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本文格式為Word版,下載可任意編輯——截長補(bǔ)短法培優(yōu)其次課時(shí)(教案)
“截長補(bǔ)短法〞在幾何證明中的運(yùn)用專題
萬全縣第三初級(jí)中學(xué)李彥軍
截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法,尋常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系;截長補(bǔ)短法有多種方法。
截長法:
(1)過某一點(diǎn)作長邊的垂線;
(2)在長邊上截取一條與某一短邊一致的線段,再證剩下的線段與另一短邊相等;…補(bǔ)短法:
(1)延長短邊;
(2)通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起;…
引例:已知:如圖,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求證:BE+DF=AE.
ADADFBCFCEMBE延長CB至M,使得BM=DF,連接AM.
∵AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
例1.以?ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊?ABD、?ACE,連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)O.求證:OA平分?DOE.
DAEDFOBCBOC?
AE
由于?ABD、?ACE是等邊三角形,所以AB?AD,AE?AC,?CAE??BAD?60,
則?BAE??DAC,所以?BAE≌?DAC,
則有?ABE??ADC,?AEB??ACD,BE?DC.
在DC上截取DF?BO,連結(jié)AF,簡單證得?ADF≌?ABO,?ACF≌?AEO.進(jìn)而由AF?AO.得?AFO??AOF;
由?AOE??AFO可得?AOF??AOE,即OA平分?DOE.
例2.如下圖,?ABC是邊長為1的正三角形,?BDC是頂角為120?的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60?的?MDN,點(diǎn)M、N分別在AB、AC上,求?AMN的周長.
ANMANMANMDBCBFDECBEDC如下圖,過D作DE交BC于E,使得BE?BM;過D作DF交BC于F,使得CF?CN.
由于?BDC?120?,?BDC為等腰三角形,
所以?DBC?30?,
又由于?ABC為正三角形,所以?ABC?60?.注意到?DBC??MBD,BM?BE,BD?BD,所以?DBE≌?DBM,可知AM?CE.
同理,?DCF≌?DCN,AN?BF.
則有DE?DM,DF?DN,?MDB??EDB,?NDC??FDC.又由于?MDN?60?,?BDC?120?,則?MDB??NDC?180?.
而?EDC?120???EDB?120???MDB,?BDF?120???FDC?120???NDC,故?EDC??BDF?240???MDB??NDC?60?,因此?FDE?60?,則?FDE≌?NDM,MN?EF,進(jìn)而可知?AMN的周長為1.
另解:如下圖,在AB上取一點(diǎn)E,使得BE?AN.在?DAN和?DBE中,DA?DB,AN?BE,?DAN??DBE,因此?DAN≌?DBE,從而DN?DE.
在?DMN和?DME中,DN?DE,MD?MD,?MDN?60?,?MDE?180????DEM??DME?
?180??????EBD??EDB????MAD??MDA????180?????30???EDB???30???MDA????120???EDB??MDA
?120???EDB??60???NDA?
?120???EDB??60???EDB??60?.
因此?DMN≌?DME,從而MN?ME,進(jìn)而可知?AMN的周長為1.
例3.如下圖,在?ABC中,AD是?BAC的外角平分線,P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),試比較PB?PC與AB?AC的大小,并說明理由.
EAPAPBCD
BCD
PB?PC?AB?AC,理由如下.
如下圖,在AB的延長線上截取AE?AC,連接PE.由于AD是?BAC的外角平分線,故?CAP??EAP.
在?ACP和?AEP中,AC?AE,?CAP??EAP,AP公用,因此?ACP≌?AEP,
從而PC?PE.
在?BPE中,PB?PE?BE,而BE?BA?AE?AB?AC,故PB?PC?AB?AC.
在?ABC中,AB?AC,AD是?BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證:AB?AC?PB?PC.
AAPEP
在AB上截取AE?AC,連結(jié)EP,根據(jù)SAS證得?AEP≌?ACP,∴PE?PC,AE?AC
又?BEP中,BE?PB?PE,BE?AB?AC,∴AB?AC?PB?PC
如圖,?ABC中,AB?AC,?A?108?,BD平分?ABC交AC于D點(diǎn).求證:BC?AC?CD.
ADBDCBDCADBCBEC方法一:在BC上截取E點(diǎn)使BE?BA,連結(jié)DE.
∵BD平分?ABC,∴?ABD??EBD.在?ABD與?EBD中
∵AB?EB,?ABD??EBD,BD?BD∴?ABD≌?EBD,∴?A??DEB
∵AB?AE,∴?BAD??BED,∴?DEC?72?.又∵?ADB?36??18??54?∴?CDE?72?∴?CDE??DEC∴CD?CE
∵BC?BE?EC,∴BC?AC?CD
方法二:如圖,延長CA到F,使CF?CB,連結(jié)BF.∵AB?AC,且?BAC?108?,∴?ABC??C?36?.∵CB?CF,∴?F??FBC.
∴?FAB??C??ABC.∴?FAB?72?.
1∵?ADB??C??ABC,
2∴?ADB?54?.又∵?FBD?54?∴BF?AB?AC?FD.
