博弈論視角的風(fēng)格與行業(yè)輪動(dòng)分析報(bào)告

僅供機(jī)構(gòu)投資者使用證券研究報(bào)告|金融工程專(zhuān)題報(bào)告組合配置新思路——博弈論視角的風(fēng)格與行業(yè)輪動(dòng)2023年3月5日1博

弈

論

基

本

概

念2非

合

作

博

弈

與

納

什

均

衡3合

作

博

弈

與

Sha

pley值4實(shí)

踐

—

風(fēng)

格

與

行

業(yè)

輪

動(dòng)21博弈論基本概念3博弈論基本概念?

博弈論使用數(shù)學(xué)模型研究博弈參與者(或稱(chēng)決策者)之間的競(jìng)爭(zhēng)與合作，博弈論可以應(yīng)用于政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生物等諸多領(lǐng)域。博弈論的研究目標(biāo)是幫助參與者理性決策，以找到?jīng)Q策的最優(yōu)解、達(dá)到收益最大化。?

每個(gè)博弈中要求至少有2個(gè)參與者，每個(gè)參與者至少有2個(gè)決策選項(xiàng)，參與者既可以是單個(gè)個(gè)體，也可以是單個(gè)個(gè)體形成的聯(lián)盟。?

本文的研究對(duì)象不是投資者之間的博弈，因?yàn)橥顿Y者行為無(wú)法定量刻畫(huà)；本文研究對(duì)象是證券之間、證券和市場(chǎng)之間的博弈，例如特定證券和組合希望在博弈中戰(zhàn)勝市場(chǎng)。通過(guò)計(jì)算博弈參與者使用各種策略的概率，相應(yīng)就得到了組合中的資產(chǎn)權(quán)重。?

接下來(lái)我們結(jié)合大盤(pán)成長(zhǎng)、大盤(pán)價(jià)值、小盤(pán)成長(zhǎng)、小盤(pán)價(jià)值4個(gè)風(fēng)格輪動(dòng)的具體投資問(wèn)題，對(duì)博弈論基本概念做進(jìn)一步說(shuō)明。4博弈論概念與風(fēng)格輪動(dòng)博弈論基本概念基本概念解釋以風(fēng)格輪動(dòng)投資為例合作博弈中，大盤(pán)風(fēng)格、小盤(pán)風(fēng)格是兩個(gè)參與者，它們通過(guò)協(xié)作提升聯(lián)盟的收益參與者(player)博弈的決策主體非合作博弈中，大盤(pán)風(fēng)格與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈，大盤(pán)風(fēng)格希望戰(zhàn)勝市場(chǎng)基準(zhǔn)；同理小盤(pán)風(fēng)格也會(huì)與市場(chǎng)基準(zhǔn)進(jìn)行博弈大盤(pán)風(fēng)格和小盤(pán)風(fēng)格各有兩個(gè)策略：成長(zhǎng)或價(jià)值，例如大盤(pán)風(fēng)格可以使用大盤(pán)成長(zhǎng)和大盤(pán)價(jià)值兩種策略策略(strategy)參與者的行動(dòng)規(guī)則市場(chǎng)基準(zhǔn)有三個(gè)策略：牛市、熊市、震蕩市參與者在博弈中的知識(shí)，特

如果市場(chǎng)基準(zhǔn)知道大盤(pán)風(fēng)格選擇的策略，那么市場(chǎng)基準(zhǔn)(有關(guān)別是有關(guān)其他參與者的

大盤(pán)風(fēng)格)的信息就是{成長(zhǎng)}或{價(jià)值}參與者從博弈中獲得的收益

假設(shè)大盤(pán)風(fēng)格選擇成長(zhǎng)策略，市場(chǎng)基準(zhǔn)選擇牛市策略，此時(shí)信息(information)支付函數(shù)(payoff)結(jié)果(outcome)或效用水平大盤(pán)風(fēng)格相對(duì)市場(chǎng)基準(zhǔn)的超額收益/效用/其他度量博弈參與者在某種策略組合

