第07講 向量法求距離、折疊及新定義問題（解析版）

第07講向量法求距離、折疊及新定義問題1．點P到直線l的距離設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點P到平面α的距離若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點為A，則平面α外一點P到平面α的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示．線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．空間距離例1．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）建立坐標系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點到直線的距離；（2）先證明再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解；（3）求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解；（4）把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則（1）因為，所以.所以點到直線的距離為.（2）因為所以，即所以點到直線的距離即為直線到直線的距離.所以直線到直線的距離為（3）設(shè)平面的一個法向量為，.由令，則，即.設(shè)點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.（4）因為所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.例2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）證明出平面平面，可得出平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的距離．【詳解】（1）解：因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，因為、分別為、的中點，則，平面，平面，平面，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因為平面平面，則平面與平面的距離為.【復(fù)習指導(dǎo)】：(1)向量法求點到直線距離的步驟①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.②在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點)．計算點M與直線外的點N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂線段長度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－\o(MN,\s\up6(→))·v2).(2)求點到平面的距離的常用方法①直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離．②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．③等體積法．④向量法：設(shè)平面α的一個法向量為n，A是α內(nèi)任意點，則點P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).立體幾何中的折疊問題例3．如圖①，在梯形中，，，，為的中點，以為折痕把折起，連接，，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列兩個問題．(1)證明：；(2)請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．①四棱錐的體積為2；②直線與所成角的余弦值為．注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）通過證明線面垂直來證得.（2）選①，結(jié)合四棱錐的體積，證得平面；選②，結(jié)合直線與所成角的余弦值，證得平面；由此建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖①中因為，，為中點所以，，所以為平行四邊形，所以，同理可證，在圖②中，取中點，連接，，，因為，所以，，因為，所以平面，因為平面，所以.（2）若選擇①：因為平面，平面，所以平面平面且交線為，所以過點作，則平面，因為，所以四棱錐的體積，所以，所以與重合，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因為，，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.若選擇②：因為，所以即為異面直線與所成角，在中，，所以所，以，所以，因為平面，平面，所以平面平面且交線為，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因為，，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.例4．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點為F．(1)證明：平面ABC．(2)若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取AC中點G，連接FG和EG，證明四邊形DEGF是平行四邊形,然后利用線面垂直的判定定理證明平面ABC,從而得到平面ABC.（2）（方法一）過點E作，以E為原點，建立空間直角坐標系E-xyz，設(shè),求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知條件可得長，然后利用線面角的向量公式求解即可；（方法二）連接DG，可證得，可得長，過點F作，垂足為I，利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)可得平面ACD，連接AI，則∠FAI即為所求角，在三角形中計算可得答案.【詳解】（1）如圖，取AC中點G，連接FG和EG，由已知得，且．因為F，G分別為AB，AC的中點，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因為翻折的，易知．所以翻折后，．又因為，EA，平面AEC，所以平面AEC．因為，所以平面AEC．因為平面AEC，所以．因為ACE是等邊三角形，點G是AC中點，所以又因為，AC，平面ABC．所以平面ABC．因為，所以平面ABC．（2）（方法一）如圖，過點E作，以E為原點，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，設(shè)，則，，，，則，，，因為平面AEC．所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因為二面角D-AC-E為，所以，解得，所以，．記直線AB與平面ACD所成角為，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因為平面AEC，平面AEC，所以．