關(guān)于矩陣可逆判別條件的研究 論文

摘要：對線性代數(shù)而言，矩陣是重要的研究對象之一，其中可逆性的矩陣理論是線性代數(shù)矩陣基本理論中的基礎(chǔ)，可逆矩陣是又是矩陣運算理論中重要的組成部分?？赡婢仃嚨难芯恳饬x和價值在許多理論課題中被凸顯出來，例如線性方程組，線性變換等?？赡婢仃囀侵匾獢?shù)學概念，因此研究矩陣可逆的充要條件具有重要意義。本文主要從線性方程組，向量組，特征值及特征多項式等方面介紹了一些矩陣可逆的充要條件，也給出了證明過程。一些特殊矩陣具有特殊的意義，這些矩陣的可逆性判別的相關(guān)結(jié)論在本文中也有涉及。最后，具體應(yīng)用例題的給出提供了理論應(yīng)用的借鑒性，方便我們在今后更好地學習和理解可逆矩陣的充要條件。引言：矩陣的乘法運算中可逆矩陣是矩陣運算理論體系中重要的環(huán)節(jié)之一，對矩陣模型的研究是為了給一些與矩陣有關(guān)的復雜問題的解決提供做參考價值。正是因為矩陣的性質(zhì)可以解決許多問題，這就使矩陣概念在數(shù)學中被普遍的使用。在現(xiàn)代矩陣理論及其發(fā)展方向中，可逆矩陣占有十分重要的地位，因此矩陣可逆的充要條件有助于深入研究和理解矩陣理論體系。本文主要從線性方程組，向量組，特征值及特征多項式等基本方面梳理和總結(jié)了矩陣可逆所具備的的充要條件和充分性或必要性的證明過程。(一)基本概念定義1:數(shù)域F上一個n階方陣A,若存在n階方陣B符合條件則稱A可逆，且B是A的逆，記作B=A',E是n階單位矩陣.4定義2:矩陣A=jjj矩陣稱為A的伴隨矩陣.定義3:矩陣的初等行變換：(1)用一非零數(shù)乘某行；(3)將某行的倍數(shù)加到另一行；類似的，初等列變換只需將行換成列即可.定義4:對單位矩陣E施行一次初等變換即得到初等矩陣.定義5:若矩陣B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到，則稱A與B等價.定義6:向量n(n≥1)不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)k,k?,,k,使得(二)可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1:(A')'=A性質(zhì)2:(AB)'=B'A1性質(zhì)3:=k?A1,(k0)性質(zhì)4:矩陣A與它的伴隨矩陣A*同可逆性，即A可逆A*可逆，且(一)從線性方程組方面研究1.齊次線性方程組即零是Ax=0唯一解A是可逆矩陣.(A為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣)唯一零解.()(反證法)假設(shè)A不可逆，則A=0,A=0齊次線性方程組Ax=0有除零外的解，與方程組只有零解矛盾!故假設(shè)不成立，原結(jié)論得證.2.非齊次線性方程組即Ax=b有唯一解a?nXA可逆.(A為該非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣)即零解.對Ax=0的任意一個非零解x?,則易知xox?也是Ax=b的解此與方程有唯一解矛盾!故假設(shè)不成立，即A可逆.3.線性方程組Ax=b(A為該線性方程組的系數(shù)矩陣)通過一系列線性方程組的初等變換可化為E,x=b’A可逆，其中E,為單位矩陣.證明：()矩陣A可逆，則A=P?P?…P,,從而F.1F?FAEn.即利用初等行變換可將A化為單位矩陣E,即通過初等變換線性方程組Ax=b可化為E,x=b′.()線性方程組Ax=b可通過一系列初等變換化為E,x=b’.即A變換化為單位矩陣，則存在一些初等矩陣P?,P?,…P,使得則A1=P'LF?'P1,故因此A可逆.(二)從向量組方面研究1.n階方陣A的行(列)向量組的秩等于nA可逆.證明：A可逆等價于r(A)=n,從而A的各行(列)線性無關(guān)，即A的行(列)向量組的秩等于n.2.n階方陣A的行(列)向量組線性無關(guān)A可逆.證明：n階方陣A的行(列)向量組線性無關(guān)r(A)=nA可逆.3.n階方陣A的行(列)向量組可作為n維向量空間的一組基A可逆.證明：n階方陣A的行(列)向量組可作為n維向量空間的一組基A的行(列)向量組線性無關(guān)r(A)=nA可逆.4.空間中任意n維向量可由n階方陣A的行(列)向量組線性表出證明：A可逆n階方陣A的行(列)向量組可作為n維向量空間的一組基，即空間中任意n維向量可由n階方陣A的行(列)向量組線性表出.(三)從特征值及特征多項式方面研究1.n階方陣A的特征值全不為零A可逆.1.n階方陣A能表示成若干初等矩陣的乘積A可逆.證明：()因為A可逆，從而A是滿秩矩陣，從而A@E,,故存在n階初等矩陣P,P,…,P及Q,Q,,Q,使得于是故A可逆.3.n階方陣A的標準型是E,A可逆.證明：根據(jù)引理知，任何一個矩陣都可以經(jīng)過初等行變換或初等列變換化成引理中的標準對角陣，如果A可逆，那么A的秩只能是n,等于A的階數(shù)，從而其標準型只能是單位矩陣.反過來，如果A的標準形是n階單位矩陣，由引理知，A的秩為n,故A可逆.三、一些特殊矩陣可逆性研究(一)單位矩陣可逆，數(shù)量矩陣也可逆.證明：顯然有EE=E成立，故單位矩陣E可逆。由可逆矩陣的性質(zhì)3(kA)'=k'A'(k0)知，數(shù)量矩陣也是可逆的.(二)主對角線上的元素全不為零的對角矩陣A可逆.(三)正交矩陣可逆.證明：設(shè)A是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的定義知AA?=E,故A可逆.(四)若上三角形矩陣可逆，則逆矩陣還是上三角形矩陣；若下三角形矩陣可逆，則逆矩陣還是下三角形矩陣.證明：令A=0bb比較E和AB的第一列元素：因A0,所以bm=…=b?=0.同理比較其他列，即得B為上三角矩陣同理，若下三角形可逆，則逆矩陣還是下三角形矩陣.(五)線性空間中，任一組基對應(yīng)的度量矩陣是可逆的，一組基到另外一組基的過渡矩陣是可逆的.(六)階數(shù)是奇數(shù)的反對稱矩陣不可逆.不可逆.(七)分塊矩陣設(shè)m階方陣C與n階方陣D,都是可逆矩陣，則四、可逆矩陣充要條件應(yīng)用實例于是注：給出了具體求逆矩陣的方法。作n*2n矩陣(AE),用把它的左邊一半化用初等列變換即可.2.利用逆矩陣求解線性方程組1223X7110121X4寫注：本題是逆矩陣的運用實例。根據(jù)可逆矩陣的充要條件我們可以知道當A可逆時，方程組有唯一解.3.求解矩陣方程AX=B+2X,其中A=522解：由所給的矩陣方程可以