假設(shè)大盤(pán)風(fēng)格選擇成長(zhǎng)，市場(chǎng)基準(zhǔn)選擇牛市，此時(shí)大盤(pán)風(fēng)格下產(chǎn)生的結(jié)果收

益1為，市場(chǎng)基準(zhǔn)的收益為-1，則(1，-1)就是一個(gè)結(jié)果均衡(equilibrium)博弈達(dá)到的穩(wěn)定狀態(tài)，沒(méi)有參與者愿意單獨(dú)改變策略具體可見(jiàn)下文對(duì)納什均衡的介紹資料：華西證券研究所5博弈論中的博弈分類(lèi)根據(jù)不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可以將博弈論研究的博弈分為以下幾個(gè)類(lèi)型：?

零和博弈(Zero

SumGame)

VS

非零和博弈(Non-ZeroSumGame)零和博弈是指一個(gè)參與者的收益與其他參與者的損失(負(fù)收益)相等；而在非零和博弈中，全部參與者的收益之和并不等于0。?

靜態(tài)博弈(Simultaneous

Game)

VS

動(dòng)態(tài)博弈(Sequential

Game)靜態(tài)博弈是指各個(gè)參與者同時(shí)行動(dòng)，事先不知道其他參與者的策略；動(dòng)態(tài)博弈是指參與者采取的策略有先后順序，可以事先知道其他參與者的行動(dòng)。?

非合作博弈(Non-Cooperative

Game)

VS合作博弈(Cooperative

Game)非合作博弈是指參與者之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，每個(gè)參與者獨(dú)自決策，使得自身收益最大化，參與者相關(guān)之間沒(méi)有達(dá)成協(xié)議(contract)；通常所說(shuō)的博弈一般是指非合作博弈。合作博弈是指參與者結(jié)成聯(lián)盟，爭(zhēng)取聯(lián)盟效用最大化，并在聯(lián)盟內(nèi)部進(jìn)行分配。合作博弈一般是非零和博弈。6博弈分類(lèi)博弈分類(lèi)零和博弈非零和博弈靜態(tài)博弈動(dòng)態(tài)博弈按收益博弈類(lèi)型按行動(dòng)順序按合作協(xié)議非合作博弈合作博弈資料：華西證券研究所7博弈論與投資組合?

之所以能用博弈論解決投資組合問(wèn)題，是因?yàn)閮烧哂邢嗨浦帲?/p>

投資者希望自己選擇的證券能夠戰(zhàn)勝市場(chǎng)基準(zhǔn)。在非合作博弈中，也可以將每個(gè)具體證券、市場(chǎng)基準(zhǔn)看做參與者，證券希望在博弈中戰(zhàn)勝市場(chǎng)基準(zhǔn)，可將超額收益視為博弈的支付，這與相對(duì)收益投資相似。

投資者需要根據(jù)投資組合中各證券的貢獻(xiàn)分配權(quán)重，以實(shí)現(xiàn)收益最大化。在合作博弈中，將多個(gè)具體證券看做參與者，證券之間結(jié)成聯(lián)盟后，根據(jù)參與者貢獻(xiàn)分配權(quán)重，以實(shí)現(xiàn)聯(lián)盟的最大利益，這與絕對(duì)收益投資相似。

在非合作博弈的混合策略納什均衡中，參與者選擇具體策略的概率，與投資中對(duì)具體證券權(quán)重的確定也有相似性。82非合作博弈與納什均衡9非合作博弈的核心概念——納什均衡?

納什均衡納什均衡是非合作博弈中的核心概念。一個(gè)博弈中，如果在其他參與者策略確定的情況下，每一位參與者當(dāng)前的策略都是最優(yōu)的，參與者沒(méi)有動(dòng)機(jī)改變當(dāng)前策略，這個(gè)策略組合就被稱(chēng)為納什均衡(Nash

Equilibrium)。?

