我第一次追上甲時恰在車站④”．已知其中有兩人的話正確，兩人說的話錯誤．那么四位數(shù)＝．13．（12分）如果正整數(shù)N的每一個倍數(shù)都滿足、也都是N的倍數(shù)（其中a、b、c都是0～9中的整數(shù)，并且約定123表示123，028表示28，007表示7），那么就稱N為“完美約數(shù)”（例如9就是一個“完美約數(shù)”）．這樣的“完美約數(shù)”一共有個．14．（12分）如圖，正十二邊形和中心白色的正六邊形的邊長均為12，圖中陰影部分的面積是．

2012年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、填空題1．（8分）2012××的計算結(jié)果是24．【解答】解：2012×＝2012×＝2012×＝2012×＝2012×＝2012×＝24；故答案為：24．2．（8分）在如圖的乘法豎式中，兩個乘數(shù)的和是730．【解答】解：依題意可知：由第二行與第三行倍數(shù)不同，第二個乘數(shù)的十位數(shù)字小于2并且不是0只能是1．繼續(xù)推理出第一個乘數(shù)的十位數(shù)字也是1．再根據(jù)已知數(shù)字2是尾數(shù)那么第一個乘數(shù)的尾數(shù)可能是1或者6兩種情況．再根據(jù)結(jié)果中的尾數(shù)是4，滿足條件的有數(shù)字1×4或者6×4推理出第二個乘數(shù)的個位是4．當(dāng)?shù)谝粋€乘數(shù)的個位是1時，驗(yàn)證積的十位數(shù)字不是2，那么只能是6．根據(jù)數(shù)字0確定第一個乘數(shù)的首位是5．即：516×214＝110424，516+214＝730．故答案為：730．3．（8分）一袋大米，劉備單獨(dú)吃5天吃完，關(guān)羽單獨(dú)吃3天吃完；一袋小麥，關(guān)羽單獨(dú)吃5天吃完，張飛單獨(dú)吃4天吃完．劉備每天的飯量比張飛每天的飯量少52%．【解答】解：把關(guān)羽每天的飯量為單位“1”，則劉備每天的飯量為：3÷5＝張飛每天的飯量為：5÷4＝（﹣）÷＝＝52%答：劉備每天的飯量比張飛每天的飯量少52%．故答案為：52．4．（8分）有2012個小矮人，他們不是好人，就是壞人，每天他們都要參加一次聚會，每次聚會人數(shù)是3或5．每次參與聚會的小矮人中，若好人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成好人；若壞人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成壞人，如果第三天聚會完畢后，全部2012人全變成了好人．那么第一天聚會前好人的人數(shù)的最小值是435．【解答】解：逆推法：極端分析，若要使好人盡量少，則應(yīng)在聚會時由壞人變成好人數(shù)量最多．若三人一組，最多變成好人的數(shù)量是，若5人一組，最多使的人變成好人；，所以盡量讓5人一組．2012＝5×400+3×4，所以最后一次共分為400個5人組，和4個3人組；每5個人中有3個人是好人，每3個人中共有2個人是好人；第二次聚會后最少有400×3+2×4＝1208（人）；同理1208＝5×241+3×1；第一次機(jī)會則最少有241×3+2＝725（人），725＝145×5；145×3＝435（人）；故答案為：435．5．（8分）三個半圓、兩個圓如圖擺放，兩個小半圓和兩個小圓的半徑都是10厘米，大半圓外的陰影面積比大半圓內(nèi)的陰影面積大314平方厘米．【解答】解：10+10＝20（厘米）3.14×102×2﹣（3.14×202÷2﹣3.14×102）＝3.14×200﹣3.14×200+3.14×100＝3.14×100＝314（平方厘米）答：大半圓外的陰影面積比大半圓內(nèi)的陰影面積大314平方厘米．故答案為：314．二、填空題6．（10分）如圖由一個正五邊形、五個長方形、五個等邊三角形組成，它是一個立體圖形的平面展開圖，那么這個立體圖形有20條棱．【解答】解：依題意可知：首先根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)1部分是一個底面有5條棱．圖2部分中有5條豎棱．第三部分和第一部分相等共5條棱．第四部分是圖中含有5條傾斜的棱．共5+5+5+5＝20．故答案為：207．（10分）＝9．【解答】解：分母＝（1﹣）﹣（1﹣）+..+（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣+…+﹣分子＝（1﹣）﹣（1﹣）+…+（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣+…+﹣＝9×（﹣+…+﹣）則，＝＝9；故答案為：9．8．（10分）有一個五位數(shù)，它分別除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13這12個自然數(shù)的余數(shù)互不相同，這個五位數(shù)是83159．【解答】解：依題意可知：這個五位數(shù)除以1余數(shù)是0，除以2余數(shù)是1，然后發(fā)現(xiàn)分別除以3，4，5，6，7，8，9，10，11余數(shù)分別是2，3，4，5，6，7，8，9，10才是滿足條件的．