又因為，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因為EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．由△ACE是邊長為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過點F作，垂足為I，因為平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因為平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．【復(fù)習指導(dǎo)】：平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況．一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．立體幾何中的新定義問題例4．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，寫出多邊形表面的所有內(nèi)角即可.（2）設(shè)頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，設(shè)第個面的棱數(shù)為，所以，按照公式計算總曲率即可.【詳解】（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和.可以從整個多面體的角度考慮，所有頂點相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個頂點，5個面，其中4個為三角形，1個為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，則其總曲率為：.（2）設(shè)頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有設(shè)第個面的棱數(shù)為，所以所以總曲率為：所以這類多面體的總曲率是常數(shù).【點睛】本題考查立體幾何的新定義問題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問題的關(guān)鍵．例5．設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)(∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1)，其中Qi(i＝1,2，…，k，k≥3)為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．任取正四面體的一個頂點，在該點處的離散曲率為________；如圖所示，已知長方體A1B1C1D1－ABCD，AB＝BC＝1，AA1＝eq\f(\r(2),2)，點P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個動點，則四棱錐P－ABCD在點P處的離散曲率的最小值為________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,3)【詳解】由題意可知，正四面體的所有面都是正三角形，所以取正四面體的一個頂點，在該點處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；已知長方體A1B1C1D1－ABCD，點P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個動點，則四棱錐P－ABCD在點P處的離散曲率為1－eq\f(1,2π)(∠APD＋∠APB＋∠BPC＋∠CPD)，又由AB＝BC＝1，AA1＝eq\f(\r(2),2)，所以AC＝BD＝eq\r(2)，且A1B1C1D1為正方形，當∠APD＝∠APB＝∠BPC＝∠CPD時，即點P為正方形A1B1C1D1的中心時，離散曲率取得最小值，此時∠APD＝∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝eq\f(π,3)，即1－eq\f(1,2π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)＋\f(π,3)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).【復(fù)習指導(dǎo)】：隨著新高考改革，考試逐漸回歸其本質(zhì)，別致新穎的立體幾何新題型不斷涌現(xiàn)，其中新定義問題常常使考生束手無策，因此，讀懂題意才能快速有效地切入新問題情景．1．已知空間內(nèi)三點，，，則點A到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點，，，所以，，，，由，所以，所以點A到直線的距離.故選：A.2．已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量點到平面的距離公式計算作答.【詳解】依題意，，所以點到平面的距離.故選：B3．直線的方向向量為，且過點，則點到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個單位方向向量為，計算代入空間中點到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因為直線的方向向量為，所以取直線的一個單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.4．四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，再利用向量求出點到直線的距離作答.【詳解】四面體滿足，即兩兩垂直，以點O為原點，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，因為，，則，于是，，所以點到直線的距離.故選：A5．在邊長為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．故選：A6．在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，直接建系，利用法向量，可求解.【詳解】設(shè)AC與BD交于點O，以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，.設(shè)平面PAD的法向量為，則令，得.因為的重心G的坐標為，即，所以，故點G到平面PAD的距離為.故答案為：C7．如圖，已知為圓柱的母線，為圓柱的下底面直徑，為線段的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，求出和平面的法向量即可求解【詳解】因為為圓柱的下底面直徑，所以，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，所以設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.則點到平面的距離為.故選：D8．如圖，在正方體中，點是棱上的動點，下列說法中正確的是（