納什均衡定義對(duì)于?名參與者的博弈?，記策略空間為?

,

?

…

…

,

?

，參與者?的任一策略?

∈

?

，參與12???者?在博弈中的收益為?

。則在博弈?

=

{?

,

?

…

…

,

?

;

?

,

?

…

…

,

?

}中，由各個(gè)參與者?12?12?的各一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合

??,

…

…

??

中，任意一名參與者?的策略都是對(duì)其余1?參與者策略組合

??,

…

?

,

?

,

…

?

的最佳對(duì)策，也即???1??1

?+1??????????(1)?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

≥

?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?????????+?????????+?對(duì)任意?

∈

?

和任意參與者?都成立，則稱(chēng)

??,

…

…

??

為?的一個(gè)納什均衡。??1??

納什均衡的特點(diǎn)1.參與者知道對(duì)手的策略空間；2.納什均衡僅說(shuō)明參與者在他所掌握的信息下的最佳選擇，并不代表他能夠獲得最好的回報(bào)。10純策略與混合策略納什均衡?

純策略納什均衡如果博弈的參與者只能選擇一種策略，稱(chēng)為純策略(Pure

Strategy)，達(dá)到的納什均衡就是純策略納什均衡。純策略納什均衡并不一定存在。在式(1)中，當(dāng)?

和?

只表示單一策略時(shí)，就是純策略納什均衡。????

混合策略納什均衡如果博弈的參與者可以以某種概率分布隨機(jī)地選擇多個(gè)策略，稱(chēng)為混合策略(MixedStrategy)，達(dá)到的納什均衡就是混合策略納什均衡。在式(1)中，如果參與者?不再只能選擇單一策略?

∈

?

，而是可以在策略空間?

中以概???率分布σ?選擇多個(gè)策略，并且?????????(2)??~?

[?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

]

≥

?

[?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

]???????+???~????????+?????表示數(shù)學(xué)期望，對(duì)任意?

∈

?

和任意參與者?都成立，就是混合策略納什均衡。此時(shí)???和??不再表示單一策略，而是以概率分布同時(shí)出現(xiàn)的多個(gè)策略。11純策略納什均衡——囚徒困境?

在一個(gè)博弈中，有2個(gè)參與者：{?,

?}，策略空間為：{坦白，抗拒}。?

參與者?,

?的收益矩陣為如下，參與者?參與者策略坦白抗拒坦白(3,3)(5,0)抗拒(0,5)(1,1)?

這個(gè)博弈存在純策略納什均衡，納什均衡點(diǎn)為?,

?

均坦白，雙方收益均為3。?

使用nashpy計(jì)算納什均衡rps

=

nashpy.Game(np.array([[-3,0],

[-5,-1]]),np.array([[-3,-5],[0,-1]]))eqs=

list(rps.support_enumeration())混合策略納什均衡點(diǎn)計(jì)算結(jié)果：[[1,

0],

[1,0]]納什均衡狀態(tài)下的兩個(gè)參與者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，結(jié)果：[-3,

-3]12混合策略納什均衡——石頭

剪刀

布?

在一個(gè)博弈中，有2個(gè)參與者：{?,

?}，策略空間為：{石頭，剪刀，布}。?

參與者?的收益矩陣為如下，記為A，參與者?的收益矩陣為-A參與者?策略石頭剪刀布石頭0剪刀1布-11參與者-101-10?

這個(gè)博弈不存在純策略納什均衡，因?yàn)槭找鏋?1的一方總是能夠改變策略以提高收益。但是這個(gè)博弈存在混合策略納什均衡：參與者以各1/3的概率使用三種策略。?

