應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)：第5章 參數(shù)估計(jì)

安徽工程大學(xué)第五章參數(shù)估計(jì)安徽工程大學(xué)5.1參數(shù)估計(jì)的基本概念5.2點(diǎn)估計(jì)5.3區(qū)間估計(jì)5.4必要樣本容量的確定安徽工程大學(xué)5.1參數(shù)估計(jì)的基本概念總體樣本算術(shù)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)量用來(lái)推斷總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量（estimator),其取值稱為估計(jì)值（estimate)。同一個(gè)參數(shù)可以有多個(gè)不同的估計(jì)量。參數(shù)是唯一的，但估計(jì)量（統(tǒng)計(jì)量）是隨機(jī)變量，取值是不確定的。

參數(shù)安徽工程大學(xué)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì):用估計(jì)量的數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。一個(gè)總體參數(shù)的估計(jì)量可以有多個(gè)

。例如，在估計(jì)總體方差時(shí)，和都可以作為估計(jì)量。安徽工程大學(xué)點(diǎn)估計(jì)量的常用評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：無(wú)偏性無(wú)偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望與總體待估參數(shù)的真值相等：P(

)BA無(wú)偏有偏安徽工程大學(xué)點(diǎn)估計(jì)量的常用評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：有效性

在兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量中方差較小的估計(jì)量較為有效。AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)安徽工程大學(xué)估計(jì)量的常用評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致性指隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。AB較小的樣本容量較大的樣本容量

P(X)X安徽工程大學(xué)區(qū)間估計(jì)根據(jù)事先確定的置信度1-

給出總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)范圍。置信度1-

的含義是：在同樣的方法得到的所有置信區(qū)間中，有100(1-

)%的區(qū)間包含總體參數(shù)。

抽樣分布是區(qū)間估計(jì)的理論基礎(chǔ)。估計(jì)值(點(diǎn)估計(jì))置信下限置信上限置信區(qū)間抽樣分布SamplingDistribution從總體中抽取一個(gè)樣本量為n的隨機(jī)樣本，我們可以計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)值。如果從總體中重復(fù)抽取樣本量為n的樣本，就可以得到統(tǒng)計(jì)量的多個(gè)值。統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布就是這一統(tǒng)計(jì)量所有可能值的概率分布。安徽工程大學(xué)抽樣分布：幾個(gè)要點(diǎn)抽樣分布是統(tǒng)計(jì)量的分布而不是總體或樣本的分布。在統(tǒng)計(jì)推斷中總體的分布一般是未知的，不可觀測(cè)的（常常被假設(shè)為正態(tài)分布）。樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布是可以直接觀測(cè)的，最直觀的方式是直方圖，可以用來(lái)對(duì)總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)。抽樣分布一般利用概率統(tǒng)計(jì)的理論推導(dǎo)得出，在應(yīng)用中也是不能直接觀測(cè)的。其形狀和參數(shù)可能完全不同于總體或樣本數(shù)據(jù)的分布。安徽工程大學(xué)樣本均值的抽樣分布

=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16

一般的，當(dāng)總體服從

N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的容量為n的樣本的均值

X也服從正態(tài)分布，

X的期望為μ，方差為σ2/n。即

X～N(μ,σ2/n)。安徽工程大學(xué)運(yùn)用EXCEL模擬抽樣分布和中心極限定理安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)與抽樣分布有關(guān)的幾個(gè)定理

切貝謝夫不等式注意：

返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)二、大數(shù)定律返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)

貝努里大數(shù)定律說(shuō)明：當(dāng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行多次時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的，在其概率附近擺動(dòng)，而擺動(dòng)中心就是概率，即隨機(jī)事件發(fā)生的頻率依概率收斂于它的概率。它為概率的統(tǒng)計(jì)定義提供了理論依據(jù)。根據(jù)貝努里大數(shù)定律大數(shù)定律，若某隨機(jī)事件發(fā)生的概率很小，則其發(fā)生的頻率也是很小的。返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)

切貝謝夫大數(shù)定律說(shuō)明：對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立且具有具有相同的有限的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)n充分大時(shí)，經(jīng)過(guò)算術(shù)平均所得到隨機(jī)變量的離散程度是很小的，其取值密集在數(shù)學(xué)期望附近。它為測(cè)量工作中以實(shí)際觀測(cè)值的算術(shù)平均值作為測(cè)量精確值的近似值這一測(cè)量方法提供了理論依據(jù)。

返回主目錄安徽工程大學(xué)為什么叫“中心極限定理”

棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是棣莫弗于1730年給出的概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理.在此后的大約200年中，有關(guān)對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布的討論一直是概率論研究的中心，故稱為“中心極限定理”.問(wèn)？安徽工程大學(xué)三、林德伯格—萊維中心極限定理返回主目錄安徽工程大學(xué)林德伯格-萊維定理表明:返回主目錄安徽工程大學(xué)由題意得到數(shù)學(xué)期望根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)學(xué)期望返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)例2、袋裝食糖用機(jī)器裝袋，每袋食糖凈重的數(shù)學(xué)期望為100g，標(biāo)準(zhǔn)差為4g，一盒內(nèi)裝100袋，求一盒食糖凈重大于10100g的概率。返回主目錄安徽工程大學(xué)根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)學(xué)期望返回主目錄安徽工程大學(xué)所以一盒食糖凈重大于10100g的概率為0.0062。返回主目錄安徽工程大學(xué)四、德莫佛—拉普拉斯定理定理4.22表明:

正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布,當(dāng)n充分大時(shí),可以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.德莫佛拉普拉斯返回主目錄安徽工程大學(xué)下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.返回主目錄安徽工程大學(xué)對(duì)于一列二項(xiàng)分布r.v，有近似近似的圖形為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用于是當(dāng)

充分大時(shí)，可以認(rèn)為

近似安徽工程大學(xué)Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678記則近似高爾頓釘板試驗(yàn)？什么曲線共15層小釘小球碰第層釘后向右落下小球碰第層釘后向左落下高爾頓(FrancisGalton,1822-1911)英國(guó)人類學(xué)家和氣象學(xué)家安徽工程大學(xué)解由定理四,隨機(jī)變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例1返回主目錄安徽工程大學(xué)其中返回主目錄安徽工程大學(xué)返回主目錄安徽工程大學(xué)

某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,例2返回主目錄安徽工程大學(xué)保險(xiǎn)公司虧本的概率返回主目錄安徽工程大學(xué)德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England返回主目錄安徽工程大學(xué)拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France返回主目錄安徽工程大學(xué)一、點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題的提法

設(shè)總體的分布函數(shù)形式已知,但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知,借助于總體的一個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體未知參數(shù)稱為點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題.5.2點(diǎn)估計(jì)安徽工程大學(xué)二、估計(jì)量的求法

由于估計(jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量,故對(duì)不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,求估計(jì)量的問(wèn)題是關(guān)鍵問(wèn)題.點(diǎn)估計(jì)的求法:(兩種)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.安徽工程大學(xué)一、

矩估計(jì)法

其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.

理論依據(jù):

它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法.是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律安徽工程大學(xué)

安徽工程大學(xué)矩估計(jì)法的具體步驟:安徽工程大學(xué)矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.例

1

設(shè)總體服從泊松分布，

求參數(shù)的估計(jì)量.解：設(shè)是總體的一個(gè)樣本,由于,可得

安徽工程大學(xué)解例2安徽工程大學(xué)解方程組得到a,b的矩估計(jì)量分別為安徽工程大學(xué)解解方程組得到矩估計(jì)量分別為例3安徽工程大學(xué)上例表明:

總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式，不因不同的總體分布而異.一般地:安徽工程大學(xué)

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,

缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.安徽工程大學(xué)

例4設(shè)總體的分布密度為

為總體的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì)量.

解：由于只含有一個(gè)未知參數(shù)，一般只需求出便能得到的矩估計(jì)量，但是安徽工程大學(xué)

即不含有,故不能由此得到的矩估計(jì)量.為此,求

故令

于是解得的矩估計(jì)量為

安徽工程大學(xué)二、最大（極大）似然估計(jì)法最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.

它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇

.

費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).安徽工程大學(xué)1.最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法，是建立在最大似然原理的基礎(chǔ)上的求點(diǎn)估計(jì)量的方法。最大似然原理的直觀想法是：總體的分布形式已知的情況下，未知參數(shù)可以取很多值，在一次抽樣中獲得一組觀測(cè)值，說(shuō)明該組觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大，因此參數(shù)的取值應(yīng)該是所有可能取值中使樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大。

安徽工程大學(xué)（或分2.似然函數(shù)設(shè)總體的分布律為，其中是未知參數(shù)，是總體的一個(gè)樣本,為

布密度為）則樣本，當(dāng)給定樣本值后，它只是參數(shù)的函數(shù)，記為即的分布律安徽工程大學(xué)則稱為似然函數(shù)。似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的分布律或分布密度。安徽工程大學(xué)定義設(shè)總體的分布密度（或分布律）為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)是總體的一個(gè)樣本值，如果似然函數(shù)（6.1）安徽工程大學(xué)

