第07講 向量法求距離、折疊及新定義問(wèn)題（解析版）

第07講向量法求距離、折疊及新定義問(wèn)題1．點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線(xiàn)l的單位方向向量，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線(xiàn)l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點(diǎn)P到平面α的距離若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示．線(xiàn)面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．空間距離例1．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）求直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離；（3）求點(diǎn)到平面的距離；（4）求直線(xiàn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求解；（3）求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；（4）把直線(xiàn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（1）因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.（2）因?yàn)樗裕此渣c(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離.所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.（4）因?yàn)樗云矫?，所以直線(xiàn)到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線(xiàn)到平面的距離為.例2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線(xiàn)與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）證明出平面平面，可得出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的距離．【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線(xiàn)與平面的距離為.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面與平面的距離為.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的步驟①根據(jù)圖形求出直線(xiàn)的單位方向向量v.②在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn))．計(jì)算點(diǎn)M與直線(xiàn)外的點(diǎn)N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂線(xiàn)段長(zhǎng)度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－\o(MN,\s\up6(→))·v2).(2)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法①直接法：過(guò)P點(diǎn)作平面α的垂線(xiàn)，垂足為Q，把PQ放在某個(gè)三角形中，解三角形求出PQ的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到平面α的距離．②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線(xiàn)l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)l上某一個(gè)點(diǎn)到平面α的距離來(lái)求．③等體積法．④向量法：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n，A是α內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).立體幾何中的折疊問(wèn)題例3．如圖①，在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，連接，，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列兩個(gè)問(wèn)題．(1)證明：；(2)請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角的余弦值．①四棱錐的體積為2；②直線(xiàn)與所成角的余弦值為．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）通過(guò)證明線(xiàn)面垂直來(lái)證得.（2）選①，結(jié)合四棱錐的體積，證得平面；選②，結(jié)合直線(xiàn)與所成角的余弦值，證得平面；由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖①中因?yàn)椋?，為中點(diǎn)所以，，所以為平行四邊形，所以，同理可證，在圖②中，取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所?（2）若選擇①：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面且交線(xiàn)為，所以過(guò)點(diǎn)作，則平面，因?yàn)椋运睦忮F的體積，所以，所以與重合，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因?yàn)?，，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.若選擇②：因?yàn)?，所以即為異面直線(xiàn)與所成角，在中，，所以所，以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面且交線(xiàn)為，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因?yàn)?，，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.例4．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線(xiàn)，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F．(1)證明：平面ABC．(2)若，二面角D-AC-E為，求直線(xiàn)AB與平面ACD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，證明四邊形DEGF是平行四邊形,然后利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面ABC,從而得到平面ABC.（2）（方法一）過(guò)點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè),求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知條件可得長(zhǎng)，然后利用線(xiàn)面角的向量公式求解即可；（方法二）連接DG，可證得，可得長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為I，利用線(xiàn)面垂直及面面垂直的性質(zhì)可得平面ACD，連接AI，則∠FAI即為所求角，在三角形中計(jì)算可得答案.【詳解】（1）如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，由已知得，且．因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因?yàn)榉鄣?，易知．所以翻折后，．又因?yàn)?，EA，平面AEC，所以平面AEC．因?yàn)椋云矫鍭EC．因?yàn)槠矫鍭EC，所以．因?yàn)锳CE是等邊三角形，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，所以又因?yàn)椋珹C，平面ABC．所以平面ABC．因?yàn)椋云矫鍭BC．（2）（方法一）如圖，過(guò)點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，EH、EC，ED所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)，則，，，，則，，，因?yàn)槠矫鍭EC．所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因?yàn)槎娼荄-AC-E為，所以，解得，所以，．記直線(xiàn)AB與平面ACD所成角為，則，所以直線(xiàn)AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因?yàn)槠矫鍭EC，平面AEC，所以．又因?yàn)?，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因?yàn)镋G，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．由△ACE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過(guò)點(diǎn)F作，垂足為I，因?yàn)槠矫鍰EGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面DEGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線(xiàn)AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線(xiàn)AB與平面ACD所成角的正弦值為．