空間一般力系

3、空間一般力系3.1內(nèi)容提要3.1.1力在軸上的投影力在軸上的投影祥見表3-1表3-1力在軸上的投影內(nèi)容表達式角度含義直接投影法1:'X=Fcos以Y=FcosPZ=Fcosya、P、y分別為力F與坐標(biāo)軸x、y、z正向間夾角時二次投影法1:X=Fcos0cos中Y=Fcos0sin中Z=Fsin06為力F與平面Oxy的夾角，中為力F在Oxy平面上的投影Fxy與x軸的夾角3.1.2力對點的矩和力對軸的矩有關(guān)力矩的概念祥見表3-2表3-2力矩內(nèi)容（表達式定 義力對點之矩MF)=rXF~^^\——力對點之矩等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積力對軸之矩mF)=±m(xù)oF)力對軸之矩是代數(shù)量。力對任一軸z的矩，等于力在垂直于該軸的平面Oxy上的投影F對該軸與該平面的交點O的矩，正負號按右手螺旋法則確定力矩關(guān)系定理mFJ=[m^F』z O Z力對某點O之矩矢在過此點任一軸上的投影，等于此力對該軸之矩合力矩定理m(F)=￡m(F)z zi合力對某軸之矩，等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和3.1.3空間一般力系的簡化1、空間任意力系向任一點簡化空間一般力系向簡化中心簡化，可得主矢和主矩，其結(jié)果見表3-3。表3-3主矢和主矩內(nèi)容表達式定 義主矢F'=>FR i主矢等于原力系中各力的矢量和，與簡化中心O的位置無關(guān)。主矩M=Lm(F)O O主矩等于原力系中各力對簡化中心O點之矩的矢量和，一般情況下，它與簡化中心的位置有關(guān)。2、空間一般力系簡化的最后結(jié)果空間一般力系簡化的最后結(jié)果見表3-4表3-4空間一般力系的最后簡化結(jié)果主矢主矩最后結(jié)果說 明F'=0_R M=00平衡空間一般力系平衡的充要條件M。0 0 合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)F技0M=0 0 合力合力作用線通過簡化中心M0。0F'±M合力作用線到簡化中心的距離d=1M/RfIF'〃M力螺旋力螺旋中心軸通過簡化中心F'與M成a角力螺旋中心軸到簡化中心距離d='M0刃。以|F R 3.1.4空間一般力系的平衡空間一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要條件是，力系的主矢和對任一點O的主矩都等于零，即F'=0，M=0空間力系的平衡方程見表3-5。表3-5空間力系平衡方程力 系平衡方程空間一般力系[EX=0, YY=0, EZ=0L一一 一一 一一-一Zm(F)=0,￡m(F)=0,Zm(F)=0x y x空間特殊力系空間匯交力系ZX=0，ZY=0，ZZ=0空間力偶系Zm=0，Zm=0，Zm=0空間平行力系ZZ=0，Zm(F)=0，Zm(F)=0(力系中各力與軸z平行)3.2解題要點1、空間一般力系的題型可分為空間力系的簡化問題和平衡問題兩大類。物體在空間力系作用下的平衡問題的解題方法和步驟與平面問題基本相同。但求解空間問題時，要有清晰的空間概念，熟練掌握力在軸上的投影和力對軸之矩。3、 為了簡化計算，在選取投影抽與力拒軸時，投影軸要與盡可能多的未知力或其所在的平面相垂直，力矩軸應(yīng)與盡可能多的未知力相交或平行.投影軸不一定要彼此垂直，也不一定要與力矩軸相重合。在列平衡方程時，可用適當(dāng)?shù)牧胤匠倘〈队胺匠?，即可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此獨立的，就能解出全部未知量。解空間力系平衡問題時，有時采用將該力系向三個相互垂直的坐標(biāo)平面投影的方法，將空間力系化為三個平面力系分別求解。采用此法時，必須注意各力在投影面上投影的大小、方向及作用點的位置。3.3范例分析例3-1圖3-1(a)為直角三棱柱。其上作用力系：：F〔=200N,F=F=100N，試求該力系在各軸上的投影及對軸之矩。圖3-1解解題思路：F1在軸上的投影可按直接投影法計算，對軸之矩可用力對軸之矩的解析式計算；F與F'組成一個空間力偶矩矢M=FX0.2=20N?m,如圖(b)所示，對軸之矩直接TOC\o"1-5"\h\z2 2 1 2投影即可。