使用nashpy計(jì)算納什均衡rps

=nashpy.Game(np.array[[0,1,-1-1],,0[

,1],

-[1,0]]));eqs

=list(rps.support_enumeration())混合策略納什均衡點(diǎn)計(jì)算結(jié)果：[[0.3333,

0.3333,

0.3333],

[0.3333,

0.3333,

0.3333]]納什均衡狀態(tài)下的兩個(gè)參與者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，結(jié)果：[0,

0]13混合策略納什均衡計(jì)算?

達(dá)到混合策略納什均衡時(shí)，每個(gè)參與者自身選擇的不同策略具有相同的期望收益。?

在石頭-剪刀-布博弈中，假定參與者A使用石頭、剪刀、布策略的概率分別為?、?、1

??

?

?，參與者B使用石頭、剪刀、布策略的概率分別為?、?、1

?

?

?

?。策略概率參與者??參與者?策略石頭剪刀布?石頭0?剪刀11

?

?

?

?布-11-10?1-101

?

?

?

??

參與者A選擇策略石頭、剪刀、布的期望收益如下，且?=

?=

?

，有：石頭剪刀布?=

0

?

?

+

1

?

?

?

1

?

1

?

?

?

?=

?1

?

?

+

0

?

?

+

1

?

(1

?

?

?

?)石頭??剪刀=

1

?

?

?

1

?

?

+

0

?

(1

?

?

?

?)布?

可以得到?

=

1/3,

?

=

1/3；同理得到?

=

1/3,

?

=

1/3。即參與者以各1/3的概率使用三種策略。143合作博弈與Shapley值15合作博弈基本概念?

合作博弈是指若干參與者結(jié)成聯(lián)盟，共同合作爭(zhēng)取聯(lián)盟效用最大化，并在聯(lián)盟內(nèi)部進(jìn)行分配。當(dāng)聯(lián)盟成立后，組成聯(lián)盟的參與者不再關(guān)心自己的利益，而是為整個(gè)聯(lián)盟的最大利益而努力。?

我們使用

(?,?(?))來(lái)定義一個(gè)合作博弈，博弈中共有?={1,2,……,?}個(gè)參與者，參與者的子集(包括空集和全集)可以任意結(jié)成聯(lián)盟?，?共有2?種組合。?(?):

??

∈?是聯(lián)盟?的收益，也被稱(chēng)為特征函數(shù)(Characteristic

Function)。?

特征函數(shù)的性質(zhì)

空集的特征函數(shù)為0，即?

?

=0

聯(lián)盟規(guī)模越大，特征函數(shù)(聯(lián)盟收益)越高，這一性質(zhì)被稱(chēng)為超可加性(Superadditivity)。即對(duì)任意?

?

N,

?

?

N,

?

∩

?

=

?，有?

?

+

?

≥

?

?

+

?(?

)。1?1?1?1?以本文風(fēng)格輪動(dòng)投資為例，{大盤(pán)成長(zhǎng)，小盤(pán)價(jià)值}投資組合可以組成一個(gè)聯(lián)盟，這個(gè)投資組合的效用(可以是收益率或其他度量指標(biāo))就是它們的特征函數(shù)。16合作博弈收益的分配?

合作博弈最大的一個(gè)特點(diǎn)是在聯(lián)盟的收益形成后，需要通過(guò)協(xié)議在參與者之間分配。我們接下來(lái)重點(diǎn)介紹收益的分配，因?yàn)樵谧C券投資問(wèn)題中，分配規(guī)則也決定了如何確定證券的權(quán)重，而權(quán)重分配是投資策略的最終落腳點(diǎn)。?

對(duì)于合作博弈

?,

?

?

，?

=

1,2,

…

,

?

，對(duì)每個(gè)參與者?

∈

?,

收益分配結(jié)果為實(shí)數(shù)??，形成的?維向量為?

=

(?

,

…

…

,

?

)，如果?滿足：??σ?

=

?

?

，??

≥

?

??∈?

?(3)則稱(chēng)?是聯(lián)盟的一個(gè)分配(Allocation)。?

