線性代數(shù)總結(jié)計(jì)劃匯總經(jīng)典例題

線性代數(shù)總結(jié)計(jì)劃匯總經(jīng)典例題線性代數(shù)總結(jié)計(jì)劃匯總經(jīng)典例題線性代數(shù)總結(jié)計(jì)劃匯總經(jīng)典例題......線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)行列式（一）行列式看法和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不相同行不相同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)乘此行列式4）拆列分配：行列式中若是某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。6）兩行成比率，行列式的值為0。二）重要行列式4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積5、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘6、Laplace張開(kāi)式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則.學(xué)習(xí)參照.......7、n階（n≥2）范德蒙道德列式數(shù)學(xué)歸納法證明★8、對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）張開(kāi)9、按行張開(kāi)定理：1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0四）行列式公式10、行列式七大公式：1）|kA|=kn|A|2）|AB|=|A|·|B|3）|AT|=|A|4）|A-1|=|A|-15）|A*|=|A|n-1.學(xué)習(xí)參照.......6）若A的特色值λ1、λ2、??λn，7）若A與B相似，|A|=|B|五）克萊姆法規(guī)11、克萊姆法規(guī)：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解2）若是非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不相同解，則它的系數(shù)行列式必為03）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；若是方程組有非零解，那么必有D=0。矩陣（一）矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：1）矩陣乘法要求前列后行一致；2）矩陣乘法不滿足互換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時(shí)，能夠用互換律）3）AB=O不能夠推出A=O或B=O。2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）1）（A+B）T=AT+BT2）（kA）T=kAT3）（AB）T=BTAT4）|A|T=|A|.學(xué)習(xí)參照.......5）（AT）T=A二）矩陣的逆3、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質(zhì)：（5條）1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)2）（AB）-1=B-1·A-13）|A-1|=|A|-14）（AT）-1=（A-1）T5）（A-1）-1=A5、逆的求法：1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）三）矩陣的初等變換6、初等行（列）變換定義：1）兩行（列）互換；2）一行（列）乘非零常數(shù)c3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過(guò)一次初等變換獲取的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.學(xué)習(xí)參照.......2）初等矩均可逆矩，且Eij-1=Eij（i，j兩行互）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)）★（四）矩的秩9、秩的定：非零子式的最高數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素0，即A=O2）r（An×n）=n（秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不能逆；3）r（A）=r（r=1、2、?、n-1）←→r子式非零且所有r+1子式均0。10、秩的性：（7條）1）Am×n矩，r（A）≤min（m,n）2）r（A±B）≤r（A）±（B）3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}4）r（kA）=r（A）（k≠0）5）r（A）=r（AC）（C是一個(gè)可逆矩）6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）7）A是m×n矩，B是n×s矩，AB=O，r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：1）A抽象矩：由定或性求解；2）A數(shù)字矩：A→初等行→梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均0），r（A）=非零行的行數(shù)五）陪同矩.