）①存在點，使得；②存在點，使得；③對于任意點，到的距離為定值；④對于任意點，都不是銳角三角形.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向得空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為1，運用空間向量法逐個判斷解決即可.【詳解】由題知，在正方體中，點是棱上的動點，建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向得空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為1，所以，設(shè)，其中，所以，當時，無解，故①錯誤；當時，解得，故②正確；因為，其中，所以到的距離為，不是定值，故③錯誤；因為，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，不可能為銳角三角形，故④正確；故選：C9．（多選）點在軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方向向量為的直線的距離為，則點的坐標是（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】設(shè)，表示出，再由點到直線的距離公式得到，解得即可.【詳解】設(shè)，則，又直線的方向向量為，所以點直線的距離，所以，則或.故選：AB10．（多選）如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則（

）A．平面 B．C．是平面的一個法向量 D．點到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A,建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積即可判斷線線垂直，即可判斷B，根據(jù)空間向量求解法向量即可判斷C，根據(jù)空間距離的向量法即能求出點到平面的距離，從而判斷D.【詳解】以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，對于A，由于分別是的中點，所以,平面,平面,故平面，故A正確，對于B，，故，故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤，對于C,由，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個法向量，故C正確，對于D，點到平面的距離為,故D正確，故選：ACD11．（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，O為面的中心，E、F分別為BC和的中點，則（

）A．平面 B．平面與平面相交C．點О到直線的距離為 D．點O到平面的距離為【答案】BC【分析】建系，利用空間向量處理線、面關(guān)系以及距離問題.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則有：，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，對A：∵，則，即與不共線，∴不與平面垂直，A錯誤；對B：∵，則與不共線，∴平面與平面相交，B正確；對C：∵，則，即為銳角，∴，故點О到直線的距離為，C正確；對D：點O到平面的距離為，D錯誤.故選：BC.12．（多選）在正方體中，E為棱DC上的動點，F(xiàn)為線段的中點．則以下結(jié)論正確的有（

）A．；B．直線與平面的夾角不變；C．點F到直線AB的距離不變；D．點F到A，D，D＇，A＇四點的距離相等．【答案】ABD【分析】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求出結(jié)果．【詳解】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)正方體中棱長為2，設(shè)，則，，，，，，，，對于A，，，，∴，故A正確；對于B，，平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為θ，則，，不是定值，故B錯誤；對于C，，，點F到直線AB的距離，∴點F到直線AB的距離不變，故C正確；對于D，，，，，∴點F到A，D，D＇，A＇四點的距離相等，故D正確．故選：ABD．13．（多選）已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線所成的角為 B．平面C．點到平面的距離為 D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】BD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標得到，即可判斷選項A；利用向量法證明，即可判斷選項B；利用向量法求出點到平面的距離即可判斷選項C；利用向量法求出直線B1C與平面所成角的余弦值即可判斷選項D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系：.A：，因為，所以，因此該選項不正確；B：，因為，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以該選項正確；C：因為平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以點B1到平面ACD1的距離為，因此該選項不正確；D：設(shè)直線B1C與平面所成角為，則，所以直線B1C與平面所成角的余弦值，因此該選項正確.故選：BD.14．（多選）如圖，修水壩時，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們需要研究兩個平面之間所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，記二面角的大小為，則下列說法正確的是（

）A．當時，B．當時，C．D．點到平面的距離的最大值為【答案】AB【分析】運用線面垂直判斷定理及線面垂直的性質(zhì)及向量加法及數(shù)量積運算可判斷A項、B項，運用余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C項，建立空間直角坐標系運用點到面的距離公式計算及三角函數(shù)的最值問題求解即可判斷D項.【詳解】如圖所示，過A作且，連接CE、ED，則四邊形ABDE為平行四邊形，又∵，∴，又∵，∴，又∵，面，∴面，又∵，∴面，∴，，由題意知，，，所以，，∵，∴，對于A項，當時，代入得：，又因為，所以，故A項正確；對于B項，當時，代入得：，故B項正確；對于C項，在△CAE中，，在△CAD中，，∵，，∴①當時，，則，②當時，，則，③當時，，則，故C項不成立；對于D項，以A為原點，分別以AE、AB、AZ為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，，設(shè)面BCD的一個法向量為，則，取，所以點A到面BCD的距離為，又因為，所以，所以當時，d取得最大值為，故D項錯誤；故選：AB.15．已知向量和直線l垂直，且在由直線l與點確定的平面內(nèi)，點在直線l上，則點到直線l的距離為________.【答案】【分析】求得，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】由題意，得，又向量和直線l垂直，故點P到直線l的距離.故答案為：.16．如圖，已知正方體中，分別為中點，，則到平面的距離是__________．【答案】【分析】利用坐標法，根據(jù)點到平面的距離向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以到平面的距離是.故答案為：.17．