式(3)表明分配有兩個(gè)特征：①所有參與者的收益分配之和不能超過(guò)全集的收益；②每個(gè)參與者通過(guò)聯(lián)盟獲得分配的收益不能低于他自身參與博弈應(yīng)得的收益，即合作的收益不能小于非合作的收益。17收益分配中的核心?

如果一個(gè)分配?

=

(?

,

…

…

,

?

)，對(duì)于全集?的任意子集?

?

N，都有1?σ

?

≥

?

?(4)?∈?

?則稱(chēng)?是分配的核心(allocation

inthe

core)。?

分配的核心的含義是：對(duì)于結(jié)成的每個(gè)聯(lián)盟，分配方案應(yīng)該使得聯(lián)盟所有參與者的收益之和，不低于他們形成的聯(lián)盟的收益。?

分配的核心——例A某合作博弈有{?,2,3}

共3個(gè)參與者，特征函數(shù)值(聯(lián)盟收益)如下表所示：聯(lián)盟?

??(?)?(?)?(?)?(?,

?)?(?,

?)?(?,

?)

?(?,

?,

?)特征函數(shù)值00000111根據(jù)分配的定義、分配的核心的定義，有：?

≥

0,

?

≥

0,

?

≥

0,

?

+

0≥?,

?

+

?

≥

?,

?

+

?

≥

?,

?

+

?

+

?

=

?1??1?

??1?1??可以得到

?

≥

?,

?

≥

0,

?

≥

0，因此分配的核心中只有一個(gè)方案：?1??

=

?

,

?

,

?

=

(0,

0,

?)?1?18合作博弈分配規(guī)則——Shapley值?

在例A中，參與者3獲得了全部收益，參與者1、參與者2收益為0。但是根據(jù)特征函數(shù)有?

3

=

0，即參與者3僅依靠自身無(wú)法獲得任何收益，因此分配方案并不合理。?

Lloyd

Shapley給出了另一種收益分配規(guī)則，稱(chēng)為Shapley值。根據(jù)Shapley值，每個(gè)參與者應(yīng)得的收益與他對(duì)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)正相關(guān)，而參與者對(duì)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)是通過(guò)當(dāng)他在聯(lián)盟中，以及不在聯(lián)盟中時(shí)聯(lián)盟的收益差距來(lái)衡量的。?

令?為特征函數(shù)值，則合作博弈中參與者?(?

∈

?)的Shapley值??

?

，是從聯(lián)盟收益到參與者獲得分配的映射，計(jì)算公式為?

?

?

!

?

?

?

!??

?

=

?[?

?

?

?

?\{?

)](5)?!?∈?其中|?|表示聯(lián)盟?中元素的個(gè)數(shù)，?

?

為聯(lián)盟?的收益，?

?\{?

)為聯(lián)盟?中剔除參與者?之后的收益，則[?

?

?

?

?\{?

)]表示參與者?在他所參與的聯(lián)盟?中做出的貢獻(xiàn)，聯(lián)盟???

?

!

?

?1

!存在的概率為。因此參與者

?

獲得的分配等于他對(duì)各個(gè)聯(lián)盟的邊際貢獻(xiàn)的?!概率加權(quán)值。舉例A中3個(gè)參與者的Shapley值，即分配結(jié)果為(1/6,1/6,

2/3)。19Shapley值的性質(zhì)?

有效性。所有參與者的Shapley值之和等于全集聯(lián)盟的收益，即

σ

?

?

=

?

??????

對(duì)稱(chēng)性。如果對(duì)任意兩個(gè)參與者?和?

，以及不含?和?

的聯(lián)盟?

，有?

?

∪

?

=

?(?

∪

?)

，那么有?

?

=

?

?

。???

虛擬參與者。如果參與者?在任何情況下都沒(méi)有貢獻(xiàn)，那么其Shapley值為0。即如果對(duì)全部?，都有?

?

∪

?

=

?(?)，那么??

?

=

0。?