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線(xiàn)面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況．一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．立體幾何中的新定義問(wèn)題例4．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿(mǎn)足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，寫(xiě)出多邊形表面的所有內(nèi)角即可.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以，按照公式計(jì)算總曲率即可.【詳解】（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，則其總曲率為：.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以所以總曲率為：所以這類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的新定義問(wèn)題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例5．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)(∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1)，其中Qi(i＝1,2，…，k，k≥3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)處的離散曲率為_(kāi)_______；如圖所示，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD，AB＝BC＝1，AA1＝eq\f(\r(2),2)，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值為_(kāi)_______．【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,3)【詳解】由題意可知，正四面體的所有面都是正三角形，所以取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)(∠APD＋∠APB＋∠BPC＋∠CPD)，又由AB＝BC＝1，AA1＝eq\f(\r(2),2)，所以AC＝BD＝eq\r(2)，且A1B1C1D1為正方形，當(dāng)∠APD＝∠APB＝∠BPC＝∠CPD時(shí)，即點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1的中心時(shí)，離散曲率取得最小值，此時(shí)∠APD＝∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝eq\f(π,3)，即1－eq\f(1,2π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：隨著新高考改革，考試逐漸回歸其本質(zhì)，別致新穎的立體幾何新題型不斷涌現(xiàn)，其中新定義問(wèn)題常常使考生束手無(wú)策，因此，讀懂題意才能快速有效地切入新問(wèn)題情景．1．已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，，由，所以，所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離.故選：A.2．已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B3．直線(xiàn)的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)的方向向量為，取直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算代入空間中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，所以取直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.4．四面體滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離作答.【詳解】四面體滿(mǎn)足，即兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線(xiàn)的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，則，于是，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.故選：A5．在邊長(zhǎng)為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．故選：A6．在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，直接建系，利用法向量，可求解.【詳解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面PAD的法向量為，則令，得.因?yàn)榈闹匦腉的坐標(biāo)為，即，所以，故點(diǎn)G到平面PAD的距離為.故答案為：C7．如圖，已知為圓柱的母線(xiàn)，為圓柱的下底面直徑，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量即可求解【詳解】因?yàn)闉閳A柱的下底面直徑，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D8．如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（

）①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離為定值；④對(duì)于任意點(diǎn)，都不是銳角三角形.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，運(yùn)用空間向量法逐個(gè)判斷解決即可.【詳解】由題知，在正方體中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，所以，設(shè)，其中，所以，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，解得，故②正確；因?yàn)?，其中，所以到的距離為，不是定值，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椋渲?，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，不可能為銳角三角形，故④正確；故選：C9．（多選）點(diǎn)在軸上，它與經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為的直線(xiàn)的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】設(shè)，表示出，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到，解得即可.【詳解】設(shè)，則，又直線(xiàn)的方向向量為，所以點(diǎn)直線(xiàn)的距離，所以，則或.故選：AB10．（多選）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．C．是平面的一個(gè)法向量 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行即可判斷A,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積即可判斷線(xiàn)線(xiàn)垂直，即可判斷B，根據(jù)空間向量求解法向量即可判斷C，根據(jù)空間距離的向量法即能求出點(diǎn)到平面的距離，從而判斷D.【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，由于分別是的中點(diǎn)，所以,平面,平面,故平面，故A正確，對(duì)于B，，故，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,由，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確，對(duì)于D，點(diǎn)到平面的距離為,故D正確，故選：ACD11．（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，O為面的中心，E、F分別為BC和的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面與平面相交C．點(diǎn)О到直線(xiàn)的距離為 D．點(diǎn)O到平面的距離為【答案】BC【分析】建系，利用空間向量處理線(xiàn)、面關(guān)系以及距離問(wèn)題.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有：，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，對(duì)A：∵，則，即與不共線(xiàn)，∴不與平面垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，則與不共線(xiàn)，∴平面與平面相交，B正確；對(duì)C：∵，則，即為銳角，∴，故點(diǎn)О到直線(xiàn)的距離為，C正確；對(duì)D：點(diǎn)O到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．（多選）在正方體中，E為棱DC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．則以下結(jié)論正確的有（