替換成樣本分別為似然估計(jì)值。需要注意的是，最大似然估計(jì)值依賴于樣本值，即若將上式中樣本值則所得的

的最大安徽工程大學(xué)

稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)量。

由于而與在同一處達(dá)到最大值，為最大似然估計(jì)的必要條件為稱它為似然方程，其中（6.2）因此，安徽工程大學(xué)求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值

（4）最后得到最大似然估計(jì)量

安徽工程大學(xué)解似然函數(shù)例1安徽工程大學(xué)這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.安徽工程大學(xué)解

似然函數(shù)為例2安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同.安徽工程大學(xué)解例3安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)安徽工程大學(xué)三、小結(jié)兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法:矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法

在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中往往先使用最大似然估計(jì)法,

在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí),

再用矩估計(jì)法.安徽工程大學(xué)費(fèi)希爾資料RonaldAylmerFisherBorn:17Feb1890inLondon,England

Died:29July1962inAdelaide,Australia安徽工程大學(xué)5.3區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的具體做法是，構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量及且，用區(qū)間來(lái)估計(jì)未知參數(shù)的可能取值范圍，要求落在區(qū)間的概率盡可能的大。通常，我們事先給定一個(gè)很小的數(shù)按概率估計(jì)總體參數(shù)可能落入?yún)^(qū)間的概率。稱為置信度或置信水平,稱為檢驗(yàn)水平(估計(jì)不成功的概率),區(qū)間稱為置信度為的置信區(qū)間。安徽工程大學(xué)1．標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的區(qū)間估計(jì)對(duì)于正態(tài)分布總體（對(duì)其他分布的總體，當(dāng)容量

30時(shí)，可近似看成正態(tài)分布）如果已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本均值為，則在置信度下總體均值的置信區(qū)間為

（8.16）其中：為樣本容量，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)，即安徽工程大學(xué)中心在置信區(qū)間中，為點(diǎn)估計(jì)值。置信區(qū)間實(shí)際上是以為中心，以為半徑的區(qū)間。我們將稱為邊際誤差。邊際誤差安徽工程大學(xué)案例5.3CJW公司是一家專營(yíng)體育設(shè)備和器材的郵購(gòu)公司.為了跟蹤服務(wù)質(zhì)量,CJW每個(gè)月選取100位顧客的郵購(gòu)訂單組成簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.每位顧客對(duì)公司的服務(wù)水平在0(最差等級(jí))到100(最好等級(jí))間打分,然后計(jì)算樣本平均值.根據(jù)以往的資料顯示,每個(gè)月顧客滿意得分的平均值都在變動(dòng),但滿意得分的樣本標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定的數(shù)值20附近.所以我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為20.又最近一次顧客對(duì)CJW滿意程度的平均值為82.試求置信度為95%的總體均值的置信區(qū)間。安徽工程大學(xué)

樣本容量大于30，近似按正態(tài)分布處理。總體方差，樣本均值。置信度為，則。通過(guò)查正態(tài)分布表得，代入公式（10.1）得置信度為95%時(shí)，顧客滿意度的邊際誤差為，所以置信區(qū)間為即。即有95%的把握認(rèn)為顧客的滿意分?jǐn)?shù)落在區(qū)間內(nèi)。解：安徽工程大學(xué)案例5.4在一批包裝商品中，抽取100個(gè)小包裝袋，已知樣本的質(zhì)量平均數(shù)是21克，總體標(biāo)準(zhǔn)差為6克，在置信度為95%的要求下，計(jì)算置信區(qū)間。解：計(jì)算平均誤差：

置信區(qū)間的上限是：

置信區(qū)間的下限是：

即這批小包裝的質(zhì)量平均在22.18至19.82之間，可信度為95%。

安徽工程大學(xué)2．標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)對(duì)于正態(tài)分布總體（對(duì)其它分布的總體，當(dāng)樣本容量30時(shí)，可近似看成正態(tài)分布）如果已知樣本均值為，但總體標(biāo)準(zhǔn)差為未知，則總體均值在置信度下的置信區(qū)間為

（**）其中，為自由度為的分布的雙側(cè)分位點(diǎn)，為樣本容量，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差即。安徽工程大學(xué)（**

