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第三節(jié)數(shù)列極限存在的條件馮永平Fypmath@gzhu.edu.cn數(shù)列極限的兩大問題數(shù)列極限的存在性;(此問題為最關(guān)鍵的問題)數(shù)列極限值的大?。唬ù嬖谛猿闪⒑?,才想辦法計(jì)算極限)復(fù)習(xí)引入幾種證明極限存在的方法:按照數(shù)列極限的定義證明。按照奇、偶子列的收斂性證明。依據(jù)任意子列的收斂性證明。利用夾逼準(zhǔn)則證明。復(fù)習(xí)引入最簡單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性幾個(gè)簡單的單調(diào)數(shù)列:單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列正文準(zhǔn)則I:單調(diào)有界準(zhǔn)則
幾何解釋:幾點(diǎn)說明:?
通常該準(zhǔn)則變通為:1)單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。2)單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。?
本定理只是證明了存在性。?本定理只對(duì)一類特殊的數(shù)列可以判別存在性。?此定理的條件為充分非必要條件。
例1
設(shè)
其中,證明收斂。
證明:遞增顯然,下面證明有上界,事實(shí)上:
例2
證明存在。證明:
的展開式中共有項(xiàng),每一項(xiàng)為正數(shù)。
的展開式中共有項(xiàng),每一項(xiàng)為正數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)有:即的第項(xiàng)小于的第項(xiàng),此外比還多了一個(gè)正數(shù)項(xiàng),故嚴(yán)格增加下面證明有上界:Cauchy收斂準(zhǔn)則:數(shù)列收斂的充要條件為:收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面,項(xiàng)之間幾乎“擠”在了一起。判別的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性就可以判
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