）A．；B．直線(xiàn)與平面的夾角不變；C．點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離不變；D．點(diǎn)F到A，D，D＇，A＇四點(diǎn)的距離相等．【答案】ABD【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出結(jié)果．【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則，，，，，，，，對(duì)于A，，，，∴，故A正確；對(duì)于B，，平面的法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面的夾角為θ，則，，不是定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離，∴點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離不變，故C正確；對(duì)于D，，，，，∴點(diǎn)F到A，D，D＇，A＇四點(diǎn)的距離相等，故D正確．故選：ABD．13．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為 B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為【答案】BD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)得到，即可判斷選項(xiàng)A；利用向量法證明，即可判斷選項(xiàng)B；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離即可判斷選項(xiàng)C；利用向量法求出直線(xiàn)B1C與平面所成角的余弦值即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：.A：，因?yàn)?，所以，因此該選項(xiàng)不正確；B：，因?yàn)?，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以該選項(xiàng)正確；C：因?yàn)槠矫鍭CD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為，因此該選項(xiàng)不正確；D：設(shè)直線(xiàn)B1C與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)B1C與平面所成角的余弦值，因此該選項(xiàng)正確.故選：BD.14．（多選）如圖，修水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用，必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋话l(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們需要研究?jī)蓚€(gè)平面之間所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，直線(xiàn)，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，記二面角的大小為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．D．點(diǎn)到平面的距離的最大值為【答案】AB【分析】運(yùn)用線(xiàn)面垂直判斷定理及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)及向量加法及數(shù)量積運(yùn)算可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，運(yùn)用余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算及三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可判斷D項(xiàng).【詳解】如圖所示，過(guò)A作且，連接CE、ED，則四邊形ABDE為平行四邊形，又∵，∴，又∵，∴，又∵，面，∴面，又∵，∴面，∴，，由題意知，，，所以，，∵，∴，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入得：，又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入得：，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，在△CAE中，，在△CAD中，，∵，，∴①當(dāng)時(shí)，，則，②當(dāng)時(shí)，，則，③當(dāng)時(shí)，，則，故C項(xiàng)不成立；對(duì)于D項(xiàng)，以A為原點(diǎn)，分別以AE、AB、AZ為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，設(shè)面BCD的一個(gè)法向量為，則，取，所以點(diǎn)A到面BCD的距離為，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，d取得最大值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.15．已知向量和直線(xiàn)l垂直，且在由直線(xiàn)l與點(diǎn)確定的平面內(nèi)，點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為_(kāi)_______.【答案】【分析】求得，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】由題意，得，又向量和直線(xiàn)l垂直，故點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離.故答案為：.16．如圖，已知正方體中，分別為中點(diǎn)，，則到平面的距離是__________．【答案】【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以到平面的距離是.故答案為：.17．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝2，直線(xiàn)AD與A1C1所成的角為，點(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到平面ACE的距離為_(kāi)____．【答案】【分析】建空間直角坐標(biāo)系，用空間向量在平面AEC上投影計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意可得，∴直線(xiàn)AD與A1C1所成的角即直線(xiàn)AD與AC所成的角，∴可得，∴為等腰直角三角形，∴CD＝AD＝1，以D為原點(diǎn)，直線(xiàn)DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)平面ACE的法向量，則，∴，令，則，，又，設(shè)與平面AEC的夾角為，則，∴點(diǎn)D1到平面ACE的距離為，故答案為：．18．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(2)求直線(xiàn)到平面的距離.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在等腰中由面積法求得到的距離；（2）可先證明平面，然后在三棱錐中由體積法求得到平面的距離即得結(jié)論．【詳解】（1）連接，平面，平面，則，正方體棱長(zhǎng)為2，是中點(diǎn)，所以，在中，邊上的高為，設(shè)到直線(xiàn)的距離為，則，所以；（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，正方體中易得，所以，即共面，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以與平行且相等，又與平行且相等，所以與平行且相等，從而是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，所以直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，連接，同理可得，又，，在中，，所以，，又，到平面的距離為2，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，．所以直線(xiàn)到平面的距離是．19．在平行六面體中，平面，，．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，，，，，所以，，．所以，，所以，，又，平面，平面，所以平面．（2）由（）可知是平面的一個(gè)法向量，又，所以，所以點(diǎn)到平面的距離．20．如圖，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且二面角的余弦值為．(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建系，設(shè)的長(zhǎng)，表示點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量表示二面角的余弦值列方程求解即可；（2）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距即可.【詳解】（1）如下圖所示，以為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸建系.，，設(shè)，則.所以，.容易看出，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.由題，二面角的余弦值為，解得,故的長(zhǎng)為.（2）由（1）得，，.則點(diǎn)到平面的距離為.21．如圖1，在中，，，，是的中點(diǎn)，在上，.沿著將折起，得到幾何體，如圖2(1)證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)圖1可知折疊后，，由此可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由題可知是二面角的平面角，易證是等邊三角形，連接，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系和面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再以為原點(diǎn)，，，為，，軸建系，利用空間向量法即可求出線(xiàn)與平面所成角.