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝2，直線AD與A1C1所成的角為，點E為棱BB1的中點，則點D1到平面ACE的距離為_____．【答案】【分析】建空間直角坐標系，用空間向量在平面AEC上投影計算.【詳解】根據(jù)題意可得，∴直線AD與A1C1所成的角即直線AD與AC所成的角，∴可得，∴為等腰直角三角形，∴CD＝AD＝1，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，∴，設(shè)平面ACE的法向量，則，∴，令，則，，又，設(shè)與平面AEC的夾角為，則，∴點D1到平面ACE的距離為，故答案為：．18．在棱長為2的正方體中，點E是BC的中點，F(xiàn)是CD的中點，G為的中點.(1)求點到直線的距離；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在等腰中由面積法求得到的距離；（2）可先證明平面，然后在三棱錐中由體積法求得到平面的距離即得結(jié)論．【詳解】（1）連接，平面，平面，則，正方體棱長為2，是中點，所以，在中，邊上的高為，設(shè)到直線的距離為，則，所以；（2）如圖，取中點，連接，因為是中點，所以，正方體中易得，所以，即共面，連接，，因為是中點，所以與平行且相等，又與平行且相等，所以與平行且相等，從而是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，連接，同理可得，又，，在中，，所以，，又，到平面的距離為2，設(shè)點到平面的距離為，由得，．所以直線到平面的距離是．19．在平行六面體中，平面，，．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用向量法求得點到平面的距離.【詳解】（1）因為平面，，所以平面，因為四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，所以，，，，，所以，，．所以，，所以，，又，平面，平面，所以平面．（2）由（）可知是平面的一個法向量，又，所以，所以點到平面的距離．20．如圖，在四棱錐中，平面為的中點，底面是邊長為2的正方形，且二面角的余弦值為．(1)求的長；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建系，設(shè)的長，表示點坐標，利用空間向量表示二面角的余弦值列方程求解即可；（2）利用空間向量計算點面距即可.【詳解】（1）如下圖所示，以為原點，分別為軸、軸、軸建系.，，設(shè)，則.所以，.容易看出，平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.由題，二面角的余弦值為，解得,故的長為.（2）由（1）得，，.則點到平面的距離為.21．如圖1，在中，，，，是的中點，在上，.沿著將折起，得到幾何體，如圖2(1)證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)圖1可知折疊后，，由此可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由題可知是二面角的平面角，易證是等邊三角形，連接，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系和面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再以為原點，，，為，，軸建系，利用空間向量法即可求出線與平面所成角.【詳解】（1）證明：因為在圖1中，沿著將折起，所以在圖2中有，，又，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角，所以，又因為，所以是等邊三角形，連接，在圖1中，因為，，所以，因為是的中點，所以，所以是等邊三角形.取的中點，連接，，則，，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，，兩兩垂直，以為原點，，，為，，軸建系，如圖所示.，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即取，得平面的一個法向量為，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.22．已知四邊形，，，將沿翻折至.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由平面幾何的性質(zhì)可得；（Ⅱ）作出二面角的平面角，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦.【詳解】（Ⅰ）取的中點E，連接，不妨設(shè)，則，即因為，所以，則，又因為，所以重合，則.（Ⅱ）取的中點O，連接，，，不妨設(shè)，則，即因為，則，又因為O為中點，E為的中點，則，所以，所以為二面角的平面角.因此以點O為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸建空間直角坐標系如圖：，，，設(shè)面的法向量為，，，則，所以，令，則，所以面的一個法向量為，設(shè)與面所成的角為，則.23．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，底面，，，．(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得點到平面的距離；（2）利用向量法求得二面角的大小.【詳解】（1）取中點，如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則令得：又，所以點到平面的距離；（2），，設(shè)平面的法向量，則令，得，．又二面角的平面角為銳角，二面角的大小為．24．如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點，已知，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）連接，，連接，即可得到，從而得證；（2）（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】（1）證明：連接，，連接，在直三棱柱中為矩形，則為的中點，又為的中點，所以，平面，平面．平面．（2）解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)到平面的距離為，則；25．在邊長為2的菱形中，，點是邊的中點（如圖1），將沿折起到的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）（1）證明：平面平面；（2）若，連接，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）.【分析】（1）連接圖1中的，證明，然后證明平面即可；（2）證明平面，然后以為原點建立如圖空間直角坐標系，然后利用向量求解即可.【詳解】（1）連接圖1中的，因為四邊形為菱形，且所以為等邊三角形，所以所以在圖2中有，因為所以平面，因為，所以平面平面（2）因為平面平面，平面平面，，所以平面以為原點建立如圖空間直角坐標系所以所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以所以直線與平面所成角的正弦值26．如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，．