發(fā)現(xiàn)余數(shù)都是少1的，那么只有找到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的公倍數(shù)減去1就是符合條件的數(shù)字．最小公倍為：1×2×3×2×5×7×2×3×11＝27720．還需要滿足除以13余數(shù)是11或者12的．滿足條件的數(shù)字是27720k﹣1，嘗試枚舉出k＝1，2，3，滿足5位數(shù)的條件．經(jīng)枚舉是27720×3﹣1＝83159．故答案為：831599．（10分）早上8：10，菲菲從家步行去上學(xué)．3分鐘后，狗狗出發(fā)跑去追她，在離家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回頭去追菲菲，在離家400米的地方再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，剛好在學(xué)校追上．菲菲到校時間是8點(diǎn)28分．【解答】解：依題意可知：從離家200米到400米情況如圖所示，在相同的時間內(nèi)菲菲走了200米，狗狗走了600米，V狗：V人＝S狗：S人＝3：1；菲菲家里距離學(xué)校的路程是400×2＝800（米）．在狗狗第一次追上菲菲的時候速度比是3：1，路程一定時間和速度成反比時間比為1：3，時間差為3分鐘．菲菲走200米的時間為：3÷（3﹣1）×3＝4.5分鐘．全程是800米是200米的4倍，時間就是4倍4.5×4＝18（分），10+18＝28（分）．故答案為：2810．（10分）如圖所示，廣場中央有一座漂亮的噴泉，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿噴泉周圍的小路不重復(fù)地繞噴泉走一周，最終回到A點(diǎn)的走法共有384種．（圖中的兩個噴泉圓及兩圓之間的線段均表示小路，繞噴泉一周指小明行走路線為封閉路線且噴泉在此路線內(nèi)部）【解答】解：若只考慮順時針a1、a2兩條線段，只能選擇走1條，同理，b1、b2、c1、c2、…、h1、h2每兩條線段只能選擇走1條，同時，8條線段選定后，回路的走法就唯一確定共28＝256種走法，如果同時選擇a2、h2，則A點(diǎn)的線段K會走兩次，不符要求，∴同時選擇a2、h2，的選法共26＝64種，∴順時針共28﹣26＝192種走法，對稱思想，逆時針與順時針方法數(shù)相同，∴總計192×2＝384種走法．故答案為：384．三、填空題11．（12分）有16張卡片，黑白各8張，分別寫有數(shù)字1～8，把它們像撲克牌那樣洗過后，如圖那樣排成四行，排列規(guī)則如下，每行中左到右按從小到大的順序排列，黑白卡片上的數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊，已知每行4張卡片上的4個數(shù)字之和都相等，左下角是2，右上角是7，請問：圖中由左上至右下的對角線四張卡片上的數(shù)字依次是1、4、7、8或者1、2、5、8．【解答】解：根據(jù)分析，可得到圖形如下：或者答：圖中由左上至右下的對角線四張卡片上的數(shù)字依次是1、4、7、8或者1、2、5、8．故答案為：1、4、7、8或者1、2、5、8．12．（12分）如圖，在正方形環(huán)形道路的四個頂點(diǎn)各有編號為1、2、3、4的車站：甲、乙、丙、丁四個人分別從編號為A、B、C、D的車站同時出發(fā)（A、B、C、D互不相同），沿順時針方向駕車勻速行駛，且從1、2、3、4號車站出發(fā)的車的速度分別為1、2、3、4，以后速度再不變化．行駛完畢后，他們有如下的話：甲說：“我第一次追上乙時恰在車站①”．乙說：“我第一次追上丙時恰在車站②”．丙說：“我第一次追上丁時恰在車站③”．丁說：“我第一次追上甲時恰在車站④”．已知其中有兩人的話正確，兩人說的話錯誤．那么四位數(shù)＝2314．【解答】解：4個人共有6次追及，設(shè)正方形邊長為a．④第一次追上①時間a÷（4﹣1）＝，所以應(yīng)在①、②中間．④第一次追上②時間2a÷（4﹣2）＝a，所以走了2a，在車站④．同理④第一次追上③在車站④．③第一次追上①在車站②．③第一次追上②在車站④．②第一次追上①在車站④，所以甲、丙的話不可能正確．乙第一次追上丙在車站②，所以B＝3，C＝1．丁第一次追上甲在車站④，所以A＝2，D＝4．所以四位數(shù)＝2314，故答案為2314．13．（12分）如果正整數(shù)N的每一個倍數(shù)都滿足、也都是N的倍數(shù)（其中a、b、c都是0～9中的整數(shù)，并且約定123表示123，028表示28，007表示7），那么就稱N為“完美約數(shù)”（例如9就是一個“完美約數(shù)”）．這樣的“完美約數(shù)”一共有14個．【解答】解：①若a，b，c不全相等，則N|，N|，N|，則N|（++），即N|（a+b+c）×111，若N|（a+b+c）對于每一個a，b，c均成立，則N|9，則N|999，即N為999的約數(shù)，分別是1，3，9，27，37，111，333，999，共8個，②若a＝b＝c，則比為完美約數(shù)，分別是111，222，333，444，555，666，777，888，999，共9個，與①中重