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵趫D1中，沿著將折起，所以在圖2中有，，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，連接，在圖1中，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以是等邊三角形.取的中點(diǎn)，連接，，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為，，軸建系，如圖所示.，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即取，得平面的一個(gè)法向量為，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.22．已知四邊形，，，將沿翻折至.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由平面幾何的性質(zhì)可得；（Ⅱ）作出二面角的平面角，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線(xiàn)面角的正弦.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)E，連接，不妨設(shè)，則，即因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以重合，則.（Ⅱ）取的中點(diǎn)O，連接，，，不妨設(shè)，則，即因?yàn)?，則，又因?yàn)镺為中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則，所以，所以為二面角的平面角.因此以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建空間直角坐標(biāo)系如圖：，，，設(shè)面的法向量為，，，則，所以，令，則，所以面的一個(gè)法向量為，設(shè)與面所成的角為，則.23．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面，，，．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離；（2）利用向量法求得二面角的大小.【詳解】（1）取中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則令得：又，所以點(diǎn)到平面的距離；（2），，設(shè)平面的法向量，則令，得，．又二面角的平面角為銳角，二面角的大小為．24．如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）連接，，連接，即可得到，從而得證；（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：連接，，連接，在直三棱柱中為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，平面，平面．平面．（2）解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)到平面的距離為，則；25．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)（如圖1），將沿折起到的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）（1）證明：平面平面；（2）若，連接，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）.【分析】（1）連接圖1中的，證明，然后證明平面即可；（2）證明平面，然后以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求解即可.【詳解】（1）連接圖1中的，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危宜詾榈冗吶切?，所以所以在圖2中有，因?yàn)樗云矫?，因?yàn)?，所以平面平面?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系所以所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值26．如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，．(1)求二面角余弦值的大小：(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可；（2）求出平面的法向量，再求出平面的斜線(xiàn)所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，底面是矩形，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，則，在中,,,所以，所以,，因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，所以，故二面角余弦值的大小為.（2）由（1）題得,,設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，又，所以到平面的距離為：.27．如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；(2)求異面直線(xiàn)與之間的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；（2）根據(jù)空間向量求直線(xiàn)與公垂線(xiàn)的方向向量，再結(jié)合空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可得異面直線(xiàn)與之間的距離．【詳解】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故，則異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線(xiàn)與公垂線(xiàn)的方向向量，所以，令，則所以異面直線(xiàn)與之間的距離為.28．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為AC，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面，，，求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)要證明平面，通過(guò)證明平面平面即可證得；(2)根據(jù)已知條件可以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，以及一個(gè)方向向量，代入公式計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)H，連接MH，HN.因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)镠，N分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槊鍹HN，所以平面平面.因?yàn)槠矫鍹HN，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)槿庵侵比庵?，所以?以BA，，BC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為.由，得，取.所以點(diǎn)A到平面的距離.29．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面平面PBC；(2)若直線(xiàn)AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面AEF的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數(shù)量積等于零證明；(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.【詳解】（1）方法一：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)锳BCD為正方形，所以，又因?yàn)椋矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)?，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC．方法二：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)?，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC解法三：因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，設(shè)，則，所以，，，，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則因?yàn)?，所?所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，易知是平面PAB的法向量設(shè)，則，所以，，所以即，得，所以，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，又因?yàn)樗渣c(diǎn)P到平面AEF的距離為，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線(xiàn)AF與平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中點(diǎn)．所以，，的面積為因?yàn)?，的面積為設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因?yàn)樗渣c(diǎn)P到平面AEF的距離為，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．30．如圖，在多面體中，.