導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)（教）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)（教）1．(2023·南通期末)曲線C：y＝xlnx在點(diǎn)M(e，e)處的切線方程為__________________．

解析：由于y′＝lnx＋1，故點(diǎn)M(e，e)處的切線的斜率為2，所求切線方程為y＝2x－e.答案：★y＝2x－e

2．(2023·蘇州質(zhì)檢)過坐標(biāo)原點(diǎn)作函數(shù)y＝lnx圖像的切線，則切線斜率為________．

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解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由于y′＝，所以切線方程為y－y0＝(x－x0)．由于切線過

xx0

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原點(diǎn)，故y0＝1.又y0＝lnx0，得x0＝e，所以所求斜率為.答案：★ee

3．(2023·鎮(zhèn)江統(tǒng)考)已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝2x－1，則函數(shù)g(x)＝x2＋f(x)在點(diǎn)(2，g(2))處的切線方程為________．

解析：由于y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.g(2)＝22＋f(2)＝7，即點(diǎn)(2，g(2))為(2,7)，由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在點(diǎn)(2，g(2))處的切線方程為y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案：★6x－y－5＝0

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在其次象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

解析：由題知，k＝f′(x)＝3x2－10＝2(x0時(shí)為增函數(shù)；f′(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)0，

由f′(x)>0得x>3.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3，＋∞)；由f′(x)0，所以f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．由于f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在區(qū)間(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，＋∞)．[類題通法]

已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的兩個方法

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．

(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0〞來求解．

提醒：f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號不能省略，否則漏解．

[課堂練通考點(diǎn)]

1．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．

解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，

由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)

m

2．(2023·揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)＝lnx－(m∈R)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝

x________.

解析：由于f(x)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，所以至少滿足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤x＋m

－3e.又f′(x)＝2，且x∈[1，e]，所以f′(x)0，故單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)．

x答案：(0，＋∞)

2．函數(shù)