學(xué)習(xí)參照.......12、陪同矩的性：（8條）1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-12）（kA）*=kn-1A*3）（AB）*=B*A*4）|A*|=|A|n-15）（AT）*=（A*）T6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-17）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分矩13、分矩的乘法：要求前列后行分法相同。14、分矩求逆：向量（一）向量的看法及運(yùn)算TT1、向量的內(nèi)：（α，β）=αβ=βα2、度定：||α||=3、正交定：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+?+anbn=04、正交矩的定：An矩，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±.學(xué)習(xí)參照.......1（二）性合和性表示5、性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，?，αs性表示(1)←→非次性方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=β有解。(2)←→r（α1，α2，?，αs）=r（α1，α2，?，αs，β）（系數(shù)矩的秩等于增廣矩的秩，用于大第一步的）6、性表示的充分條件：（認(rèn)識(shí)即可）若α1，α2，?，αs性沒(méi)關(guān)，α1，α2，?，αs，β性相關(guān)，β可由α1，α2，?，αs性表示。7、性表示的求法：（大第二步）α1，α2，?，αs性沒(méi)關(guān)，β可由其性表示。（α1，α2，?，αs|β）→初等行→（行最形|系數(shù)）行最形：每行第一個(gè)非0的數(shù)1，其余元素均0（三）性相關(guān)和性沒(méi)關(guān)8、性相關(guān)注意事：1）α性相關(guān)←→α=02）α1，α2性相關(guān)←→α1，α2成比率9、性相關(guān)的充要條件：向量α，α，?，α性相關(guān)12s1）←→有個(gè)向量可由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=0有非零解；.學(xué)習(xí)參照.......★（3）←→r（α1，α2，?，αs）＜s即秩小于個(gè)數(shù)特地，n個(gè)n列向量α1，α2，?，αn性相關(guān)1）←→r（α1，α2，?，αn）＜n2）←→|α1，α2，?，αn|=03）←→（α1，α2，?，αn）不能逆10、性相關(guān)的充分條件：1）向量含有零向量或成比率的向量必相關(guān)2）部分相關(guān)，整體相關(guān)3）高相關(guān)，低相關(guān)4）以少表多，多必相關(guān)★推：n+1個(gè)n向量必然性相關(guān)11、性沒(méi)關(guān)的充要條件向量α1，α2，?，αs性沒(méi)關(guān)1）←→任意向量均不能夠由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=0只有零解3）←→r（α1，α2，?，αs）=s特地，n個(gè)n向量α1，α2，?，αn性沒(méi)關(guān)←→r（α1，α2，?，αn）=n←→|α1，α2，?，αn|≠0←→矩可逆12、性沒(méi)關(guān)的充分條件：1）整體沒(méi)關(guān)，部分沒(méi)關(guān)2）低沒(méi)關(guān)，高沒(méi)關(guān)3）正交的非零向量性沒(méi)關(guān).學(xué)習(xí)參照.......（4）不相同特色的特色向量沒(méi)關(guān)13、性相關(guān)、性沒(méi)關(guān)判斷（1）定法★（2）秩：若小于數(shù)，性相關(guān)；若等于數(shù)，性沒(méi)關(guān)【知充】1）在矩左乘列秩矩（秩=列數(shù)），矩的秩不；在矩右乘行秩矩，矩的秩不。2）若n列向量α1，α2，α3性沒(méi)關(guān)，β1，β2，β3能夠由其性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，r（β1，β2，β3）=r（C），從而性無(wú)關(guān)?！鷕（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大性沒(méi)關(guān)與向量的秩14、極大性沒(méi)關(guān)不唯一15、向量的秩:極大沒(méi)關(guān)中向量的個(gè)數(shù)成向量的秩比：矩的秩:非零子式的最高數(shù)★注:向量α1，α2，?，αs的秩與矩A=（α1，α2，?，αs）的秩相等★16、極大性沒(méi)關(guān)的求法1）α1，α2，?，αs抽象的：定法2）α1，α2，?，αs數(shù)字的：（α1，α2，?