側(cè)面為矩形，平面，平面，(1)求證：(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值(3)求直線(xiàn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）先由線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定定理證明平面，進(jìn)而證明；（2）建系，利用空間向量計(jì)算線(xiàn)面角的正弦值即可；（3）將線(xiàn)面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，利用空間向量計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：為矩形,,平面，平面，，又平面，平面，，平面，又平面；（2）如圖所示，以為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸建系.則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，得，取，則，即，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）因?yàn)闉榫匦?，所以，又平面，平面，所以平面，直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.31．如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，求：(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離；(3)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求解即可；（2）設(shè)平面的法向量為，利用求解即可；（3）設(shè)與平面所成角為，利用求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹比庵?，所以平面，又因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，所以，，所以，即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?，所以，解得，又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.32．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，所以，由可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)到平面的距離為；（2）由（1）可得平面的法向量為，顯然平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.33．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線(xiàn)和所成的角為．(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)由正方體的性質(zhì)可知，，即可證得線(xiàn)面平行.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與一個(gè)方向向量，代入公式即可.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，∴直線(xiàn)和所成的角，∴直角三角形為等腰直角三角形，，故點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．連接故．又平面平面，平面（2）（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即所以令，得：，所以是平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，∴所以點(diǎn)到平面的距離為．34．如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點(diǎn)P，M分別為，上靠近的三等分點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離；(2)求直線(xiàn)PD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可；（2）結(jié)合（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）由題可得AD=2，，又點(diǎn)P為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，所以AP=1．在中，由余弦定理可得，，故，所以為直角三角形，故DP⊥AB．因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性質(zhì)可知，，即DP，CD，兩兩垂直．故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DP，DC，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz．則．因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)M作，（點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為通過(guò)該點(diǎn)向直線(xiàn)做垂線(xiàn)，點(diǎn)到垂足的距離）令，所以，故．由，解得，所以，故點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離為．（2）因?yàn)?，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，故．設(shè)直線(xiàn)PD與平面所成角為，則．所以直線(xiàn)PD與平面所成角的正弦值為．35．在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，，，點(diǎn)在棱上，直線(xiàn)與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線(xiàn)與平面的夾角列式計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，求解平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式列式求解距離即可.【詳解】（1）∵，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線(xiàn)與平面所成角為，∴，∴①∵點(diǎn)在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.36．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).(1)求二面角的余弦值；(2)判斷直線(xiàn)SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線(xiàn)SA與平面BDF的距離；如果不平行，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)平行，距離為【分析】(1)先證，，然后得出平面SAC.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再利用平面的法向量，即可求解.(2)利用向量在平面BDF的法向量上的投影，即可求解.【詳解】（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為AC，BD的中點(diǎn)，且，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，，O為BD的中點(diǎn)，所以，平面SAC,平面SAC,又，所以平面SAC.作平面BCD于H，則H為正三角形BCD的中點(diǎn)，H在線(xiàn)段OC上，且，，，.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，C.，D.，，，，所以，，，設(shè)是平面EBF的法向量，則，則，設(shè)是平面DBF的法向量，則，取，所以，又因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，所以二面角的余弦值為.（2）直線(xiàn)SA與平面BDF平行.法1:連接OF，由（1）知O為AC的中點(diǎn)，又F為SC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍮DF，平面BDF，所以直線(xiàn)平面BDF.法2:由（1）知是平面BDF的一個(gè)法向量，又，，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫鍮DF，所以直線(xiàn)平面BDF.設(shè)點(diǎn)A與平面BDF的距離為h，則h即為直線(xiàn)SA與平面BDF的距離，因?yàn)?，是平面DBF的一個(gè)法向量，所以，所以點(diǎn)A與平面BDF的距離為，所以直線(xiàn)SA與平面BDF的距離為.37．在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）計(jì)算確定，證明平面，得到，再證明平面，得到答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，即，即，解得，所以.38．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點(diǎn)為棱上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且與平面所成角正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線(xiàn)面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線(xiàn)面角的正弦值確定點(diǎn)位置，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.39．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為菱形，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)E是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且平面與平面的夾角的余弦值為，求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先證明平面,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值求得參數(shù)，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴為的中點(diǎn)，則．