掌握數(shù)學(xué)建模,感悟數(shù)學(xué)思想方法

掌握數(shù)學(xué)建模,感悟數(shù)學(xué)思想方法---《解直角三角形》教學(xué)案例教材分析

1、教材所處的地位和作用

本節(jié)課選自華東師大版九年級上冊25.3《解直角三角形》第一課，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了勾股定理和銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，以實(shí)際問題為載體,探究解直角三角形的一般方法和思路。它是前面知識的綜合運(yùn)用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，不僅可以鞏固勾股定理和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識，初步獲得解決問題的方法和經(jīng)驗,而且還讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，同時為本章的后續(xù)學(xué)習(xí)作了鋪墊，它是本章的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。2、教學(xué)目標(biāo)（1）知識目標(biāo)①讓學(xué)生感受解直角三角形的必要性，理解解直角三角形的概念及相關(guān)知識。②讓學(xué)生初步掌握運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理的知識、解直角三角形的思想與方法。③讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、探究、實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)從感性到理性、從未知到已知，從已知到新知的矛盾特征的轉(zhuǎn)化過程，形成新的知識網(wǎng)絡(luò)。（2）能力目標(biāo)①通過對實(shí)際問題的探究與解決，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力，發(fā)展應(yīng)用知識。②會把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)建模的思想和過程，形成解決問題的基本策略與能力。③通過課堂為學(xué)生提供的充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，讓學(xué)生理解并掌握基本數(shù)學(xué)知識與技能，了解數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化、化歸的思想方法，進(jìn)而獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。（3）情感目標(biāo)①讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系以及對人類發(fā)展的作用。體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲。②通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難，戰(zhàn)勝困難的意志，建立自信心。③在學(xué)生充分參與知識形成過程中，學(xué)會與人合作、交流的學(xué)習(xí)方法，形成大膽質(zhì)疑、實(shí)是求是的科學(xué)態(tài)度，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。3、教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：熟練地運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形。難點(diǎn)：把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型，探索解決問題的有效方法。4、教學(xué)設(shè)備或教輔工具：多媒體、三角板、計算器。5、教學(xué)思路：觀察操作-概括歸納-應(yīng)用提高二、教學(xué)過程bBbBCAac1、直角三角形的理論依據(jù)：（提問學(xué)生）①三邊之間關(guān)系：②角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°③邊角之間關(guān)系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；tanA=cotB=；cotA=tanB=2、例題:在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝，b＝，求c，∠A，∠B（教師講解，規(guī)范學(xué)生解題步驟。答案：∠A=60°，∠B=30°，c=12）（二）新知探究1、定義:（教師講解后，直接引入定義）解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．2、提問：上面的例子是給了兩條邊。那么，如果給出一個角和一條邊，能不能求出其他元素呢？練習(xí):在Rt△ABC中，∠C＝90°,b＝15，∠A＝30°，解這個直角三角形?分析：題目實(shí)際是要求∠B,a,c的值（答案：∠B=60°，a=5，c=10）設(shè)計意圖：讓學(xué)生初步體會解直角三角形的含義、步驟及解題過程。3、探究：（1）通過對上面兩個例題的學(xué)習(xí)，如果讓你設(shè)計一個關(guān)于解直角三角形的題目，你會給題目幾個條件？如果只給兩個角，可以嗎？（2）通過上面兩個例子的學(xué)習(xí)，你們知道解直角三角形有幾種情況嗎？(教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上述兩道例題，結(jié)合兩個探究問題，開展合作交流探究，學(xué)會初步知識歸納總結(jié))探究結(jié)果：（1）解直角三角形，只有下面兩種情況：①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角即：“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2個元素（至少有一個是邊）就可以求出其余的3個元素”（2）已知兩角的直角三角形大小不能確定，因此不能求解設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生的合作探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生類比和歸納總結(jié)能力，掌握解直角三角形的類型和條件，體會解直角三角形的需已知其中2個元素（至少要有一條邊）。