一元二次方程根及系數(shù)關(guān)系中考難題突破

.z.一、巧妙運用韋達定理例1先閱讀以下第〔1〕題的解答過程〔1〕αβ是方程*2＋2*－7＝0的兩個實數(shù)根。求α2＋3β2＋4β的值。解法1∵α、β是方程*2＋2*－7＝0的兩實數(shù)根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3〔7－2β〕＋4β＝28－2〔α＋β〕＝28－2×〔－2〕＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α2＋3β2＋4β＝〔－1＋2〕2＋3(－1－2)2＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由得：α＋β＝－2αβ＝－7∴α2＋β2＝〔α＋β〕2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4〔α2＋β2〕＋4〔α＋β〕＝4×18＋4×〔－2〕＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32請仿照上面解法中的一種或自己另外尋找一種方法解答以下各題〔2〕*1、*2是方程*2－*－9＝0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式。*13＋7*22＋3*2－66的值。解∵*1、*2是方程*2－*－9＝0的兩根∴*1＋*2＝1且*12－*1－9＝0*22－*2－9＝0即*12＝*1＋9*22＝*2＋9∴*13＋7*22＋3*2－66＝*1(*1＋9)＋7(*2＋9)＋3*2－66＝*12＋9*1＋10*2－3＝*1＋9＋9*1＋10*2－3＝10(*1＋*2)＋6＝16例2a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：顯然二式具有共同的形式：*2＋*－1＝0．于是a和b可視為該一元二次方程的兩個根．再觀察待求式的構(gòu)造，容易想到直接應(yīng)用韋達定理求解．解：由可構(gòu)造一個一元二次方程*2＋*－1=0，其二根為a、b．由韋達定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等變形，再應(yīng)用韋達定理假設(shè)條件或待證結(jié)論，經(jīng)過恒等變形或換元等方法，構(gòu)造出形如a＋b、a·b形式的式子，則可考慮應(yīng)用韋達定理．例3假設(shè)實數(shù)*、y、z滿足*＝6－y，z2＝*y－9．求證：*＝y(tǒng)．證明：將二式變形為*＋y＝6，*y＝z2＋9．由韋達定理知*、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的兩個根．∵*、y是實數(shù)，∴△＝36－4z2－36≥0．則z2≤0，又∵z為實數(shù)，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故*＝y(tǒng)．由二式，易知*、y是t2＋3t－8＝0的兩個根，由韋達定理三、一元二次方程兩根的關(guān)系(或系數(shù)關(guān)系)求系數(shù)關(guān)系(或求兩根的關(guān)系)，可考慮用韋達定理例5方程*2＋p*＋q＝0的二根之比為1∶2，方程的判別式的值為1．求p與q之值，解此方程．解：設(shè)*2＋p*＋q＝0的兩根為a、2a，則由韋達定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程為*2－3*＋2＝0或*2＋3*＋2＝0．解得*1＝1，*2＝2，或*1＝－1，*2＝－2．例6設(shè)方程*2＋p*＋q＝0的兩根之差等于方程*2＋q*＋p＝0的兩根之差，求證：p＝q或p＋q＝－4．證明：設(shè)方程*2＋p*＋q＝0的兩根為α、β，*2＋q*＋P＝0的兩根為α＇、β＇．由題意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．從而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、關(guān)于兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮用韋達定理例7m為問值時，方程*2＋m*－3＝0與方程*2－4*－(m－1)＝0解：設(shè)公共根為α，易知，原方程*2+m*－3＝0的兩根為α、－m－α；*2－4*－(m－1)＝0的兩根為α、4－α．由韋達定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故當(dāng)m＝－2時，兩個方程有一個公共根，這個公共根為3．課堂練習(xí)：1.關(guān)于*的方程4*2＋4b*＋7b＝0有兩個相等的實數(shù)根，y1、y2是關(guān)于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的兩個根。求以、為根的一元二次方程。2.關(guān)于*的方程*2－*＋k＝0有兩個不相等的實數(shù)根?！?〕求k的取值圍〔2〕化簡|－k－2|＋3.關(guān)于*的方程〔a2－1〕*2＋2(a＋2)*＋1＝0有實數(shù)根。求a的取值圍?！蔡崾荆悍謅2－1＝0，a2－1≠0討論〕4.關(guān)于*的方程*2－2(k＋1)*＋k2＋2k－1＝0①〔1〕求證，對任意實數(shù)k的方程①總有兩個不相等的實數(shù)根?！?〕如果a是關(guān)于y的方程y2－(*1＋*2－2k)y＋(*1－k)(*2－k)＝0②的根。其中*1、*2是方程①的兩根求代數(shù)式〔－〕÷·的值。課后穩(wěn)固根底練習(xí)1.方程2*2－2a*＋(a＋4)a＝0的兩實根分別為*1、*2且滿足(*1－1)(*2－1)＝，求a的值。2.關(guān)于*的方程*2－(5k＋1)*＋k2－2＝0是否存在負數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4，假設(shè)存在，求出滿足條件的k的值，假設(shè)不存在，請說明理由。3.設(shè)α、β是方程*2＋*＋2＝0的兩根，不解方程，求＋的值。4.關(guān)于*的方程k2*2＋(2k－1)*＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根*1、*2?！?〕求k的取值圍?！?〕是否存在實數(shù)k，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在求出k的值。如果不存在，請說明理由。解：〔1〕根據(jù)題意，得Δ＝(2k－1)2－4k2>0的解得k<.∴當(dāng)k<時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。〔2〕存在如果方程的兩實數(shù)根*1、*2互為相反數(shù)，則*1＋*2＝－＝0①解得k＝,經(jīng)檢驗k＝是方程①的解?！喈?dāng)k＝時，方程的兩實數(shù)根*1、*2互為相反數(shù)。讀了上面的解答過程，請判斷是否錯誤，如果有指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。5.如圖△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，假設(shè)AD、BD的長是關(guān)于*的方程*2＋p*＋q＝0的兩根，且tgA－tgB＝2，CD＝1，求p、q的值，并解此二次方程。能力提升題1.關(guān)于*的方程*2－(2a－1)*＋(a－3)＝0.〔1〕求證：無論a為任何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根?！?〕以該方程的兩根為一直角三角形的兩直角邊長，該三角形斜邊上的中線長為，數(shù)a的值。2.方程5a2＋2002a＋9＝0及9b2＋2002b＋5＝0且ab≠1，求的值。3.已在△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于*的一元二次方程*2－(2k＋3)*＋k2＋3k＋2＝0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5?！?〕