，αs）→初等行→梯型矩每行第一個(gè)非零的數(shù)的列向量構(gòu)成極大沒(méi)關(guān)（五）向量空.學(xué)習(xí)參照.......17、基（就是極大性沒(méi)關(guān)）公式：若α1，α2，?，αn與β1，β2，?，βn是n向量空V的兩基，基公式（β，?，β）n=（α1，α2，?，α）nCn×n1，β2其中，C是從基α1，α2，?，αn到β1，β2，?，βn的渡矩。C=（α1，α2，?，αn）-1（β1，β2，?，βn）18、坐公式：向量γ在基α1，α2，?，αn與基β1，β2，?，βn的坐分x=（x1，x2，?，xn）T，y=（y1，y2，?，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+?+xnαn=y1β1+y2β2?+ynβn，坐公式x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，?，αn到β1，β2，?，βn的渡矩。C=（α1，α2，?，αn）-1（β1，β2，?，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化α1，α2，α3性沒(méi)關(guān)1）正交化令β1=α1（2）位化.學(xué)習(xí)參照.......線性方程組（一）方程的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，?，αn）2、解的定：若η=（c1，c2，?，cn）T足方程Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判斷與性3、次方程：1）只有零解←→r（A）=n（nA的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）2）有非零解←→r（A）＜n4、非次方程：1）無(wú)解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-12）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n3）無(wú)多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性：1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，ξ+η是Ax=b的解3）若η1，η2是Ax=b的解，η1-η2是Ax=0的解.學(xué)習(xí)參照.......【實(shí)行】12s是Ax=b的解，k1η1+k2η2?sηs（1）η，η，?，η++kAx=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）η1，η2，?，ηs是Ax=b的s個(gè)性沒(méi)關(guān)的解，η2-η1，η3-η1，?，ηs-η1Ax=0的s-1個(gè)性沒(méi)關(guān)的解。式：①η1-η2，η3-η2，?，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，?，ηs-ηs-1（三）基解系6、基解系定：1）ξ1，ξ2，?，ξs是Ax=0的解2）ξ1，ξ2，?，ξs性相關(guān)3）Ax=0的所有解均可由其性表示→基解系即所有解的極大沒(méi)關(guān)注：基解系不唯一。任意n-r（A）個(gè)性沒(méi)關(guān)的解均可作基解系?！?、重要：（明也很重要）A施m×n矩，B是n×s矩，AB=O1）B的列向量均方程Ax=0的解2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、：基解系的求法（1）A抽象的：由定或性湊n-r（A）個(gè)性沒(méi)關(guān)的解.學(xué)習(xí)參照.......（2）A數(shù)字的：A→初等行→梯型自由未知量分取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量獲取基解系（四）解的構(gòu)（通解）9、次性方程的通解（所有解）r（A）=r，ξ1，ξ2，?，ξn-rAx=0的基解系，Ax=0的通解k1η1+k2η2+?+kn-rηn-r（其中k1，k2，?，kn-r任意常數(shù)）10、非次性方程的通解r（A）=r，ξ，ξ，?，ξAx=0的基解系，ηAx=b的特解，12n-rAx=b的通解η+k1η1+k2η2+?+kn-rηn-r（其中k1，k2，?，kn-r任意常數(shù)）（五）公共解與同解11、公共解定：若是α既是方程Ax=0的解，又是方程Bx=0的解，稱α其公共解12、非零公共解的充要條件：方程Ax=0與Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要（需要掌握明）1）A是m×n矩，次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=rA）2）A是m×n矩，r（A）=n，B是n×s矩，次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）.學(xué)習(xí)參照.......特色值與特色向量一）矩的特色與特色向量1、特色、特色向量的定：An矩，若是存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩A屬于特色λ的特色向量。