可加性。對(duì)兩個(gè)特征函數(shù)?和?，有?

?

+

?

=

?

?

+

?(?)。20Shapley值的計(jì)算?

我們計(jì)算例A中各參與者的shapley值，特征函數(shù)值如下：聯(lián)盟?

??(?)?(?)?(?)?(?,

?)?(?,

?)?(?,

?)

?(?,

?,

?)特征函數(shù)值00000111(1,

2,

3)3名參與者一共可以形成8種聯(lián)盟結(jié)果，包括空集和全集。其中包含參與者1的聯(lián)盟有4個(gè)，分別是(1),

(1,2),

(1,3),

(1,2,3)。這4個(gè)聯(lián)盟的特征函數(shù)值分別是{0,0,

1,

1}；當(dāng)這4個(gè)聯(lián)盟中不含參與者1時(shí)，特征函數(shù)值分別是{0,0,

0,

1}。則參與者1的Shapley值為：3?1

!

1?1

!3!3?2

!

2?1

!3!3?2

!

2?1

!3!3?3

!

3?1

!3!16?1(?)

=0

?

0

!

+0

?

0

!

+?

?

0

!

+?

?

?

!=12同樣可以計(jì)算得到參與者2、參與者3的Shapley值

?

?

=

,

?

?

=

，2363并且有

?

?

+

?

?

+

?

?

=

?(?,

?,

?)。123214實(shí)踐—風(fēng)格與行業(yè)輪動(dòng)22博弈論方法的風(fēng)格輪動(dòng)策略?

本節(jié)使用博弈論框架完成大盤(pán)成長(zhǎng)、大盤(pán)價(jià)值、小盤(pán)成長(zhǎng)、小盤(pán)價(jià)值4種風(fēng)格的輪動(dòng)，同時(shí)也給出行業(yè)輪動(dòng)的初步效果。?

我們通過(guò)倒序的方式說(shuō)明博弈論投資模型的幾個(gè)關(guān)鍵步驟：

框架最終目標(biāo)是計(jì)算投資組合中的資產(chǎn)權(quán)重，這里采用合作博弈中的Shapley值收益分配方法。這是由于兩者原理相同：對(duì)聯(lián)盟貢獻(xiàn)越高的參與者，所獲得的收益分配越高；同樣，對(duì)投資組合貢獻(xiàn)越大的資產(chǎn)，所獲得的權(quán)重分配也越高。

而若要在合作博弈中分配收益，需要先得到特征函數(shù)值，即每個(gè)參與者及參與者形成的各個(gè)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)。這里通過(guò)計(jì)算每個(gè)聯(lián)盟與市場(chǎng)基準(zhǔn)的非合作博弈在納什均衡點(diǎn)的收益來(lái)實(shí)現(xiàn)。

為了計(jì)算納什均衡點(diǎn)的聯(lián)盟收益，首先要選擇合適的參與者、參與者策略，建立非合作博弈。23博弈論投資方法框架博弈論投資方法框架特征函數(shù)合作博弈非合作博弈2?個(gè)聯(lián)盟與市場(chǎng)的非合作博弈Shapley值納什均衡資產(chǎn)權(quán)重資產(chǎn)貢獻(xiàn)資料：華西證券研究所24非合作博弈的建立?

我們首先建立風(fēng)格資產(chǎn)和市場(chǎng)基準(zhǔn)之間的非合作博弈。?

博弈中風(fēng)格資產(chǎn)參與者有兩個(gè)：大盤(pán)和小盤(pán)；成長(zhǎng)、價(jià)值分別被視為大盤(pán)、小盤(pán)參與者的兩種博弈策略，使用巨潮風(fēng)格指數(shù)表征。大盤(pán)、小盤(pán)既可以單獨(dú)與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈，也可以結(jié)成聯(lián)盟后再與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈。參與者策略A1指數(shù)代碼399372.SZ399373.SZ399376.SZ399377.SZ指數(shù)名稱(chēng)大盤(pán)成長(zhǎng)大盤(pán)價(jià)值小盤(pán)成長(zhǎng)小盤(pán)價(jià)值大盤(pán)(A)A2B1小盤(pán)(B)B2?