(1)求二面角余弦值的大?。?2)求點到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用法向量求解即可；（2）求出平面的法向量，再求出平面的斜線所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到點到平面的距離．【詳解】（1）因為平面，底面是矩形，所以以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：由，則，在中,,,所以，所以,，因為平面，所以為平面的一個法向量，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，所以，故二面角余弦值的大小為.（2）由（1）題得,,設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，又，所以到平面的距離為：.27．如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算得異面直線與所成的角的余弦值；（2）根據(jù)空間向量求直線與公垂線的方向向量，再結(jié)合空間向量坐標運算即可得異面直線與之間的距離．【詳解】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.28．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為AC，的中點.(1)證明：平面；(2)若平面，，，求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)要證明平面，通過證明平面平面即可證得；(2)根據(jù)已知條件可以以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，以及一個方向向量，代入公式計算即可.【詳解】（1）證明：取的中點H，連接MH，HN.因為M為AC的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為H，N分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.因為面MHN，所以平面平面.因為平面MHN，所以平面.（2）因為平面，平面，所以.因為三棱柱是直三棱柱，所以，.以BA，，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為.由，得，取.所以點A到平面的距離.29．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．(1)證明：平面平面PBC；(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數(shù)量積等于零證明；(2)利用坐標運算求點到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.【詳解】（1）方法一：因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因為平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則，設(shè)，則，所以，，，，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則因為，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則，易知是平面PAB的法向量設(shè)，則，所以，，所以即，得，所以，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中點．所以，，的面積為因為，的面積為設(shè)點P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．30．如圖，在多面體中，.側(cè)面為矩形，平面，平面，(1)求證：(2)求直線與平面所成角的正弦值(3)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）先由線線垂直的判定定理證明平面，進而證明；（2）建系，利用空間向量計算線面角的正弦值即可；（3）將線面距轉(zhuǎn)化為點面距，利用空間向量計算即可.【詳解】（1）證明：為矩形,,平面，平面，，又平面，平面，，平面，又平面；（2）如圖所示，以為原點，分別為軸、軸、軸建系.則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，得，取，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值；（3）因為為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離.31．如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點，求：(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)點到平面的距離；(3)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用求解即可；（2）設(shè)平面的法向量為，利用求解即可；（3）設(shè)與平面所成角為，利用求解即可.【詳解】（1）因為直三棱柱，所以平面，又因為，所以兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，由題意可得，所以，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面的法向量，因為，，所以，解得，又因為，所以點到平面的距離.（3）設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.32．如圖，在棱長為2的正方體中，點為線段的中點.(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標系．因為正方體的棱長為，是的中點，所以，由可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因為，設(shè)點到平面的距離為，則，故點到平面的距離為；（2）由（1）可得平面的法向量為，顯然平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.33．如圖，在長方體中，，點分別是的中點，點為棱上一點，且直線和所成的角為．(1)求證：∥平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)由正方體的性質(zhì)可知，，即可證得線面平行.(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與一個方向向量，代入公式即可.【詳解】（1）在長方體中，∴直線和所成的角，∴直角三角形為等腰直角三角形，，故點為棱的中點．連接故．又平面平面，平面（2）（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即所以令，得：，所以是平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，∴所以點到平面的距離為．34．如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點P，M分別為，上靠近的三等分點．