）式說(shuō)明，總體標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，總體均值的置信區(qū)間為以為中心，以為邊際誤差的區(qū)間。中心邊際誤差安徽工程大學(xué)案例5.5斯切爾公司對(duì)培訓(xùn)企業(yè)維修工的計(jì)算機(jī)輔助程序感興趣.為了了解這種計(jì)算機(jī)輔助程序能縮短多少培訓(xùn)時(shí)間,需要評(píng)估這種程序在95%置信水平下培訓(xùn)時(shí)間平均值的置信區(qū)間。已知培訓(xùn)時(shí)間總體是正態(tài)分布，管理者對(duì)15名維修工進(jìn)行了測(cè)試，所得培訓(xùn)時(shí)間如表6-2所示，試估計(jì)95%置信水平下總體均值的置信區(qū)間。維修工編號(hào)

123456789101112131415培訓(xùn)天數(shù)

524455444559505462465458606263表6-215名維修工的培訓(xùn)天數(shù)

返回案例6.10

安徽工程大學(xué)解：已知總體是正態(tài)分布，但總體方差未知，應(yīng)用（**

）式進(jìn)行計(jì)算，首先計(jì)算樣本均值和樣本方差.置信水平為95%，則,自由度為,查表得所以邊際誤差：

安徽工程大學(xué)因而由（**

）式在應(yīng)用輔助程序后該公司培訓(xùn)維修工時(shí)間在95%置信度下的置信區(qū)間為即：安徽工程大學(xué)案例5.6表5-3列出了選取36名投保人組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)。在90%置信水平下，求總體年齡均值的置信區(qū)間。表5-3投保人樣本的年齡安徽工程大學(xué)解：總體分布未知，但樣本量為，大于30。近似看成正態(tài)分布處理。由于總體的方差未知，所以應(yīng)用(**)式來(lái)求總體的置信區(qū)間從表6-3中通過(guò)計(jì)算可得，樣本均值為39.5歲，這是總體均值的點(diǎn)估計(jì)。在置信度為90%時(shí):

另可算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差:安徽工程大學(xué)所以在90%的置信度下，總體年齡均值的置信區(qū)間為，即：安徽工程大學(xué)案例5.7

《紐約時(shí)報(bào)1988年年鑒》公布了各行業(yè)每人每周的平均工作收入。在服務(wù)行業(yè)，假如由36名服務(wù)業(yè)人士組成的樣本的個(gè)人周收入均值為369美元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為50美元。計(jì)算服務(wù)業(yè)人士周收入總體均值的95%置信區(qū)間。解：總體分布未知，樣本容量，可近似為正態(tài)分布抽樣。由于總體方差未知，應(yīng)用（**

）式處理。置信度為95%，，自由度

安徽工程大學(xué)所以服務(wù)業(yè)人士總體均值的95%置信區(qū)間為

即（352.0825，385.9175）.安徽工程大學(xué)二、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)對(duì)于未知方差的正態(tài)分布總體，因統(tǒng)計(jì)量所以對(duì)給定的置信度，由分布有成立，即有成立。安徽工程大學(xué)而均方差的置信區(qū)間為故的置信區(qū)間為安徽工程大學(xué)案例5.8

計(jì)算案例5.7中服務(wù)業(yè)人士總體標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間。解：將以上數(shù)據(jù)代入公式得總體標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間為(44.5542,65.2225).由案例6.7已知樣本容量，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，置信度，查表得安徽工程大學(xué)三、兩個(gè)總體均值之差的

區(qū)間估計(jì)(獨(dú)立大樣本)

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間獨(dú)立大樣本(n1

30，n2

30)(

x1

-

x2

)±分位數(shù)值×(x1-

x2)的標(biāo)準(zhǔn)誤差安徽工程大學(xué)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(獨(dú)立小樣本:

12=

22

)兩個(gè)正態(tài)總體，未知但相等：

1２=

2２兩個(gè)獨(dú)立小樣本(n1<30和n2<30)估計(jì)量

x1-x2的標(biāo)準(zhǔn)化總體方差的合并估計(jì)量安徽工程大學(xué)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析—獨(dú)立小樣本)【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間(單位：分鐘)下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521安徽工程大學(xué)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析—獨(dú)立小樣本)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得合并估計(jì)量為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘~7.26分鐘安徽工程大學(xué)四、一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)(傳統(tǒng)方法)設(shè)總體服從二項(xiàng)分布，即X~(n，p)，P為n次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的概率試驗(yàn)次數(shù)n非常大(np≥10；n(1-p)≥10)，否則該方法不能用當(dāng)樣本很小時(shí)，傳統(tǒng)方法計(jì)算出的1-