2、特色多式、特色方程的定：|λE-A|稱矩A的特色多式（λ的n次多式）。|λE-A|=0稱矩A的特色方程（λ的n次方程）。注:特色方程能夠?qū)憒A-λE|=03、重要：（1）若α次方程Ax=0的非零解，Aα=0·α即，α矩A特色λ=0的特色向量（2）A的各行元素和k，(1，1，?，1)T特色k的特色向量。（3）上（下）三角或主角的矩的特色主角各元素?！?、：特色與特色向量的求法（1）A抽象的：由定或性湊（2）A數(shù)字的：由特色方程法求解5、特色方程法：（1）解特色方程|λE-A|=0，得矩A的n個(gè)特色λ1，λ2，?，λn注：n次方程必有n個(gè)根(可有多重根，寫(xiě)作λλ?λ數(shù)，不能夠省略)1=2==s=2）解次方程（λiE-A）=0，得屬于特色λi的性沒(méi)關(guān)的特色向量，即其基解系（共n-r（λiE-A）個(gè)解）.學(xué)習(xí)參照.......6、性：1）不相同特色的特色向量性沒(méi)關(guān)2）k重特色最多k個(gè)性沒(méi)關(guān)的特色向量1≤n-r（λiE-A）≤ki3）A的特色λ1，λ2，?，λn，|A|=Πλi，Σλi=ΣaiiT（4）當(dāng)r（A）=1，即A=αβ，其中α，β均n非零列向量，A的特色λTT1=Σaii=αβ=βα，λ2=?=λn=0（5）α是矩A屬于特色λ的特色向量，fA（A）fλ（λ）αα（二）相似矩7、相似矩的定：

AAP-1AP（相T-1A*似）λλ|A|λ-1λ-1/ααP-1αA、B均n矩，若是存在可逆矩P使得B=P-1AP，稱A與B相似，作A~B8、相似矩的性（1）若A與B相似，f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，A與C相似3）相似矩有相同的行列式、秩、特色多式、特色方程、特色、跡（即主角元素之和）.學(xué)習(xí)參照.......【實(shí)行】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：若是A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，=稱A可相似對(duì)角化。注：Aαλα（α≠，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特色值λ的特i=iii0i征向量10、相似對(duì)角化的充要條件1）A有n個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量2）A的k重特色值有k個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量11、相似對(duì)角化的充分條件：1）A有n個(gè)不相同的特色值（不相同特色值的特色向量線性沒(méi)關(guān)）2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特色值的個(gè)數(shù)，n-r（A）為零特色值的個(gè)數(shù)2）若A不能相似對(duì)角化，r（A）不用然為非零特色值的個(gè)數(shù)四）實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì).學(xué)習(xí)參照.......1）特色全數(shù)2）不相同特色的特色向量正交3）A可相似角化，即存在可逆矩P使得P-1AP=Λ4）A可正交相似角化，即存在正交矩Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其準(zhǔn)形1、二次型：1）一般形式2）矩形式（常用）2、準(zhǔn)形：若是二次型只含平方，即f（x1，x2，?，xn）=d1x12+d2x22+?+dnxn2的二次型稱準(zhǔn)形（角）3、二次型化準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通可逆性x=Cy（C可逆），將二次型化準(zhǔn)形。其中，可逆性及準(zhǔn)形通先配方再元獲取?！铮?）正交法：通正交x=Qy，將二次型化準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+?+λnyn2其中，λ1，λ2，?，λn是A的n個(gè)特色，QA的正交矩注:正交矩Q不唯一，γi與λi即可。（二）性定理及范形4、定：.學(xué)習(xí)參照.......正性指數(shù)：準(zhǔn)形中正平方的個(gè)數(shù)稱正性指數(shù)，p；性指數(shù)：準(zhǔn)形中平方的個(gè)數(shù)稱性指數(shù)，q；范形：f=z12+?zp2-zp+12-?-zp+q2稱二次型的范形。5、性定理：二次型無(wú)取怎的可逆性準(zhǔn)形，其正性指數(shù)不。注：（1）由于正性指數(shù)不，因此范形唯一。2）p=正特色的個(gè)數(shù)，q=特色的個(gè)數(shù)，p+q=非零特色的個(gè)數(shù)=rA）三）合同矩6、定：A、B均n稱矩，若存在可逆矩C，使得B=CTAC，稱A與B合同△7、：n稱矩A、B的關(guān)系1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特色2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正性指數(shù)←→相同的正特色的個(gè)數(shù)3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：稱矩相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩8、正定的定二次型xTAx，若是任意x≠0，恒有xTAx＞0，稱二次型正定，并稱稱矩A是正定矩。.