F=F, 0.2 =200x二=74.28 (N)X10.22+0.32+0.42 v294 4F=F~2===200乂與=148.56 (N)3 3F=-F^29=-200x~2==—111.41 (N)M=(yF-zF)=-0.4x111.41-0=-44.56 (N-m)XZy3 M=(zF-xF)+5M1=0.2x111.41+12=34.28(N-m), 、4M=(xF-yF)+5M=0.2x148.56-0.4x74.28+16=16 (N-m)例3-2均質(zhì)矩形板ABCD重P=200N,作用在其對角線交點上，矩形板用球形鉸鏈A和蝶形鉸鏈B固定在墻上，并用繩子CE維持在水平位置如圖3-2(a)所示，若a=30°，試求繩子的拉力以及鉸鏈A,B的反力。ta> (V)圖3-2解解題思路：取矩形板為研究對象，空間球形鉸鏈A的約束反力可用三個互相垂直的分力來表示。而蝶形鉸鏈軸向的約束反力和垂直于軸向的約束力偶可以忽略，故約束反力的作用線在垂直于鉸鏈軸的平面內(nèi)。作用在板上的力組成一個空間任意力系，它有六個平衡方程，可求解六個未知力。取矩形板為研究對象，受力圖如圖b)所示。為便于計算繩子拉力F對x,y軸之矩，可將力F分解成平行于z軸的分力F=Fsin30°，與在板平面內(nèi)的分力F=Fcos30°。建立空間任意力系的平衡方程：Z Xy

TOC\o"1-5"\h\z￡m(F)=0, F=0 (1)?： 1丁￡m(F)=0,Px—BC-Fsin30°?BC=0 (2)y 2F=200N(3)FB-AB-Px2AB+Fsin30o-CD=0(3)［討論］FAxF=0+F［討論］FAxF=0+F一Fcos30°?cos60o=0BxF=86.6NF-FCos30°.cos30o=0F=150NF+F-P+Fsin30o=0AzFAzBz=100N(4)(5)(6)空間力系的平衡方程建立次序可以隨意，一般，首先建立的是不用解聯(lián)立方程的力矩平衡方程。應(yīng)盡可能使一個方程包含一個未知量，使未知量從方程中直接解出。最后還可以用非獨立的平衡方程來校核所得約束力。如對DB線用YM=0平衡方程來校核力F，F(xiàn)Az的值。DB例3-3圖3-3(a)所示電桿OD高7m，D處受水平力F=10kN作用。O處視為球鉸支座,A處以鋼索AB、AC與地面相連，略去電桿自重。試求鋼索拉力及支座反力。解：解題思路：電桿OD受已知力F、鋼索的拉力匕與F2以及球鉸支座O處的反力Fo、Fo、FO作用，計有5個未知量，可由空間一般力系平衡方程的基本形式求解。 °X °y°ZOD桿的受力如圖(b)所示。對圖示坐標(biāo)系，列平衡方程(a)圖3-3TOC\o"1-5"\h\zYX=0， Fcos45°sina一Fcos45°sina+F=0 (1)YY=0， -F+Fcos45°cosa+Fcos45°cosa+F=0 (2)YZ=0，F(xiàn)一Fcos45°-Fcos45°=0 (3)Em(F)=0， F.7-F^sin45°-4-F2sin45°.4=0 (4)

(5)24cosa=—5Zm(F)=0Fsin45o?3-Fsin45(5)24cosa=—5," 3由圖示幾何關(guān)系知：sina—5聯(lián)立求解上述5個平衡方程，可得F=F=12.37kN，F(xiàn)/0，F(xiàn)/-4kN，F(xiàn)°z=17.5kN其中，負號表示約束反力的實際方向與假設(shè)的方向相反。討論為了避免解聯(lián)立方程組，如何合理選取力矩軸？理論依據(jù)是當(dāng)力與軸相交或平行時，力對該軸之矩等于零。首先，欲使力矩平衡方程中不出現(xiàn)F1及F2,可過F1、F2交點A作x'及y'軸(圖b)，此時力F、FOy、FOz與y'軸共面，則這些力對y'軸之矩為零。故應(yīng)以y'軸為矩軸。即 °y°Z_Zm(F)=0，-F-5=0得 ' "FOx=0同理，應(yīng)以x'軸為矩軸列為矩平衡方程。由于已求出X0=0，在下面建立平衡方程時，可不再考慮。由Zm,(F)=0，F(xiàn).2-Fo.5=0Fo=—5F=—4kN其次以F1、F2的交線BC為矩軸，即Zm(F)=0，F(xiàn)-7—F-4=0TOC\o"1-5"\h\z得 " "F=7F=17.5kNOz4最后，求F及F。分別以O(shè)C及OB為力矩軸，列出力矩平衡方程最后，Lier.匚克 c、八Zm(F)=0， 一7F-sina+5?-^F「cos(90°-2a)=0。