數(shù)列知識點(diǎn)歸納及例題分析

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一、數(shù)列的概念：

1.歸納通項公式：重視經(jīng)驗(yàn)的積累例1.歸納以下數(shù)列的通項公式：(1)0，-3,8，-15,24，(2)21,211,2111,21111,

379(3),1,,,

21017?a1,(n?1)2.an與Sn的關(guān)系：an??

S?S,(n?2)n?1?n注意：?強(qiáng)調(diào)n?1,n?2分開，注意下標(biāo)；?an與Sn之間的互化（求通項）

?3,n?1例2：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn??2，求an.

?n?1,n?23.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：

（1）單調(diào)性的判定與證明：?定義法；?函數(shù)單調(diào)性法（2）最大（?。╉梿栴}：?單調(diào)性法；?圖像法（3）數(shù)列的周期性：（注意與函數(shù)周期性的聯(lián)系）

1?2a,0?a?nn?2，a?3，求a.例3：已知數(shù)列{an}滿足an?1??1202315?2an?1,?an?12?二、等差數(shù)列與等比數(shù)列

1.等比數(shù)列與等差數(shù)列基本性質(zhì)對比（類比的思想，比較一致之處和不同之處）

等差數(shù)列等比數(shù)列an?1?q（q是常數(shù)，且q?0，ann?1,2,3，?）定義an?1?an?d（d是常數(shù)n?1,2,3，?）通項公式an?a1??n?1?d推廣：an?am??n?m?dan?a1qn?1推廣：an?amqn?mn?n?1?n?a1?an?求和Sn?na1?d?22公式a?an?k中項A?n?k（n,k?N*,n?k?0）公式2?na1(q?1)?Sn??a?1?qn?a?aq1n1?(q?1)?1?q?1?qG??an?kan?k（n,k?N*,n?k?0）重要1、等和性：am?an?ar?as性質(zhì)（m,n,r,s?N*,m?n?r?s）1、等積性：am?an?ar?as（m,n,r,s?N*,m?n?r?s）2、（其次通項公式）an?am?(n?m)d2、（其次通項公式）an?am?qn?man?amann?m及q?n?mam3、從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列。3、從等比數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等比數(shù)列。如：a1,a4,a7,a10,???（下標(biāo)成等差數(shù)列）如：a1,a4,a7,a10,???（下標(biāo)成等差數(shù)列）4、sn,s2n?sn,s3n?s2n成等差數(shù)列4、sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比數(shù)列。Sn5、{}是等差數(shù)列n（僅當(dāng)公比q??1且n為偶數(shù)時，不成及d?立）a1.定義：n?q(n≥2)?{an}是等比數(shù)an?1等差數(shù)列2.等差中項：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是列2.等比中項：等差數(shù)列2223.通項公式：an?kn?p（k,p為常數(shù)）an?1?an?an?2(an?0)?{an}是等比數(shù)等價列?{an}是等差數(shù)列條件n23.通項公式：（c,q?0且為常a?c?qn4.前n項和：Sn?An?Bn（A,B為常數(shù)）?{an}是等比數(shù)列數(shù)）?{a}是等差數(shù)列1.定義：an－an－1＝d(n≥2)?{an}是n聯(lián)系例題：4.前n項和：Sn?k?qn?k（k,q?0且為常數(shù)）?{an}是十分?jǐn)?shù)列的等比數(shù)列真數(shù)等比，對數(shù)等差；指數(shù)等差，冪值等比。31

例4（等差數(shù)列的判定或證明）：已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n5an－1

1**

∈N)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N)．

an－1

(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．

11

(1)證明∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.

an－1an－111

∴n≥2時，bn－bn－1＝－an－1an－1－1

11

＝－1?an－1－1?

?2－?－1

an－1??an－11＝－＝1.an－1－1an－1－1

5

∴數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列．

2

712

(2)解由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋＝1＋，

2bn2n－72

設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋，

2x－7

7??7??

易知f(x)在區(qū)間?－∞，?和?，＋∞?內(nèi)為減函數(shù)．

2??2??

∴當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1；當(dāng)n＝4時，an取得最大值3.

例5（等差數(shù)列的基本量的計算）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1(2)求d的取值范圍．

－15

解(1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.

S5

?5a1＋10d＝5，所以?

a＋5d＝－8.?1

解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

2

即2a21＋9da1＋10d＋1＝0.

由于關(guān)于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.

方法二∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.

222

故(4a1＋9d)＝d－8.所以d≥8.

故d的取值范圍為d≤－22或d≥22.

例6（前n項和及綜合應(yīng)用）(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項和．

解方法一∵a1＝20，S10＝S15，

10×915×145

∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.

223

565?5?

∴an＝20＋(n－1)×?－?＝－n＋.

33?3?

∴a13＝0，即當(dāng)n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，

∴當(dāng)n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13＝S12＝12×20＋＝130.

5方法二同方法一求得d＝－.3

25?3125n?n－1??5?51255?

∴Sn＝20n＋·?－?＝－n2＋n＝－?n－?2＋.

2?2666?24?3?

∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.

所以數(shù)列{an}是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列．?an＝4n－25<0，①令?

?an＋1＝4?n＋1?－25≥0，②

12×11?5?

×?－?2?3?

11

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即數(shù)列{|an|}的前6項是以21為首項，

44

公差為－4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.設(shè){|an|}的前n項和為Tn，則

n?n－1?

?21n＋×?－4??n≤6??2T＝?

?n－6??n－7?

66＋3?n－6?＋×4?n≥7??2?

n2

?－2n＋23n?n≤6?，＝?2

?2n－23n＋132?n≥7?.

例7已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為3

Sn7n+45=例8等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為{Sn},{Tn}，且Tnn-3,則使得

anbn為正整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是3.（先求an/bnn=5,13,35）

22Sn例9已知數(shù)列?an?中，a1?1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足an?，則

2Sn?13?1?n?1??3數(shù)列?an?的通項公式為an??2n≥2??2?1?4n?

2?lnn例10在數(shù)列{an}中，a1?2，an?1?an?ln(1?1)，則an?.n例11設(shè)3b是1?a和1?a的等比中項，則a+3b的最大值為2.例12若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,?,前100項之和為0,則θ的值為

2k??2?,k?Z（）3例13△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三角形的外形為__等邊三角形_

三、數(shù)列求和：（1）倒序相加法

112m(x?R)，求Sm?f()?f()???f()_________如：已知函數(shù)f(x)?x4?2mmm（2）錯位相減法：?anbn?其中{an}是等差數(shù)列，?bn?是等比數(shù)列。

（3）裂項相消法：形如an?

（4）拆項分組法：形如an?bn?cn，

?6n?5(n為奇數(shù))如：an?2n?3，an??n，an?(?1)n?1?n2

(n為偶數(shù))?2n1111?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C練習(xí)：

111，，···，的前n項和為（B）1?21?2?31?2???nn?22nn2nA．B．C．D．

n?12n?1n?12n?11、數(shù)列1，

11112、數(shù)列1,3,5,7,?,前n項和Sn?．

248163、數(shù)列?an?的通項公式為an?1n?1?n，則S100＝_________________。

4、設(shè)Sn?31111，且Sn?Sn?1?，則n?．6?????42612n?n?1?