(1)求點M到直線的距離；(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)點的坐標，利用向量法求出點到直線的距離即可；（2）結(jié)合（1）中點的坐標，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）由題可得AD=2，，又點P為AB上靠近A的三等分點，所以AP=1．在中，由余弦定理可得，，故，所以為直角三角形，故DP⊥AB．因為底面ABCD為平行四邊形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性質(zhì)可知，，即DP，CD，兩兩垂直．故以D為坐標原點，分別以DP，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz．則．因為，過點M作，（點到直線的距離即為通過該點向直線做垂線，點到垂足的距離）令，所以，故．由，解得，所以，故點M到直線的距離為．（2）因為，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，故．設(shè)直線PD與平面所成角為，則．所以直線PD與平面所成角的正弦值為．35．在四棱錐中，平面平面，，為的中點.(1)求證：；(2)若，，，，點在棱上，直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標系，寫出對應(yīng)點的坐標和相關(guān)向量的坐標，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線與平面的夾角列式計算點的坐標，求解平面的法向量，再利用點到平面的距離公式列式求解距離即可.【詳解】（1）∵，為的中點，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點到平面的距離【點睛】對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.36．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點.(1)求二面角的余弦值；(2)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說明理由.【答案】(1)；(2)平行，距離為【分析】(1)先證，，然后得出平面SAC.建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，再利用平面的法向量，即可求?(2)利用向量在平面BDF的法向量上的投影，即可求解.【詳解】（1）連接AC，交BD于點O，連接SO，因為四邊形ABCD是菱形，所以O(shè)為AC，BD的中點，且，因為三棱錐是正三棱錐，，O為BD的中點，所以，平面SAC,平面SAC,又，所以平面SAC.作平面BCD于H，則H為正三角形BCD的中點，H在線段OC上，且，，，.如圖，以O(shè)為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，C.，D.，，，，所以，，，設(shè)是平面EBF的法向量，則，則，設(shè)是平面DBF的法向量，則，取，所以，又因為二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.（2）直線SA與平面BDF平行.法1:連接OF，由（1）知O為AC的中點，又F為SC的中點，所以，又因為平面BDF，平面BDF，所以直線平面BDF.法2:由（1）知是平面BDF的一個法向量，又，，所以，所以，所以，又因為平面BDF，所以直線平面BDF.設(shè)點A與平面BDF的距離為h，則h即為直線SA與平面BDF的距離，因為，是平面DBF的一個法向量，所以，所以點A與平面BDF的距離為，所以直線SA與平面BDF的距離為.37．在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．(1)求證：；(2)若點到直線的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）計算確定，證明平面，得到，再證明平面，得到答案.（2）建立空間直角坐標系，得到各點坐標，設(shè)得到，再根據(jù)點到直線的距離公式計算得到答案.【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點為，中點為，以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點到直線的距離為，則，即，即，解得，所以.38．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點為棱上不與端點重合的動點，且與平面所成角正弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的正弦值確定點位置，再利用點到平面的距離公式求得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點如圖所示建立空間直角坐標系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.39．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為菱形，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若，點E是側(cè)棱上的動點，且平面與平面的夾角的余弦值為，求點B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證明平面,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立平面直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，設(shè)，求出平面的一個法向量，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值求得參數(shù)，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）連接與相交于點，連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴為的中點，則．為等邊三角形，有，平面，，∴平面,平面，∴，又，平面，，∴平面,∵平面，∴．（2）由（1）知，，且平面，故平面，而平面，故平面平面，分別取的中點，連接，則，∴平面，為等邊三角形，，而平面平面，平面，故平面，以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，則，∴，，設(shè)平面的一個法向量，則有，令，則，，即，又∵平面的法向量為，∴平面與平面的夾角的余弦值為,∴，∴或（舍），此時，又，∴點到平面的距離為：．40．如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.(1)若為的中點，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，進而利用坐標法求得點到平面的距離為，再計算體積即可；（2）設(shè)點坐標為，根據(jù)得，進而根據(jù)線面角的向量方法求解即可.