∴AF?CD.∴BC?AC?CD.
FAD
BC
如下圖,在?ABC中,AD平分?BAC,AD?AB,CM?AD于M,求證AB?AC?2AM.
AABDMCBNPDMC如下圖,延長AB、CM相交于P.
取PB的中點(diǎn)N,連接MN,則NM∥BD,
故?ANM??ABD??ADB??AMN,則AM?AN.簡單證明?APM≌?ACM,故AP?AC.
因此AB?AC?AB?AP?AB?AN?NP?AB?AN?BN?2AN?2AM.
已知等腰?ABC,?A?100?,?ABC的平分線交AC于D,則BD?AD?BC.
AF1B2EC3D
解法一:如圖,在BC上截取BE?BD,連接DE,
過D作DF∥BC,交AB于F,于是?3??2,?ADF??ECD.又∵?1??2,
∴?1??3,故DF?BF.顯然FBCD是等腰梯形.∴BF?DC,DF?DC.
111∵?2??ABC???180??100???20?,
2221?BED??BDE??180???2??80?,
2∴?DEC?180???BED?100?,∴?FAD??DEC?100?,∴?AFD≌?EDC,AD?EC.又∵BE?BD,∴BC?BD?EC?BD?AD.
解法二:如圖,延長BD到E,使DE?AD,在BC上截取BF?BA.∵?1??2,BD為公共邊,∴BAD≌?BFD,AD?FD,?ADB??FDB.
111∵?1??ABC???180??100???20?,
222AE∴?ADB?180????A??1??180???100??20???60?.D∴?FDB?60?,故?FDC?60?,?EDC?60?.
134DEC.∴?E??DFC,?3??4.∵DF?DE,∴?DFC≌?2BFC∵?DFC??2??FDB?20??60??80?,∴?E?80?.
∵?4?40?,∴?3?40?,故?ECB??3??4?80?.∴?ECB??E,故BC?BE.
∵BE?BD?DE,∴BC?BD?AD.
解法三:如圖,延長BD到E,使BE?BC.延長BA到F,使BF?BC.連接CE、EF、DF.∵?1??2,BD公共,∴?BDC≌?BDF.
∴?BDC??BDF,?BCD??BFD.
又∵?BDC??1??BAC?20??100??120?,?BCD?40?,
F∴?BFD?40?.
∵BE?BF,?1?20?.A
12BDCE
∴?BEF??BFE?80?,∴?DFE?80??40??40?.
而?FAD?180???BAD?180??100??80?.∴?FAD??DEF.
又FD公共,∴?FAD≌?FED.∴ED?AD.∴BC?BE?BD?AD
截長補(bǔ)短加強(qiáng)訓(xùn)練
1、如圖,?ABC中,AB=2AC,AD平分?BAC,且AD=BD,求證:CD⊥AC
DACB
2、如圖,已知在?ABC內(nèi),?BAC?60,?C?40,P,Q分別在BC,CA上,并且00AAP,BQ分別是
?BAC,?ABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP
C
3、已知?ABCD,連接AC,AC=AB,E為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),F為直線DC上一動(dòng)點(diǎn),且?EAF??B。(1)如圖(1),當(dāng)?B?600時(shí),求證:CE+CF=CA。DA
F
CEB
4、已知?ABC,有一個(gè)以P為頂點(diǎn)的角,且?APE??ACD,將此角的頂點(diǎn)放在邊BC上,角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A,另一邊與?ACB的外角的平分線交于點(diǎn)E。
(1)如圖1,當(dāng)?ABC三角形為等邊三角形時(shí),求證:CP+CE=CA。
ABQP12EBPCD
5、在?ABC中,?B?2?C,且AD?BC于D,求證:CD=AB+BDABDC6、如下圖,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC交BC于D.求證:AB=AC+CD.變式:如下圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AB=AC+CD.求證:AD平分∠BAC.7、已知,在中?ABC,?C=900,AC=BC,直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),過點(diǎn)B,C分別向直線l做垂線,垂足分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E。
(1)如圖1,求證:BD+CE=AE;
(2)當(dāng)直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)到如圖2,則BD、CE、AE之間滿足的數(shù)量關(guān)系是BllDB
DE
ACEAC
ACDB
8、如下圖,△ABC中,AD為∠BAC的角平分線,∠ABC=90°,∠C=30°,BE⊥AD于E點(diǎn),求證:AC-AB=2BE.AEBDC
9、在中Rt?ABC中,?ACB?900,AC=BC,點(diǎn)P為BC所在直線上一點(diǎn),分別過點(diǎn)B、C作直線AP的垂線,垂足分別為點(diǎn)D,X。
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),如圖1,求證:AD?BD?2CE
(2)當(dāng)點(diǎn)P在CB的反向延長線上時(shí),如圖2,線段AD、BD、CE三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系是
CCPEADAENDBBP
10、已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F.
(1)如圖l,若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AB于點(diǎn)G,
求證:FG+DC=AD;
(2)如圖2,若∠ABC=135°,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AB于點(diǎn)G,則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)
系是;
011、Rt??ABC中,?ACB?90,AC?BC,點(diǎn)
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