學(xué)習(xí)參照.......9、n元二次型xTAx正定充要條件：1）A的正慣性指數(shù)為n2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E3）A的特色值均大于04）A的序次主子式均大于0（k階序次主子式為前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要條件：1）aii＞02）|A|＞011、總結(jié)：二次型xTAx正定判斷（大題）1）A為數(shù)字：序次主子式均大于02）A為抽象：①證A為實(shí)對(duì)稱矩陣：AT=A；②再由定義或特色值判斷12、重要結(jié)論：1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定.學(xué)習(xí)參照.......線性代數(shù)行列式經(jīng)典例題例1計(jì)算元素為aij=|i－j|的n階行列式.解方法1由題設(shè)知，a=0，a1，,a1nn1,，故111201n101n1Dn10n2riri1111in,n1,,2n1n20111cjcnj1,,n1

n1nn1021(1)n12n2(n1)020001其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行．第二步用的每列加第n列．01n1111方法2Dn10n2riri1111i1,2,,n1n1n20n1n20100cjc1120=(1)n12n2(n1)j2,n,n12n3n1例2.設(shè)a,b,c是互異的實(shí)數(shù),證明:的充要條件是a+b+c=0.證明:察看范德蒙行列式:.學(xué)習(xí)參照.......=行列式即為y2前的系數(shù).于是=因此的充要條件是a+b+c=0.x100例3計(jì)算Dn=0x10anan1an2xa1解：方法1遞推法按第1列張開(kāi)，有1x1Dn=xDn1+（－1）n1an

x1=xDn1+anx1n1由于D1=x+a1，D2x1a2x，于是Dn=xDn1+an=x（xDn2+an1）+an=xa12Dn2+an1x+an==xn1D1+a2xn2++an1x+an=xna1xn1an1xan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的xn1倍分別加到第1列上.學(xué)習(xí)參照.......0100cxcx2x10Dn00x0anxan1an1an2xa101000cx2c30x1001x30x10anxan1x2an2an1an2an3xa1011x1x按rn張開(kāi)==1x=(1)n1f1fxx1n1xna1xn1an1xan方法3利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式．1c2xc11c3xc2Dn

x0000x0000x0cn1c1xnanan1ananan1an2knxxx2按cn張開(kāi)xn1kn=xn1anan1++a2+a1+x)(+xxn1xn2=anan1xa1xn1xn1000按r張開(kāi)x100方法4Dnn(1)n1an+00x1.學(xué)習(xí)參照.......x000x100(1)n2an10100++(1)2n1a20x0000x10001x100+(1)2n(a1x)0x00000x=（－1）n1（－1）n1an+（－1）n2（－1）n2an1x++（－1）2n1（－1）a2xn2+（－1）2n(a1+x)xn1=anan1xa1xn1xn例4．計(jì)算n階行列式：a1b1a2anDna1a2b2an(b1b2bn0)a1a2anbn解采用升階（或加邊）法．該行列式的各行含有共同的元素a1,a2,,an，可在保持原行列式值不變的狀況下，增加一行一列，適當(dāng)選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡(jiǎn)后出現(xiàn)大量的零元素．1a1a2an1a1a2an0abaar2r11b00升階112nr3r11Dn0a1a2b2an10b20rn1r10a1a2anbn100bn1a1a1a1a2anb1b1c11cjbj10b100a1anb1b2)00b2=bn(1bnj2,,n10b1000bn這個(gè)題的特別狀況是.學(xué)習(xí)參照.......a1xa2ana1a2xan=xn1(xnai)Dni1a1a2anx可作為公式記下來(lái)．例5．計(jì)算n階“三對(duì)角”行列式000100Dn=01＋000001解方法1遞推法．0000按c1張開(kāi)100Dn()Dn1—0001(n1)按r1張開(kāi)()Dn1－Dn2即有遞推關(guān)系式Dn=()Dn1－Dn2(n3)故DnDn1＝(Dn1Dn2)遞推獲取DnDn1＝(Dn1Dn2)＝2(Dn2Dn3)＝＝n2(D2D1)而D1()，D2＝α+βαβ＝22，代入得DnDn1n1α+βDnn（2.