為等邊三角形，有，平面，，∴平面,平面，∴，又，平面，，∴平面,∵平面，∴．（2）由（1）知，，且平面，故平面，而平面，故平面平面，分別取的中點(diǎn)，連接，則，∴平面，為等邊三角形，，而平面平面，平面，故平面，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，，即，又∵平面的法向量為，∴平面與平面的夾角的余弦值為,∴，∴或（舍），此時(shí)，又，∴點(diǎn)到平面的距離為：．40．如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.(1)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求得點(diǎn)到平面的距離為，再計(jì)算體積即可；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面角的向量方法求解即可.【詳解】（1）解：由題意可得兩兩互相垂直，所以可以以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：∴，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，，不妨令y＝1，∴.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，又因?yàn)?，，∴的面積為.∴四面體的體積為.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，.∵，即，∴，∴，∴.設(shè)，，∴.設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴，即，令得∴，∴，∵與面所成角的余弦值是，正弦值為.∴，整理得，∴，（舍去）.∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，且.41．已知平面四邊形ABCE（圖1）中，，均為等腰直角三角形，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，，，沿AC將翻折至位置（圖2），拼成三棱錐D-ABC.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)二面角的二面角為60°時(shí)，①求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；②求C點(diǎn)到面ABD的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①；②【分析】（1）證明，由線(xiàn)面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）①證明為二面角的平面角，取的中點(diǎn)，由面面垂直判定定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)椋?又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，?）①因?yàn)?，所以就是二面角的平面角，由已知，因?yàn)闉橐詾樾边叺牡妊苯侨切?，為的中點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以面如圖，以直線(xiàn)為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)面的一個(gè)法向量則有，所以，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，，所以，所以直線(xiàn)與面所成角的正弦值為·②，點(diǎn)到面的距離42．如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點(diǎn)共面，，．(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)過(guò)點(diǎn)與垂直的平面交直線(xiàn)于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；（3）依題意可得，設(shè)，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，，，四點(diǎn)共面，且平面平面，平面平面，所以.（2）因?yàn)槠矫?，是正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與垂直的平面交直線(xiàn)于點(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，所以，解得，所?43．如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積證明，，由線(xiàn)線(xiàn)垂直證明線(xiàn)面垂直，即得證；（2）由（1）為平面的一個(gè)法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；（3）由（1）為平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)面距離的向量公式即得解【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，??所在直線(xiàn)分別為??軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，，，，取的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)因?yàn)樗裕?，所以，所以，四邊形為平行四邊形，又，所以，由所以，故，∵，，，∴，，即，，∵，平面，平面，∴平面；?）由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，則，令，可得，設(shè)平面與平面CSD的夾角為，∴，即平面ASD與平面CSD的夾角的余弦值為；（3），平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，即點(diǎn)到平面的距離為.44．圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2).【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€(xiàn)，所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線(xiàn)也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼牵谥?，又因?yàn)楣剩?而在中,，即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力．45．如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四邊形A1ACC1是邊長(zhǎng)為4的正方形，，點(diǎn)D為BB1中點(diǎn)．再?gòu)臈l件①?條件②?條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知，并作答．(1)求證：AB⊥平面A1ACC1；(2)求直線(xiàn)BB1與平面A1CD所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)B到平面A1CD的距離．條件①：；

條件②：；

條件③：平面ABC⊥平面A1ACC1．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）考慮選擇條件①②和選擇條件②③，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)垂直或面面垂直得到證明.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算給點(diǎn)坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量為，再根據(jù)向量夾角公式得到答案.（3）直接利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）若選擇條件①②：，故，故.又，，平面，故平面.若選擇條件②③：，故，故.平面ABC⊥平面A1ACC1，平面平面，平面，故平面.若選擇條件①③：不能確定的角度，故的長(zhǎng)度不能確定，不能得到后面的結(jié)論，求不出夾角和距離，故不能選擇（2）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（3），點(diǎn)B到平面A1CD的距離為46．如圖所示的四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點(diǎn)P到底面的距離為．(1)過(guò)點(diǎn)P是否存在直線(xiàn)l，使直線(xiàn)∥平面，若存在，作出該直線(xiàn)，并寫(xiě)出作法與理由；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，求點(diǎn)M到平面的距離．【答案】(1)存在，理由見(jiàn)解析，圖見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)M到平面的距離.【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理證明平面即可；(2)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件求平面的法向量和，利用向量投影公式求點(diǎn)M到平面的距離．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P是存在直線(xiàn)l，滿(mǎn)足直線(xiàn)∥平面，理由如下；過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，?）取線(xiàn)段的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹?/p>