【詳解】（1）解：由題意可得兩兩互相垂直，所以可以以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：∴，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量，，不妨令y＝1，∴.設(shè)點到平面的距離為，則，又因為，，∴的面積為.∴四面體的體積為.（2）設(shè)點坐標為，∴，.∵，即，∴，∴，∴.設(shè)，，∴.設(shè)平面的一個法向量，∴，即，令得∴，∴，∵與面所成角的余弦值是，正弦值為.∴，整理得，∴，（舍去）.∴存在滿足條件的點，且.41．已知平面四邊形ABCE（圖1）中，，均為等腰直角三角形，M，N分別是AC，BC的中點，，，沿AC將翻折至位置（圖2），拼成三棱錐D-ABC.(1)求證：平面平面；(2)當二面角的二面角為60°時，①求直線與平面所成角的正弦值；②求C點到面ABD的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)①；②【分析】（1）證明，由線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）①證明為二面角的平面角，取的中點，由面面垂直判定定理證明平面，建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的長度即可.【詳解】（1）因為分別是的中點，所以，又，所以，因為，所以.又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，（2）①因為，所以就是二面角的平面角，由已知，因為為以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，所以，又，所以為等邊三角形，取中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以面如圖，以直線為軸，以為軸建立空間直角坐標系，，設(shè)面的一個法向量則有，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，，所以，所以直線與面所成角的正弦值為·②，點到面的距離42．如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點共面，，．(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)過點與垂直的平面交直線于點，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；（3）依題意可得，設(shè)，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】（1）因為平面平面，，，，四點共面，且平面平面，平面平面，所以.（2）因為平面，是正方形，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點到平面的距離.（3）因為過點與垂直的平面交直線于點，所以，設(shè)，因為，所以，，所以，所以，解得，所以.43．如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積證明，，由線線垂直證明線面垂直，即得證；（2）由（1）為平面的一個法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；（3）由（1）為平面的一個法向量，利用點面距離的向量公式即得解【詳解】（1）證明：以為原點，??所在直線分別為??軸建立空間直角坐標系，如圖則，，，，取的中點，作交于點因為所以，又，所以，所以，四邊形為平行四邊形，又，所以，由所以，故，∵，，，∴，，即，，∵，平面，平面，∴平面；（2）由（1）可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，則，令，可得，設(shè)平面與平面CSD的夾角為，∴，即平面ASD與平面CSD的夾角的余弦值為；（3），平面的法向量為，設(shè)點到平面的距離為，∴，即點到平面的距離為.44．圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】(1)見詳解；(2).【分析】(1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內(nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2)在圖中找到對應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證：，，又因為和粘在一起.，A，C，G，D四點共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)過B作延長線于H，連結(jié)AH，因為AB平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因為所以是二面角的平面角，而在中，又因為故，所以.而在中,，即二面角的度數(shù)為.【點睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題考查考生的空間想象能力．45．如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四邊形A1ACC1是邊長為4的正方形，，點D為BB1中點．再從條件①?條件②?條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答．(1)求證：AB⊥平面A1ACC1；(2)求直線BB1與平面A1CD所成角的正弦值；(3)求點B到平面A1CD的距離．條件①：；

條件②：；

條件③：平面ABC⊥平面A1ACC1．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）考慮選擇條件①②和選擇條件②③，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)線線垂直或面面垂直得到證明.（2）以為原點建立空間直角坐標系，計算給點坐標，平面的一個法向量為，再根據(jù)向量夾角公式得到答案.（3）直接利用點到平面的距離公式計算得到答案.【詳解】（1）若選擇條件①②：，故，故.又，，平面，故平面.若選擇條件②③：，故，故.平面ABC⊥平面A1ACC1，平面平面，平面，故平面.若選擇條件①③：不能確定的角度，故的長度不能確定，不能得到后面的結(jié)論，求不出夾角和距離，故不能選擇（2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3），點B到平面A1CD的距離為46．如圖所示的四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點P到底面的距離為．(1)過點P是否存在直線l，使直線∥平面，若存在，作出該直線，并寫出作法與理由；若不存在，請說明理由；(2)若，求點M到平面的距離．【答案】(1)存在，理由見解析，圖見解析；(2)點M到平面的距離.【分析】(1)過點作直線平行于直線，根據(jù)線面平行判定定理證明平面即可；(2)取的中點，的中點，證明平面，建立空間直角坐標系，由條件求平面的法向量和，利用向量投影公式求點M到平面的距離．【詳解】（1）過點P是存在直線l，滿足直線∥平面，理由如下；過點在平面內(nèi)作直線平行于直線，因為，平面，平面，所以平面，（2）取線段的中點為，線段的中點為，連接，因為為直