2023新教材高中數(shù)學第4章數(shù)列4.1數(shù)列的概念第1課時數(shù)列的概念與通項公式對點練新人教A版選擇性必修第二冊

4．1數(shù)列的概念第1課時數(shù)列的概念與通項公式知識點一根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式1.數(shù)列－1,3，－7,15，…的一個通項公式可以是()A．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)B．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)答案A解析數(shù)列各項正、負交替，故可用(－1)n來調(diào)節(jié)，又1＝21－1，3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通項公式為an＝(－1)n·(2n－1)．2．根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(4,5)，3eq\f(9,10)，4eq\f(16,17)，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，…；(4)3,5,9,17，….解(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1,0.99＝1－10－2,0.999＝1－10－3,0.9999＝1－10－4，故an＝1－10－n.(2)1eq\f(1,2)＝1＋eq\f(12,12＋1)，2eq\f(4,5)＝2＋eq\f(22,22＋1)，3eq\f(9,10)＝3＋eq\f(32,32＋1)，4eq\f(16,17)＝4＋eq\f(42,42＋1)，故an＝n＋eq\f(n2,n2＋1).(3)eq\f(1,2)＝eq\f(21－1,21)＝1－eq\f(1,21)，eq\f(3,4)＝eq\f(22－1,22)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(7,8)＝eq\f(23－1,23)＝1－eq\f(1,23)，eq\f(15,16)＝eq\f(24－1,24)＝1－eq\f(1,24)，故an＝eq\f(2n－1,2n)＝1－eq\f(1,2n).(4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24，故an＝1＋2n.知識點二數(shù)列通項公式的應用3.數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，eq\f(8,9)，…的第10項是()A.eq\f(16,17) B．eq\f(18,19)C．eq\f(20,21) D．eq\f(22,23)答案C解析由題意知，數(shù)列的通項公式是an＝eq\f(2n,2n＋1)，∴a10＝eq\f(2×10,2×10＋1)＝eq\f(20,21).故選C.4．若數(shù)列an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，則a5－a4＝()A.eq\f(1,10) B．－eq\f(1,10)C．eq\f(1,90) D．eq\f(19,90)答案C解析依題意知，a5－a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5＋1)＋\f(1,5＋2)＋…＋\f(1,2×5)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋1)＋\f(1,4＋2)＋…＋\f(1,2×4)))＝eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,90).故選C.5．已知數(shù)列eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…，eq\r(32n－1)，…，則9是這個數(shù)列的()A．第12項 B．第13項C．第14項 D．第15項答案C解析依題意，該數(shù)列的通項公式為an＝eq\r(32n－1).令an＝9，得n＝14，故選C.6．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n－1n為奇數(shù)，,2n－2n為偶數(shù)，))則a2a3的值是()A．70 B．28C．20 D．16答案D解析a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故選D.知識點三數(shù)列的單調(diào)性7.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．先增后減數(shù)列 D．常數(shù)列答案A解析an＝eq\f(2n,n＋1)＝2－eq\f(2,n＋1)，單調(diào)遞增．故選A.8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是()A．第5項 B．第6項C．第4項或第5項 D．第5項或第6項答案A解析an＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(21,4)))2＋eq\f(441,8)，因為n∈N*,5＜eq\f(21,4)＜6，且a5＝55，a6＝54，所以數(shù)值最大的項為第5項．故選A.9．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(an,bn＋1)(a，b為正數(shù))，那么an與an＋1的關(guān)系是()A．a(chǎn)n>an＋1 B．a(chǎn)n<an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1 D．以上都不對答案B解析y＝eq\f(ax,bx＋1)＝eq\f(\f(a,b)bx＋1－\f(a,b),bx＋1)＝eq\f(a,b)＋eq\f(－\f(a,b),bx＋1)＝eq\f(a,b)＋eq\f(－\f(a,b2),x＋\f(1,b)).其圖象可由y＝eq\f(－\f(a,b2),x)先向左平移eq\f(1,b)個單位長度，再向上平移eq\f(a,b)個單位長度得到，如圖．由圖象不難得知函數(shù)y＝eq\f(ax,bx＋1)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以an＝eq\f(an,bn＋1)的值隨n的增大而增大．所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，即an<an＋1.故選B.10．已知下列數(shù)列：①2,22,222,2222；②0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；③1，eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，…，eq\f(1,3n－1)，…；④－2,0，－2,0，…，(－1)n－1，…；⑤a，a，a，a，….