（三）應(yīng)用示例▲例1（課件展示）．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中斷倒下，試問你能通過測量哪些元素，從而知道大樹原來的高度？（精確到1米）（充分征集學(xué)生想法,引導(dǎo)學(xué)生首先懂得將實(shí)際問題的圖形抽象為數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行研究。讓學(xué)生觀察思考解直角三角形應(yīng)該知道哪些元素，結(jié)合剛才探究結(jié)論：解直角三角形的需已知其中2個元素(至少要有一條邊)，進(jìn)行尋找需要的測量條件，鞏固本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)）BBCA 測量條件一：(已知兩條邊)如測量得樹的底端A到折斷處C的長度AC=11米，樹頂落在地面B處離樹的底端A距離AB=25米，求大樹在折斷之前高多少？（精確到1米）學(xué)生分析思考：(1)求大樹折斷倒下部分BC的長度；解：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AC=11,AB=25∴BC==≈27（米）∴BC+AC≈27+11≈38(米)答：大樹在折斷之前高為38米。測量條件二：（已知一條邊和一個銳角）如測量得樹頂落在地面B處離樹的底端A的距離AB=25米，倒下的樹徑CB與地面的夾角∠ABC=24°求大樹在折斷之前高多少？（精確到1米）學(xué)生分析思考：(1)求大樹折斷倒下部分BC的長度；（2）求大樹的底端到折斷處部分AC的長度；解：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,∠ABC=24°,AB=25米（1）∵cos∠ABC=∴BC==≈27（米）即大樹折斷倒下部分BC的長度約為27米.(2)(關(guān)于AC的求解)方法一:∵tan∠ABC=∴AC=AB·tan∠ABC=25·tan24°≈11.1(米）∴BC+AC≈27+11.1≈38（米）答：大樹折斷之前高約為38米.方法三方法三在Rt△ABC中,BC=27,AB=25∴由勾股定理AC==≈10.1（米）方法二∵sin∠ABC=∴AC=sin∠ABC·BC=sin24°·27≈11.0引導(dǎo)學(xué)生觀察思考:可以用三種方法求出的AC值，它們的值各不同，哪種方法好呢?設(shè)計意圖：鞏固利用直角三角形的有關(guān)知識解決實(shí)際問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。同時，讓學(xué)生感受在解直角三角形的計算中要盡量使用原始數(shù)據(jù)，減少計算誤差?！睖y量條件二的題目”是今年泉州市的中考題,讓學(xué)生明確中考題其實(shí)很多直接是課本題目的變式題,所以一定要重視課本,不放過課本的任何一個題目.(四)拓展提升▲例2、如圖，在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6,求BC的長？AABCD///D解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D∵在Rt△ABD中,∠B=45°AB=6cos∠ABD=∴BD=cos∠ABD·AB=cos45°·6=3∴AD=BD=3又∵在Rt△ACD中,∠C=60°AD=3tan∠ACD=∴DC===∴BC=BD+DC=3+練習(xí)：等腰三角形的頂角為120°，腰長為2cm,則它底邊的長為.(答案:2)設(shè)計意圖：在學(xué)生掌握解直角三角形的知識基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解對于一些斜三角形的題目，我們可以通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化構(gòu)造為直角三角形進(jìn)行相關(guān)求解,感悟數(shù)學(xué)化歸的思想方法。（五）課堂小結(jié)：（1）掌握解直角三角形類型及所需條件。（2）學(xué)會將簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣運(yùn)用直角三角形知識解決生活中的問題。（數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模的思想）（3）對于有些斜三角形題目可以通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題來求解。(化歸思想)（六）作業(yè)布置：課本79頁練習(xí)題的第1題。課本P82,習(xí)題1（2）（3）練習(xí)冊P104，基礎(chǔ)過關(guān)▲教學(xué)反思：新課程改革提出的要求是：讓學(xué)生通過交流、合作、討論的方式，積極探索，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，并學(xué)會將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活實(shí)際,逐步形成正確地數(shù)學(xué)價值觀。本著這一基本理念，在本課的教學(xué)中，我始終注重的是學(xué)生的參與意識，注重學(xué)生對待學(xué)習(xí)的態(tài)度是否積極；注重引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考問題,讓學(xué)生主動暴露思維過程，及時得到信息的反饋。將解直角三角形的知識始終與現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生熟悉的實(shí)際問題相結(jié)合，不斷提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題的能力。在重視課本例題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)對題目進(jìn)行延伸，結(jié)合中考試題，使例題的作用更加突出。在整