嘉興一中期末復(fù)習(xí)-圓與方程復(fù)習(xí)-

PAGE嘉興一中期末復(fù)習(xí)——圓與方程復(fù)習(xí)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)一．知識(shí)點(diǎn)回顧1．圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(xa)2(yb)2=r2(2)圓的一般方程方程x2y2DxEyF=0，當(dāng)D2E24F0時(shí)，叫做圓的一般方程．且圓心為C，半徑r=．(2)條件組是一般二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF=0表示圓的必要但不充分條件，其充要條件為：．(3)圓的參數(shù)方程圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為：．2．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系(1)已知點(diǎn)P(x0,y0)，圓C的方程為∶(xa)2(yb)2=r2，則①點(diǎn)P在圓上(x0a)2(y0b)2=r2②點(diǎn)P在圓內(nèi)(x0a)2(y0b)2<r2③點(diǎn)P在圓外(x0a)2(y0(2)已知點(diǎn)P(x0,y0)，圓C的方程為x2y2DxEyF=0(D2E24F0)①點(diǎn)P在圓上x(chóng)02y02Dx0Ey0F=0②點(diǎn)P在圓內(nèi)x02y02Dx0Ey0F<0③點(diǎn)P在圓x02y02Dx0Ey0F>03．直線和圓的位置關(guān)系已知直線l：AxByC=0(A2B20)，圓C：(xa)2(yb)2=r2(r>0)，記d=,則①直線l與圓相切d=r②直線l與圓相交d<r③直線l與圓相離d>r4．圓和圓的位置關(guān)系圓C1：(xa1)2(yb1)2=r12，圓C2：(xa2)2(yb2)2=r22,(r2r1)．記d=，則0d<|r1r2|d=|r1r2||r1r2|<d<r1r2d=r1r2d>r1r2內(nèi)含內(nèi)切相交外切相離注：表中各條件均為充要條件．5．圓系(1)設(shè)⊙C1：x2y2D1xE1yF1=0與⊙C2：x2y2D2xE2yF2=0有公共點(diǎn)，則過(guò)⊙C1與⊙C2交點(diǎn)的圓系方程為C：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)=0()注：①當(dāng)1時(shí)，()式表示過(guò)⊙C1與⊙C2的交點(diǎn)，圓心在直線C1C2上，且不含⊙C2②若⊙C1與⊙C2相交，當(dāng)=1時(shí)，()式為兩圓的公共弦所在直線的方程；③若⊙C1與⊙C2相切，則當(dāng)=1時(shí)，()式為過(guò)切點(diǎn)的公切線方程．(2)設(shè)直線l：AxByC=0(A2B20)與⊙C：x2y2DxEyF=0相交，則過(guò)直線l和⊙C交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyF(AxByC)=0． 6．圓的切線(1)過(guò)⊙C：(xa)2(yb)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)=r2(2)過(guò)⊙C：x2y2DxEyF=0(D2E24F0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yDEF=0．7．切點(diǎn)弦(1)過(guò)⊙C：(xa)2(yb)2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作⊙C的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：(x0a)(xa)(y0b)(yb)=r2(2)過(guò)⊙C：x2y2DxEyF=0(D2E24F0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作⊙C的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：x0xy0yDEF=0．8．切線長(zhǎng)和弦長(zhǎng)(1)過(guò)⊙C：x2y2DxEyF=0(D2E24F0)外一點(diǎn)P(x0,y0)d=；若圓的方程為(xa)2(yb)2=r2，則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的切線長(zhǎng)為d=．(2)直線截圓所得弦長(zhǎng)，通常用勾股定理求較為簡(jiǎn)單，一般不用弦長(zhǎng)公式．二．例題講解例1．已知：(x1)2(y2)2=4和點(diǎn)P(3,2)，求過(guò)點(diǎn)P且與相切的直線方程．例2．已知一個(gè)圓與y軸相切，在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為2，圓心在直線x3y=0上，求圓的方程．例3．已知直線l：2mxy8m3=0和圓C：(x3)2+(y+6)2=25(1)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程．例4．已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓O：x2y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．QQxONyM例5．直線x+y+a=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，cos<,>=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0．(1)求a的值；(2)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，(I)若=0，求的軌跡方程。（II）若<0，求的取值范圍．三．課外練習(xí)（一）選擇題：1．圓x2y2DxEy3=0的圓心在坐標(biāo)軸上，半徑為2，當(dāng)D>E時(shí)，則D等于 ()(A)2(B)0或2(C)0(D)22．方程(y–)=0表示的圖形為 ()(A)x軸上方半圓和y軸(B)第一象限內(nèi)的圓弧和y軸及點(diǎn)(1,0)(C)x軸上方半圓和x軸(D)第一象限內(nèi)的圓弧和y軸正半軸及點(diǎn)(1,0)，(0,0)3．圓x2y24x2yc=0與y軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓心為P，若APB=90，則c的值等于 ()(A)3(B)3(C)8(D)24．如果直線l將圓x2y22x4y=0平分，且不通過(guò)第四象限，那么直線l的斜率的取值范圍是 ()(A)[0,2](B)[0,1](C)(D)5．當(dāng)aR時(shí)，關(guān)于x、y的二元方程(x2+y2+x+y)–a(x+2y+1)=0表示的曲線是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸方程為 ()(A)2x+4y+1=0(B)4x+2y+1=0(C)4x–2y+1=0(D)2x–4y+1=06．在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量=(2+cosq,2+sinq)(q?R)，由直線x=3上的動(dòng)點(diǎn)P向Q點(diǎn)的軌跡引切線，則所引切線長(zhǎng)的最小值為 ()(A)(B)4(C)5(D)27．