截長補短法培優(yōu)其次課時(教案)

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“截長補短法〞在幾何證明中的運用專題

萬全縣第三初級中學(xué)李彥軍

截長補短法是幾何證明題中十分重要的方法，尋常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系；截長補短法有多種方法。

截長法：

（1）過某一點作長邊的垂線；

（2）在長邊上截取一條與某一短邊一致的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等；…補短法：

（1）延長短邊；

（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起；…

引例：已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.

ADADFBCFCEMBE延長CB至M，使得BM=DF，連接AM.

∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF

∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD

∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM

∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.

例1.以?ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊?ABD、?ACE，連結(jié)CD、BE相交于點O．求證：OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOC?

AE

由于?ABD、?ACE是等邊三角形，所以AB?AD，AE?AC，?CAE??BAD?60，

則?BAE??DAC，所以?BAE≌?DAC，

則有?ABE??ADC，?AEB??ACD，BE?DC．

在DC上截取DF?BO，連結(jié)AF，簡單證得?ADF≌?ABO，?ACF≌?AEO．進而由AF?AO．得?AFO??AOF；

由?AOE??AFO可得?AOF??AOE，即OA平分?DOE．

例2.如下圖，?ABC是邊長為1的正三角形，?BDC是頂角為120?的等腰三角形，以D為頂點作一個60?的?MDN，點M、N分別在AB、AC上，求?AMN的周長．

ANMANMANMDBCBFDECBEDC如下圖，過D作DE交BC于E，使得BE?BM；過D作DF交BC于F，使得CF?CN.

由于?BDC?120?，?BDC為等腰三角形，

所以?DBC?30?，

又由于?ABC為正三角形，所以?ABC?60?.注意到?DBC??MBD，BM?BE，BD?BD，所以?DBE≌?DBM，可知AM?CE.

同理，?DCF≌?DCN，AN?BF.

則有DE?DM，DF?DN，?MDB??EDB，?NDC??FDC.又由于?MDN?60?，?BDC?120?，則?MDB??NDC?180?.

而?EDC?120???EDB?120???MDB，?BDF?120???FDC?120???NDC，故?EDC??BDF?240???MDB??NDC?60?，因此?FDE?60?，則?FDE≌?NDM，MN?EF，進而可知?AMN的周長為1.

另解：如下圖，在AB上取一點E，使得BE?AN.在?DAN和?DBE中，DA?DB，AN?BE，?DAN??DBE，因此?DAN≌?DBE，從而DN?DE.

在?DMN和?DME中，DN?DE，MD?MD，?MDN?60?，?MDE?180????DEM??DME?

?180??????EBD??EDB????MAD??MDA????180?????30???EDB???30???MDA????120???EDB??MDA

?120???EDB??60???NDA?

?120???EDB??60???EDB??60?.

因此?DMN≌?DME，從而MN?ME，進而可知?AMN的周長為1．

例3.如下圖，在?ABC中，AD是?BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB?PC與AB?AC的大小，并說明理由．