博弈的另一方是市場(chǎng)基準(zhǔn)(使用中證全指)，它能夠“選擇”三種策略來(lái)博弈：牛市、熊市、震蕩市。?

在參與者大盤(pán)、小盤(pán)，與參與者市場(chǎng)基準(zhǔn)進(jìn)行的非合作博弈中，大盤(pán)、小盤(pán)的目標(biāo)是戰(zhàn)勝市場(chǎng)基準(zhǔn)，市場(chǎng)基準(zhǔn)的目標(biāo)則是戰(zhàn)勝大盤(pán)、小盤(pán)。25非合作博弈的收益度量?

以大盤(pán)風(fēng)格單獨(dú)與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈為例，這是一個(gè)零和博弈，大盤(pán)風(fēng)格的博弈收益就是市場(chǎng)基準(zhǔn)的損失。?

在實(shí)際的博弈中，策略的選擇依據(jù)自然是參與者對(duì)自身策略未來(lái)效果的預(yù)期，但對(duì)于量化模型回測(cè)而言，我們需要指定一種可回溯的收益度量方式。這里使用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的效用函數(shù)?2?

=

?

?

?(6)2?

具體來(lái)說(shuō)，我們分別計(jì)算大盤(pán)成長(zhǎng)、大盤(pán)價(jià)值、小盤(pán)成長(zhǎng)、小盤(pán)價(jià)值、市場(chǎng)基準(zhǔn)，共5個(gè)資產(chǎn)各自的效用函數(shù)值，由于是零和博弈，因此前4個(gè)資產(chǎn)的效用函數(shù)值分別減去市場(chǎng)基準(zhǔn)效用函數(shù)值，得到博弈的收益矩陣。?

以上方法計(jì)算的博弈收益可能<0，這將影響Shayley值計(jì)算。由于我們關(guān)注的是哪個(gè)資產(chǎn)的博弈收益相對(duì)更高，而不是正或者負(fù)，因此可以在收益矩陣中減去收益最小值，將收益矩陣轉(zhuǎn)換為正。26非合作博弈的收益矩陣?

根據(jù)市場(chǎng)基準(zhǔn)指數(shù)當(dāng)前值與歷史均值的關(guān)系，將市場(chǎng)狀態(tài)劃分為牛市、熊市、震蕩市。?

在每種市場(chǎng)狀態(tài)內(nèi)，根據(jù)式(6)計(jì)算參與者大盤(pán)、小盤(pán)采用某種策略的效用，以及市場(chǎng)基準(zhǔn)采用某種策略的效用，風(fēng)格資產(chǎn)的收益=

??

?，即收益矩陣的元素。風(fēng)格基準(zhǔn)?

收益矩陣中，每一行表代表風(fēng)格資產(chǎn)選擇的策略，每一列代表市場(chǎng)基準(zhǔn)選擇的策略。策略成長(zhǎng)價(jià)值成長(zhǎng)價(jià)值牛市震蕩市熊市0.0042610.00495400.0012850.0031990.0010580.0015630.0006910.0016400.0024490.002795大盤(pán)小盤(pán)0.00136927非合作博弈的納什均衡(1/2)?

根據(jù)收益矩陣計(jì)算納什均衡，有以下要點(diǎn)：計(jì)算納什均衡，是為了得到參與者的收益，也就是對(duì)投資組合的貢獻(xiàn)。大盤(pán)、小盤(pán)兩個(gè)參與者，可以單獨(dú)，也可以結(jié)成聯(lián)盟與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈。?

大盤(pán)單獨(dú)與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈時(shí)，收益矩陣A1為牛市震蕩市熊市大盤(pán)成長(zhǎng)大盤(pán)價(jià)值0.0012850.0031990.0006910.0016400.0042610.004954?