一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x2)2(y3)2=1的最短路程是 ()(A)4(B)5(C)31(D)28．曲線y=1與直線y=k(x2)4有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為 ()(A)(B)(C)(D)（二）填空題：1．方程x2y2xyk=0表示一個(gè)圓，則k的取值范圍是 ．2．與圓x2y24x2=0相切,且在x軸和y軸上截距相等的直線共有條．3．直線l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且被圓x2y2=4截得的弦長(zhǎng)為2，則直線l的斜率是．4．若圓x2y2=4和圓x2y24x4y4=0關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為．5．圓(x3)2(y5)2=r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y2=0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是．6．已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2+(y+7)2=16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是7．已知圓O：x2y2=16，定點(diǎn)A(2,0)，過(guò)A作兩條互相垂直的射線交圓于B，C兩點(diǎn)，求BC中點(diǎn)的軌跡方程為8．已知圓x2+y2=r2在曲線|x|+|y|=4的內(nèi)部，則半徑r的范圍是（三）解答題1．一個(gè)圓與直線l1：x6y10=0相切于點(diǎn)P(4,1)，且圓心在直線l2：5x3y=0上，求該圓的方程．2．半徑為5的圓過(guò)點(diǎn)A(2,6)，且以B(5,4)為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程．3．已知圓C和圓C1：x2y22x4y=0的公共弦所在直線的方程為xy2=0，當(dāng)圓C的周長(zhǎng)最小時(shí)，求圓C的方程．4．自原點(diǎn)作圓(x1)2+y2=1的兩條弦OA、OB，如果|OA||OB|=k(定值)，試問(wèn)不論A、B的位置如何，原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

答案：例1．已知：(x1)2(y2)2=4和點(diǎn)P(3,2)，求過(guò)點(diǎn)P且與相切的直線方程．解：∵(31)2(22)2>22，∴點(diǎn)P在⊙C外．∵點(diǎn)C到直線x=3的距離=2=的半徑，∴直線x=3是所求的一條切線．設(shè)另一條切線的方程為y2=k(x3)，即kxy3k2=0．由直線與圓相切的充要條件，得=2，解得k=，故另一條切線的方程為y2=(x3)，即3x4y1=0．例2．已知一個(gè)圓與y軸相切，在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為2，圓心在直線x3y=0上，求圓的方程．解：∵圓心在直線x3y=0上，∴可設(shè)圓心為C(3a,a)又∵圓與y軸相切，∴圓的半徑R=3|a|．圓心到直線y=x的距離為d==|a|．由勾股定理，得R22a2=7，∴a=1故圓心坐標(biāo)為(3,1)或(3,1)，半徑R=3．∴所求圓的方程為(x3)2(y1)2=9或(x3)2(y1)2=9．例3．已知直線l：2mxy8m3=0和圓C：(x3)2+(y+6)2=25(1)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程．解：(1)設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有d=．整理可得4(d21)2m2+12m+d2為使上面關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)解，則⊿=12216(d21)(d29)0，解得0d，可得d<5．故不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交．(2)由(1)得0d，即d的最大值為．根據(jù)平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)圓心到直線l的距離最大時(shí)，直線l被圓C截得的線段長(zhǎng)度最短．∴當(dāng)d=時(shí)，線段的最小長(zhǎng)度為：2．將d=代入①可求得m=，此時(shí)直線l的方程為x+3y+5=0．例4．已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓O：x2y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．解：如圖，設(shè)M(x,y)，MN切圓O于N，則QxONyM|MN|=|MQ|．連ON，則|ON|=1QxONyM∴|MN|2=|MO|2|ON|2=x2y21．又|MQ|2=(x2)2y2．∴x2y21=2[(x2)2y2]．化簡(jiǎn)得，(21)(x2y2)42x(142)=0．當(dāng)=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條過(guò)點(diǎn)，并且和x軸垂直的直線；當(dāng)1時(shí)，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．例5．直線x+y+a=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，cos<,>=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0．(1)求a的值；(2)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，(I)若=0，求的軌跡方程。（II）若<0，求的取值范圍．解：(1)∵cos<,>=，∴|AB|2=4+4222cos<,>=10，yOxABM則圓心OyOxABM于是=，又a>0，∴a=．(2)∵<0，∴APB>90，P點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，而O也在該圓內(nèi)，∴0||<d+|AB|，即0||<．選擇題1(B)2(B)3(A)4.(A)5.(C)6.(D)7(A)8.(D)填空題：1.k<2.33.4.xy2=05.4<r<66.(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=97.x2y22x6=0．8.0<r<2解答題：1.(x3)2(y5)2=37．2.(x1)2(y2)2=25或．3．解法一：由，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，(3,1)．當(dāng)圓C的周長(zhǎng)最小時(shí)，(2,0)和(3,1)應(yīng)為圓C直徑的兩端點(diǎn)．故圓C的方程為．解法二：∵圓C過(guò)直線xy2=0和圓x2y22x4y=0的交點(diǎn)．∴可設(shè)圓C