2020-2021學(xué)年山東省新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年山東省新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，然后再由并集運(yùn)算可得答案.【詳解】由得所以故選：C2．已知，，那么是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全稱命題的否定為特稱命題可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以是，，故選：D.3．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用因式分解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求解不等式得解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以或，即故選：C4．下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)特征一一判斷即可．【詳解】A中，在區(qū)間上為增函數(shù)，故A正確；B中，是指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)為，故為減函數(shù)，則B錯(cuò)；C中，因?yàn)榈牡讛?shù)為，則在上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，所以C錯(cuò)；D中，為二次函數(shù)，其圖象對稱軸為，開口向上，所以在區(qū)間上為不單調(diào)，故D錯(cuò)．故選：A5．冪函數(shù)、、以及將平面直角坐標(biāo)系第一象限分成八個(gè)“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如圖所示），那么冪函數(shù)的圖像在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅶ D．Ⅲ和Ⅷ【答案】C【分析】本題可通過繪出冪函數(shù)的圖像得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，在圖中繪出冪函數(shù)的圖像（用虛線表示）結(jié)合圖像易知，冪函數(shù)的圖像經(jīng)過的“卦限”是Ⅲ和Ⅶ，故選：C.6．某人的智能密碼是一個(gè)六位數(shù)字，將前三位數(shù)組成的數(shù)與后三位數(shù)組成的數(shù)相加得741，將前兩位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得633，該密碼對應(yīng)的六位數(shù)是（）A．201126 B．210612 C．110631 D．120621【答案】D【分析】設(shè)該密碼對應(yīng)的六位數(shù)字是abcdef，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)該密碼對應(yīng)的六位數(shù)字是abcdef，由題意得：即，解得，所以該密碼對應(yīng)的六位數(shù)字是120621故選：D7．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由對數(shù)的性質(zhì)可知：原等式等價(jià)于，即，可推導(dǎo)出，根據(jù)“1”的應(yīng)用可求出的最小值.【詳解】由條件可知，因?yàn)?，，所以等價(jià)于，即，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“等號(hào)”成立；（2）基本不等式的應(yīng)用為“一正二定三相等”.8．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A，B，當(dāng)時(shí)可判斷C，根據(jù)均值不等式判斷D即可.【詳解】，為正實(shí)數(shù)，且在上均為減函數(shù)，在上為增函數(shù).A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；D：，，，，，，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性容易判斷AB存在錯(cuò)誤，根據(jù)均值不等式推導(dǎo)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及不等式的傳遞性判斷D正確，是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．已知實(shí)數(shù)，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A.根據(jù)在R上遞增判斷；B.由時(shí)判斷；C.由時(shí)判斷；D.利用不等式的乘法性質(zhì)判斷.【詳解】A.因?yàn)椋裕忠驗(yàn)樵赗上遞增，所以，故正確；B.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，，所以，故正確；故選：AD10．下列說法正確的是（）A．函數(shù)在定義域上為減函數(shù)B．“”是“”的充分不必要條件C．冪函數(shù)在上是增函數(shù)的一個(gè)充分條件是D．是的必要不充分條件【答案】BCD【分析】在上是增函數(shù)，則判斷；D.利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷.【詳解】A.函數(shù)在上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.命題若“”，則“”的等價(jià)命題是命題若“”，則“”，原命題為真，逆命題為假，故充分不必要條件，故正確；C.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，故正確；，則，故正確；故選：BCD11．中國傳統(tǒng)文化中有很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的數(shù)學(xué)之美.現(xiàn)給出定義：能夠?qū)A的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“和諧函數(shù)”，下列命題正確的是（）A．對于任意一個(gè)圓，其“和諧函數(shù)”有無數(shù)個(gè)B．函數(shù)不是任意一個(gè)圓的“和諧函數(shù)”C．函數(shù)可以是某個(gè)圓的“和諧函數(shù)”D．函數(shù)是“和諧函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】AC【分析】根據(jù)“和諧函數(shù)”的定義，一一驗(yàn)證即可.【詳解】對于A：過大圓圓心的直線由無數(shù)條，故A正確；對于B：函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，所以它是圓心在原點(diǎn)的圓的“和諧函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對于C:函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，故C正確；對于D：函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則函數(shù)不一定是“優(yōu)美函數(shù)”，如；函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象也不一定是中心對稱圖形，如圖所示：所以函數(shù)的圖象是中心對稱圖形是函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的不充分不必要條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC12．已知函數(shù)（且），則下列結(jié)論正確的是（）A．，等式恒成立B．若，則一定有C．，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根D．存在無數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】A.利用函數(shù)奇偶性定義判斷；B.由，分，的值域；D.將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合法判斷.【詳解】A.，故正確；B.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，遞增，所以遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以遞減，綜上，單調(diào)，所以若，則一定有，故正確；C.因?yàn)?，則，，所以，當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根，故錯(cuò)誤；D.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槎际瞧婧瘮?shù)且都過，當(dāng)時(shí)，如圖所示：當(dāng)時(shí)，如圖所示：所以存在無數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)，由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，解得，所以函數(shù)的定義域是故答案為：14．