，一、C ? L克 C、八Zm(F)=0， 7F-sina-5?F-cos(90°-2a)=0可解出7Fsin以 _ 7?F-X：2 5y'2cos以5項cos(90—2以)70 =12.37kN5巨45應(yīng)注意到，在上式的力矩計算中，應(yīng)用了力矩關(guān)系定理。例如，當(dāng)求mC(F)時，是將力F對。點之矩先表示為矩矢m0(F)，再投影到OC軸上。在本例中還可應(yīng)用對CG及BE軸的力矩平衡方程，以求解匕及F2。綜上述可知，由于合理地選取了力矩軸，并以力矩方程代替了投影方程，使得每個未知量都可由一個平衡方程單獨解出來。既避免了解聯(lián)立方程組，又可避免由于數(shù)值計算而產(chǎn)生誤差的傳播。

例3-4在鉛垂軸AB上有一個水平圓盤。A點為向心軸承，B點為止推軸承。盤上C點有力F作用，在轉(zhuǎn)軸上繞有一軟繩，繩的一端懸掛有重物P，如圖3-4(a)所示。已知：P=100KN,「二0.2貝「2=0.5貝a=1ina=30°,6=60°.試求平衡時力F及軸承反力。1解2解題思路：先對2軸取矩，列平衡方程，求出力F,然后再求出A及B處的反力。圖3-4(1)選取AB物體為研究對象，A點具有兩個方向的軸向約束,B點具有三個方向的軸向約束，將傳動軸上軟繩分割。顯然，分割后繩子的拉力為P值。物體的受力圖見圖(b),為方便地建立平衡方程，可將力F分解成三個軸向的分力，按二次投影法，可得各分力大小為：F=Fcos60°cos30°,F=Fco^60°,F=Fsin60°。在作力F的二次投影時，可' y y以作輔助圖(c)來表示。(2)按盡可能避免求解聯(lián)立方程的原則建立方程：P-r-Fcos60°r=0得得得得:得Z得得得得:得Zm(F)=0,XZm(F)=0,YZX=0,ZY=0,Zz=0,F=80kN-3aF+2aP+aF-rcos30°FF蘭63-3kN"2 '3aFy+aF+rsin30°F=0F=-17』3kN 'F"+s0F=-17?3kNF+F-P-F=0F=56?；kN"Fb-F=0=0得討論:FB=69?3kN對空間一般力系的平衡問題，可先將空間力沿三個坐標(biāo)軸方向分解，然后再列平衡方程求解，較為方便。例3-5邊長為a的等邊三角形板ABC用三根鉛直桿1、2、3和三根與水平面各成30°角的斜桿4、5、6支撐在水平位置。在板的平面內(nèi)作用有力偶M,如圖3-5（a）所示。板和各桿的自重不計，求各桿的內(nèi)力。圖3-5解：解題思路：因支撐三角板的桿都是二力桿，故用截面法將各桿截開，取三角板為研究對象，受力如圖（b）所示。它們構(gòu)成空間一般力系，有六個未知量，可用空間一般力系平衡方程式求解。下面分別用三種方法求解。［方法一］得得得得得得得得得54MF6=(F4+F_)sin30°=^3-（1）（2）（3）（4）（5）（6）用空間力系一般形式的平衡方程式求解。坐標(biāo)系Dxyz如圖（b）所示。Fcos30°-acos30°+M=04M3aFcos30°cos30°-Fcos30°cos30°=04MF4=F5=-由Fcos30°-Fcos30°sin30°-Fcos30°sin30°=0EM(F)=0，一Facos30°-Fsin30°?acos30°=02MF=-Fsin30°=——EM(F)=0，一Fa一Fasin30°一Fsin30°?asin30°一Fsin30°?a=03 2 4 5F3=(-F2-F4sin30°-F)sin30°=2MEZ=0，-F-F-F-Fsin30°-Fsin30°-Fsin30°=01 2 3 4 5 6=-F2-F3-(F4+F5+F6)sin30°=|M.上述求得的結(jié)果為各桿內(nèi)力的大小。負號說明桿件受壓。在上面的分析中，我們應(yīng)用了空間任意力系平衡方程的基本形式。與平面任意力系一樣，空間任意力系平衡方程也有其他形式。我們可以根據(jù)需要選擇投影軸或力矩軸，用力矩方程部分或全部地代替上述中的三個投影方程。［方法二］EM(F)=0，