小盤(pán)單獨(dú)與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈時(shí)，收益矩陣A2為牛市震蕩市熊市0大盤(pán)成長(zhǎng)大盤(pán)價(jià)值0.0010580.0015630.0024490.0027950.00136928非合作博弈的納什均衡(2/2)?

大盤(pán)與小盤(pán)結(jié)成聯(lián)盟與市場(chǎng)基準(zhǔn)博弈時(shí)，共有4種組合：(大盤(pán)成長(zhǎng),

小盤(pán)成長(zhǎng)),

(大盤(pán)成長(zhǎng),

小盤(pán)價(jià)值),(大盤(pán)價(jià)值,

小盤(pán)成長(zhǎng)),

(大盤(pán)價(jià)值,

小盤(pán)價(jià)值)?

此時(shí)每種聯(lián)盟博弈的收益為兩個(gè)參與者的策略組合之和，收益矩陣A3為：A1A2牛市震蕩市0.003140.0034860.0040890.004435熊市大盤(pán)成長(zhǎng),

小盤(pán)成長(zhǎng)大盤(pán)成長(zhǎng),

小盤(pán)價(jià)值大盤(pán)價(jià)值,

小盤(pán)成長(zhǎng)大盤(pán)價(jià)值,

小盤(pán)價(jià)值0.0023430.0028480.0042570.0047620.0042610.0056300.0049540.006323?

一般地，如果有?個(gè)風(fēng)格資產(chǎn)參與者，每個(gè)參與者?各個(gè)有策略，則收益矩陣數(shù)量為??

?

2

?

?個(gè)(不含空集)，并且收益矩陣的最大維度為?

×

?，納什均衡計(jì)算量以???σ?=1

?超過(guò)指數(shù)級(jí)的規(guī)模增長(zhǎng)，因此對(duì)算力有很高要求。29風(fēng)格資產(chǎn)參與者的Shapley值?

得到A1、A2、A3收益矩陣后，可以分別計(jì)算納什均衡點(diǎn)，得到在給定市場(chǎng)基準(zhǔn)策略的情況下，風(fēng)格資產(chǎn)參與者的最優(yōu)策略；對(duì)應(yīng)的收益就是風(fēng)格資產(chǎn)參與者的最優(yōu)收益，這一結(jié)果可以作為合作博弈中的特征函數(shù)值；再根據(jù)式(5)計(jì)算Shapley值，Shapley值占比就是參與者的分配比例，即權(quán)重。特征函數(shù)值?

??(大盤(pán))?(小盤(pán))?(大盤(pán)，小盤(pán))00.0016400.0013690.004435參與者大盤(pán)小盤(pán)0.0023530.002082Shapley值參與者權(quán)重大盤(pán)小盤(pán)53.05%46.95%30風(fēng)格資產(chǎn)參與者的策略權(quán)重?

以上計(jì)算得到了兩個(gè)風(fēng)格資產(chǎn)大盤(pán)、小盤(pán)的權(quán)重，還需要計(jì)算(大盤(pán)成長(zhǎng)，大盤(pán)價(jià)值，小盤(pán)成長(zhǎng)，小盤(pán)價(jià)值)四個(gè)投資標(biāo)的的權(quán)重，即參與者具體策略的權(quán)重。?

假定有參與者?,

?,

?，各有?個(gè)策略，分別記為?

,

?

,

?

?,

?,

?

∈

(1,2,

…

,

?)

，策略分別???被參與者?,

?,

?單獨(dú)選擇的概率為?

,

?

,

?

?,

?,

?

∈

(1,2,

…

,

?)

，三個(gè)參與者的Shapley???值占比分別為?

?

,

?

?

,

?

?

，則每個(gè)策略在資產(chǎn)聯(lián)盟全集中被選擇的概率為?

?

=