EAPAPBCD

BCD

PB?PC?AB?AC，理由如下．

如下圖，在AB的延長線上截取AE?AC，連接PE．由于AD是?BAC的外角平分線，故?CAP??EAP．

在?ACP和?AEP中，AC?AE，?CAP??EAP，AP公用，因此?ACP≌?AEP，

從而PC?PE．

在?BPE中，PB?PE?BE，而BE?BA?AE?AB?AC，故PB?PC?AB?AC．

在?ABC中，AB?AC，AD是?BAC的平分線．P是AD上任意一點．求證：AB?AC?PB?PC．

AAPEP

在AB上截取AE?AC，連結(jié)EP，根據(jù)SAS證得?AEP≌?ACP，∴PE?PC，AE?AC

又?BEP中，BE?PB?PE，BE?AB?AC，∴AB?AC?PB?PC

如圖，?ABC中，AB?AC，?A?108?，BD平分?ABC交AC于D點．求證：BC?AC?CD．

ADBDCBDCADBCBEC方法一：在BC上截取E點使BE?BA，連結(jié)DE．

∵BD平分?ABC，∴?ABD??EBD．在?ABD與?EBD中

∵AB?EB，?ABD??EBD，BD?BD∴?ABD≌?EBD，∴?A??DEB

∵AB?AE，∴?BAD??BED，∴?DEC?72?．又∵?ADB?36??18??54?∴?CDE?72?∴?CDE??DEC∴CD?CE

∵BC?BE?EC，∴BC?AC?CD

方法二：如圖，延長CA到F，使CF?CB，連結(jié)BF．∵AB?AC，且?BAC?108?，∴?ABC??C?36?．∵CB?CF，∴?F??FBC．

∴?FAB??C??ABC．∴?FAB?72?．

1∵?ADB??C??ABC，

2∴?ADB?54?．又∵?FBD?54?∴BF?AB?AC?FD．

∴AF?CD．∴BC?AC?CD．

FAD

BC

如下圖，在?ABC中，AD平分?BAC，AD?AB，CM?AD于M，求證AB?AC?2AM．

AABDMCBNPDMC如下圖，延長AB、CM相交于P．

取PB的中點N，連接MN，則NM∥BD，

故?ANM??ABD??ADB??AMN，則AM?AN．簡單證明?APM≌?ACM，故AP?AC．

因此AB?AC?AB?AP?AB?AN?NP?AB?AN?BN?2AN?2AM．

已知等腰?ABC，?A?100?，?ABC的平分線交AC于D，則BD?AD?BC．

AF1B2EC3D

解法一：如圖，在BC上截取BE?BD，連接DE，

過D作DF∥BC，交AB于F，于是?3??2，?ADF??ECD．又∵?1??2，

∴?1??3，故DF?BF．顯然FBCD是等腰梯形．∴BF?DC，DF?DC．

111∵?2??ABC???180??100???20?，

2221?BED??BDE??180???2??80?，

2∴?DEC?180???BED?100?，∴?FAD??DEC?100?，∴?AFD≌?EDC，AD?EC．又∵BE?BD，∴BC?BD?EC?BD?AD．

解法二：如圖，延長BD到E，使DE?AD，在BC上截取BF?BA．∵?1??2，BD為公共邊，∴BAD≌?BFD，AD?FD，?ADB??FDB．

111∵?1??ABC???180??100???20?，

222AE∴?ADB?180????A??1??180???100??20???60?．D∴?FDB?60?，故?FDC?60?，?EDC?60?．

134DEC．∴?E??DFC，?3??4．∵DF?DE，∴?DFC≌?2BFC∵?DFC??2??FDB?20??60??80?，∴?E?80?．

∵?4?40?，∴?3?40?，故?ECB??3??4?80?．∴?ECB??E，故BC?BE．

∵BE?BD?DE，∴BC?BD?AD．

解法三：如圖，延長BD到E，使BE?BC．延長BA到F，使BF?BC．連接CE、EF、DF．∵?1??2，BD公共，∴?BDC≌?BDF．

∴?BDC??BDF，?BCD??BFD．

又∵?BDC??1??BAC?20??100??120?，?BCD?40?，

F∴?BFD?40?．

∵BE?BF，?1?20?．A

12BDCE

∴?BEF??BFE?80?，∴?DFE?80??40??40?．

而?FAD?180???BAD?180??100??80?．∴?FAD??DEF．

又FD公共，∴?FAD≌?FED．∴ED?AD．∴BC?BE?BD?AD

截長補短加強訓(xùn)練

1、如圖，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求證：CD⊥AC

DACB

2、如圖，已知在?ABC內(nèi)，?BAC?60，?C?40，P，Q分別在BC，CA上，并且00AAP，BQ分別是

?BAC，?ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

C

3、已知?ABCD，連接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ為線段ＢＣ上的一動點，Ｆ為直線ＤＣ上一動點，且?EAF??B。（１）如圖（１），當(dāng)?B?600時，求證：ＣＥ＋ＣＦ＝CA。DA

F

CEB

4、已知?ABC，有一個以P為頂點的角，且?APE??ACD，將此角的頂點放在邊BC上，角的一邊始終經(jīng)過點A，另一邊與?ACB的外角的平分線交于點E。

（1）如圖1，當(dāng)?ABC三角形為等邊三角形時，求證：CP+CE=CA。

ABQP12EBPCD

5、在?ABC中，?B?2?C，且AD?BC于D，求證：CD=AB+BDABDC6、如下圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC交BC于D.求證：AB=AC+CD.變式：如下圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求證：AD平分∠BAC.7、已知，在中?ABC，?C=900，AC=BC，直線ｌ繞點Ａ旋轉(zhuǎn)，過點Ｂ，Ｃ分別向直線ｌ做垂線，垂足分別是點Ｄ、點Ｅ。

（１）如圖１，求證：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；

（２）當(dāng)直線ｌ繞點Ａ順時針轉(zhuǎn)到如圖２，則ＢＤ、ＣＥ、ＡＥ之間滿足的數(shù)量關(guān)系是BllDB

DE

ACEAC

ACDB

8、如下圖，△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，∠ABC=90°，∠C=30°，BE⊥AD于E點，求證：AC-AB=2BE.AEBDC

9、在中Rt?ABC中，?ACB?900，AC=BC，點P為BC所在直線上一點，分別過點B、C作直線AP的垂線，垂足分別為點D，X。

（1）當(dāng)點P在線段BC上時，如圖1，求證：AD?BD?2CE

（2）當(dāng)點P在CB的反向延長線上時，如圖2，線段AD、BD、CE三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系是

CCPEADAENDBBP

10、已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F．

（1）如圖l，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，

求證：FG＋DC＝AD；

（2）如圖2，若∠ABC＝135°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)

系是；

011、Rt??ABC中，?ACB?90,AC?BC,點