zFcos30°?acos30°+M=0（1）得得得得得得￡M (F)=0FB￡Mec(F)=0,￡M(F)=0,ABF=34M3aFcos30°?acos30°+M=04M63aFcos30°?acos30°+M=04M3a-Facos30°-Fsin30°?acos30°=02M3a￡M(F)=0,-Facos30°-Fsin30°?acos30°=02MF=一Fsin30°=——￡M(F)=0, Facos30°+Fsin30°?acos30°=02MF=一Fsin30°=—（2）（3）（4）（5）（6）［方法三］本題中，結(jié)構(gòu)對稱，荷載也對稱，所以反力也應(yīng)該對稱，即F二F=F,F=F=F1 2 3 4 5 6因此，只有列出兩個平衡方程，就可求出各桿內(nèi)力。討論：（1） 由上述三種方法可知，合理選擇投影軸和力矩軸對求解空間力系的平衡問題尤為重要。同時，不一定總要使三個力矩軸分別與投影軸重合；而且也不一定要采用三個投影式和三個力矩標(biāo)準形式的平衡方程來求解。只要根據(jù)具體問題靈活選用，就能使求解簡便。（2） 根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱或荷載對稱條件，也會給求解帶來方便。選不同力矩軸和投影軸建立平衡方程有一定的限制。當(dāng)然，要判別任意寫出的六個平衡方程是否獨立是一個比較復(fù)雜的問題。但是，如果一個方程能解出一個未知量，這不僅避免了解聯(lián)立方程，而且這個方程也一定是獨立的。所以，在列平衡方程的其他形式時，要盡可能地使方程中只含有一個未知數(shù)。例3-6已知均質(zhì)桿AB和BC分別重為P和Q，A和C用球形鉸鏈支座連接在水平面上，另一端B用球形鉸鏈相連，靠在光滑的墻上，AC與墻與地面的交線平行，ABAC=90°，AC=AO,桿AB與水平線交角為45°，如圖3-6（a）所示。試求A、C的支座反力及墻上B點所受的壓力。

(b)(a)圖(b)(a)圖3-6解:解題思路：本題為空間力系的物系平衡問題，可分別取整體及其中一部分為研究對象，列平衡方程求解。列平衡方程時應(yīng)合理地選取力矩軸以避免解聯(lián)立方程。1、以整體為研究對象，受力圖如圖（a）所示，應(yīng)注意兩桿在B點鉸接后靠在墻上，故B處為光華面約束。為方便計，取輔助坐標(biāo)軸X'和z'。Sm,(F)=0，(Sm,(F)=0，(P+Q)-與fOB=0得得得得得得2、F=P±QB2Y+Y+FAp+Q'— 2=0Z+Z—P—Q=0za=P+QQXA+XC=0以桿AB^究對象，受力圖見圖(b)?！阭(F)=0，XA-OA=0z XA=0XC=—XA=0討論：對于空間力系的物系平衡問題，應(yīng)特別注意研究對象及力矩軸、投影軸的選取，避免求解聯(lián)立方程。3.4課后練習(xí)3.4.1是非題1、 一空間力系，若各力的作用線不是通過固定點A,就是通過固定點B,則其獨立的平衡方程式只有5個。（）2、 若空間力系各力的作用線都垂直某固定平面，則其獨立的平衡方程最多有3個。（）3、 一空間力系，對不共線的任意三點的主矩均等于零，則該力系平衡。（）4、 物體的重心和形心雖然是兩個不同的概念，但它們的位置卻總是重合的。（）3.4.2填空題1、 通過A（3，0，0）、B（0，1，2）兩點（長度單位為m），由A指向B的力F在z軸上的投影為，對z軸之矩為。2、 圖3-7中力F=J3KN，力F對x軸之矩為，對y軸之矩為，對z軸之矩為。圖3-8如圖3-8所示，力F對AB軸之矩的大小圖圖3-8如圖3-8所示，力F對AB軸之矩的大小圖3-73、 已知力F和長方體的邊長a、b、c及角中、0，為。4、 邊長為a的立方體，受三個力作用，如圖3-9所示。設(shè)F=F=F=F，則此力系的簡化結(jié)果為。3.4.3選擇題1、2、3、空間力矩是（）。（a）標(biāo)量；（b）定點矢量；（c）滑動矢量；（d）空間力偶矩是（）。（a）標(biāo)量；（b）定點矢量；（c）滑動矢量；（d）正立方體的頂角上作用著6個大小相等自由矢量。自由矢量。的力，如圖3-10的力，如圖3-10所示。此力系向任一點簡化的結(jié)果是（）。（a）主矢等于零，主矩不等于零 （b）主矢不等于零，主矩也不等于零4、正立方體的前側(cè)面沿AB方向作用一力F,4、正立方體的前側(cè)面沿AB方向作用一力F,如圖3-11所示。該力()。5、在一個正方體上沿棱邊作用6個力，各力的大小都等于F,如圖3-12所示。此力系的最終簡化結(jié)果為()。3.4.4計算題3-1正方體的邊長a=20cm，力F沿對頂線AB作用，如圖3-13所示，其大小以AB線的長度表示，每1cm代表10N。試求：(1)力F在各坐標(biāo)軸上的投影，(2)力F對各坐標(biāo)軸之矩，(3)力F對