方程的解為______.【答案】【分析】設(shè)，即求二次方程的正實(shí)數(shù)根，即可解決問題.【詳解】設(shè)，即轉(zhuǎn)化為求方程的正實(shí)數(shù)根由得或(舍)所以，則故答案為：15．已知是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且有，則不等式的解集為______.【答案】【分析】先函數(shù)為偶函數(shù)以及條件得出的單調(diào)性和，進(jìn)一步得出函數(shù)的符號(hào)情況，將化為，分和兩種情況解不等式,即可得出答案.【詳解】由是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，等式，即當(dāng)時(shí)，則，所以不成立，故以此時(shí)無解.當(dāng)時(shí)，則，由當(dāng)或時(shí)，，則或故答案為：四、雙空題16．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______，的最大值是______.【答案】【分析】畫出的圖像,再數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對稱性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關(guān)系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解,故的圖像與有四個(gè)不同的交點(diǎn),又由圖，,，故的取值范圍是.又由圖可知,，，故，故.故.又當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,故.又在時(shí)為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)取最大值.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及范圍的問題，關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，根據(jù)題意分析交點(diǎn)間的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，屬于難題.五、解答題17．化簡并求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)求解.【詳解】（1）.（2）.18．已知，.（1）求；（2）已知函數(shù)，從①，都有成立，②，使得成立，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并完成解答.問題：記，______，若為假，為真，求實(shí)數(shù)的范圍.（若選擇兩個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）或（2）答案見解析．【分析】（1）先化簡集合，再計(jì)算并集與補(bǔ)集即可；（2）若選①：有恒成立，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合假真即可得結(jié)果；若選②：有能成立，則計(jì)算最小值，結(jié)合假真即可得結(jié)果．【詳解】（1）由已知，得，，所以，所以或.（2）因?yàn)闉榧?，所以．若選①：因?yàn)?，恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)是，，所以，因?yàn)闉榧伲瑸檎?，所以的取值范圍?若選②：由，使成立，即能成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)闉榧伲瑸檎?，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．19．函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的表達(dá)式，再換元可得，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

（2）令則，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由二次方程實(shí)數(shù)根的分布的條件可得答案.【詳解】（1）時(shí)，，所以，令，，此時(shí)，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，所以的值域是.（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，即存在兩個(gè)不等實(shí)根，令，所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，則，解得.所以的取值范圍是.20．“鳳眼藍(lán)”是一種花朵為淺藍(lán)色的浮水草本植物，它是我國園林水景中的常用造景材料，并且適宜在污染嚴(yán)重的水中生長，是監(jiān)測環(huán)境污染的良好植物，某市2019年底為了凈化某水庫的水質(zhì)，引人“鳳眼藍(lán)”，這些“鳳眼藍(lán)”在水中蔓延速度越來越快，2020年1月底“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積為，到了4月底測得“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積為，“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型（且）與可供選擇.（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）經(jīng)測得2020年5月底“鳳眼藍(lán)”的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，并求“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積達(dá)到時(shí)的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1），；（2）更合適，10月.【分析】（1）根據(jù)2020年1月底“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積為，到了4月底測得“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積為，將代入求解.（2）將，代入（1）所求的解析式，根據(jù)2020年5月底“鳳眼藍(lán)”的覆蓋面積約為判斷哪個(gè)模型更合適，然后再根據(jù)覆蓋面積達(dá)到求解.【詳解】（1）若選：由題意，得解得所以.若選：由題意得解得所以.（2）若用，當(dāng)時(shí)，，若用，當(dāng)時(shí)，，所以用模型更合適，令，即，所以，所以.所以“鳳眼藍(lán)”覆蓋面積達(dá)到時(shí)的最小月份是10月.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義．21．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，，都有.（1）判斷并證明的單調(diào)性；（2）解不等式；（3）若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取且，根據(jù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性可得去掉不等式中的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得不等式組，解出即可；

（3）要使得對于任意的x∈[1，1]，a∈[1，1]都有恒成立，只需對任意的a∈[1，1]時(shí)，看作關(guān)于a的一次函數(shù)可得不等式組求解.【詳解】（1）在上單調(diào)遞減.證明：任取且，則即，所以在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，又結(jié)合（1）得：，故解集為.（3）由（1）得，所以在上恒成立，即.令，只需即解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求解抽象不等式問題，其中利用函數(shù)性質(zhì)去掉符號(hào)是解抽象不等式的關(guān)鍵．22．已知是上的偶函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在的最小值；（3）已知為的反函數(shù)，設(shè)，若對任意的，當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為恒等式求解即可；（2）換元后函數(shù)轉(zhuǎn)化為，討論二次函數(shù)對稱軸與的關(guān)系求最值；（3）根據(jù)反函數(shù)求出，原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，分離參數(shù)求最值求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)