其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________(將正確的序號填在橫線上)．答案①②③④⑤①②③⑤解析①是有窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列，②是無窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列，③是無窮數(shù)列，也是遞減數(shù)列，④是無窮數(shù)列，⑤是無窮數(shù)列，也是常數(shù)列．11．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x＞7，))數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(2,3)解析由題意，得點(n，an)分布在分段函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x＞7))的圖象上．因此當3－a＞0時，a1＜a2＜a3＜…＜a7；當a＞1時，a8＜a9＜a10＜…；為使數(shù)列{an}遞增還需a7＜a8.故實數(shù)a滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a＞0，,a＞1，,f7＜f8，))解得2＜a＜3，故實數(shù)a的取值范圍是(2,3).一、選擇題1．數(shù)列7,9,11，…，2n－1的項數(shù)是()A．n－3 B．n－2C．n－1 D．n答案A解析數(shù)列通項公式為2n＋5，而2n－1＝2(n－3)＋5，所以項數(shù)為n－3.故選A.2．數(shù)列－eq\f(1,3×5)，eq\f(2,5×7)，－eq\f(3,7×9)，eq\f(4,9×11)，…的通項公式an為()A．(－1)n＋1eq\f(1,2n＋12n＋3)B．(－1)n＋1eq\f(n,2n＋12n＋3)C．(－1)neq\f(1,2n＋12n＋3)D．(－1)neq\f(n,2n＋12n＋3)答案D解析觀察式子的分子為1,2,3,4，…，n，…，分母為3×5,5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正負間隔，故通項公式an＝(－1)neq\f(n,2n＋12n＋3).3．下列數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)答案C解析對于A，an＝eq\f(1,n)，n∈N*，它既是無窮數(shù)列又是遞減數(shù)列；對于B，an＝－n，n∈N*，它既是無窮數(shù)列又是遞減數(shù)列；D是有窮數(shù)列；對于C，an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，它既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列．故選C.4．設an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.eq\f(1,2n＋1) B．eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)答案D解析∵an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)，∴an＋1＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴an＋1－an＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).5．(多選)已知數(shù)列{an}的前四項分別為1,0,1,0，則下列通項公式可以作為數(shù)列{an}的通項公式的是()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]B．a(chǎn)n＝sin2eq\f(nπ,2)C．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n為奇數(shù)，,0n為偶數(shù)))D．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)答案ABC解析要判別某一公式不是數(shù)列的通項公式，只要把適當?shù)膎代入an，其不滿足即可，若要確定它是通項公式，必須加以一定的說明．容易驗證A，B，C均符合；對于D，將n＝3代入不符合．故選ABC.二、填空題6．已知一組數(shù)1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，按這組數(shù)的規(guī)律，x應為________．答案13解析由題意得1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,3＋5＝8.∴x＝5＋8＝13.7．數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…的一個通項公式是________．答案an＝eq\f(2n,2n－12n＋1)解析∵eq\f(2,3)＝eq\f(2×1,1×3)，eq\f(4,15)＝eq\f(2×2,3×5)，eq\f(6,35)＝eq\f(2×3,5×7)，eq\f(8,63)＝eq\f(2×4,7×9)，eq\f(10,99)＝eq\f(2×5,9×11)，…，∴an＝eq\f(2n,2n－12n＋1).8．數(shù)列{an}滿足an＝eq\f(n－\r(2021),n－\r(2022))，若ap最大，aq最小，則p＝________，q＝________.答案4544解析an＝eq\f(n－\r(2021),n－\r(2022))＝1＋eq\f(\r(2022)－\r(2021),n－\r(2022)).由于44＜eq\r(2022)＜45，則當n≤44時，an＝1－eq\f(\r(2022)－\r(2021),\r(2022)－n)＜1且遞減；當n≥45時，an＝1＋eq\f(\r(2022)－\r(2021),n－\r(2022))＞1且遞減．所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44.三、解答題9．已知數(shù)列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n為奇數(shù)，,n，n為偶數(shù)，))試求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．解∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.10．數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n2,n2＋1).(1)求數(shù)列的第7項；(2)求證：此數(shù)列的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(3)區(qū)間eq\b\lc\(