置信水平下的置信區(qū)間能夠覆蓋總體真實(shí)比例的概率小于小于1-

傳統(tǒng)方法仍被廣泛使用當(dāng)樣本量非常大時(shí)，傳統(tǒng)方法與現(xiàn)代方法的結(jié)果幾乎相同。小樣本情況下，現(xiàn)代方法更適用總體比例

在1-

置信水平下的置信區(qū)間樣本比例±分位數(shù)值×樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差安徽工程大學(xué)一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)總體比例在1-

置信水平下的置信區(qū)間樣本比例p的標(biāo)準(zhǔn)化安徽工程大學(xué)一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知

n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

安徽工程大學(xué)設(shè)兩總體都服從二項(xiàng)分布，即X1~(n1，p1)，X2~(n2，p2)。x1為n1次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，P1位成功的概率概率，x2

為n2次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，P2為成功的概率試驗(yàn)次數(shù)n1和n2都非常大(n1p1≥10，n1(1-p1)≥10；n2p2≥10，n2(1-p2)≥10)，否則該方法不能用對(duì)于大樣本，傳統(tǒng)方法的結(jié)果與現(xiàn)代方法比較接近，但對(duì)于小樣本，傳統(tǒng)方法計(jì)算出的1-

置信水平下的置信區(qū)間能夠覆蓋總體真實(shí)比例的概率小于小于1-

兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)比例之差

1-2在1-

置信水平下的置信區(qū)間(p1-p2)±分位數(shù)值×(p1-p2)的標(biāo)準(zhǔn)誤差安徽工程大學(xué)p1-p2的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)

1-2在1-

置信水平下的置信區(qū)間安徽工程大學(xué)五、正態(tài)總體在對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)中所需的樣本容量在對(duì)方差已知的正態(tài)分布總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，邊際誤差為

和樣本容量共同確定了邊際誤差。一旦確定了置信水平，也就確定了。此時(shí)影響邊際誤差的唯一因素就是樣本容量。如果對(duì)邊際誤差水平（用表示）有約定，則需要的樣本容量也就唯一確定了。兩個(gè)未知變量

和樣本容量共同確定了邊際誤差。一旦確定了置信水平，也就確定了。此時(shí)影響邊際誤差的唯一因素就是樣本容量。如果對(duì)邊際誤差水平（用表示）有約定，則需要的樣本容量也就唯一確定了。安徽工程大學(xué)樣本容量的公式推導(dǎo)如下：令代表希望的邊際誤差解出樣本容量的表達(dá)式

在給定的置信水平下，該樣本容量滿足所希望的邊際誤差。安徽工程大學(xué)案例5.10在案例5.5所述斯切爾公司的培訓(xùn)安排中，計(jì)劃總體標(biāo)準(zhǔn)差為。如果希望的邊際誤差為2天，置信度為95%，樣本容量應(yīng)該為多大？解：由題意知：則。查表得，代入（6.21）式有：

所以，應(yīng)該抽取至少45個(gè)樣本。安徽工程大學(xué)注意：公式要求總體標(biāo)準(zhǔn)差是已知的。當(dāng)未知時(shí)。通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。

案例5.11在《華爾街日?qǐng)?bào)》的紐約股票交易所(NewYorkStockExchange)版面上，給出了每支股票52周以來(lái)每股最高價(jià)、最低價(jià)、分紅率、價(jià)格/收益(P/E)比率、日成交量、日最高價(jià)、日最低價(jià)、收盤價(jià)等信息。每支股票的P/E比率由公司最近四個(gè)季度公布的每股收益除價(jià)格得到。在一次大樣本的抽查中，樣本方差（theWallStreetJoural,1998.3.19）。假定我們要求對(duì)紐約股票交易列示的所有股票P/E比率的總體均值進(jìn)行估計(jì)，要求95%置信度下的邊際誤差，則樣本容量應(yīng)包含多少支股票？安徽工程大學(xué)解：由于是大樣本抽樣，可將總體視為正態(tài)分布。總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，即。置信度則，通過(guò)查表得，代入公式有：所以按要求，樣本容量應(yīng)包含26支股票。安徽工程大學(xué)六、正態(tài)總體在對(duì)總體比率的區(qū)間估計(jì)中所需的樣本容量現(xiàn)在考慮在給定邊際誤差時(shí)，應(yīng)選用的多大的樣本容量來(lái)估