第6章控制系統(tǒng)的設(shè)計和校正

第6章控制系統(tǒng)的設(shè)計和校正內(nèi)容提要

為改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，常在系統(tǒng)中附加校正裝置，這就是系統(tǒng)校正。按校正裝置在系統(tǒng)中的位置不同，系統(tǒng)校正分為串聯(lián)校正，反饋校正和復(fù)合校正。根據(jù)校正裝置的特性又可分為超前校正，滯后校正，滯后-超前校正。校正的實質(zhì)表現(xiàn)為修改描述系統(tǒng)運動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。設(shè)計校正裝置的過程是一個多次試探的過程并帶有許多經(jīng)驗，計算機輔助設(shè)計為系統(tǒng)校正裝置的設(shè)計提供了有效手段。介紹了基于MATLAB和SIMULINK的線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法。知識要點

線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律比例（P）、積分（I）、比例-微分（PD）、比例-積分（PI）和比例-積分-微分（PID）控制規(guī)律。超前校正，滯后校正，滯后-超前校正，用校正裝置的不同特性改善系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。串聯(lián)校正，反饋校正和復(fù)合校正。利用MATLAB和SIMULINK進行線性控制系統(tǒng)設(shè)計。

對一個控制系統(tǒng)來說,如果它的元部件、參數(shù)已經(jīng)給定,就要分析它能否滿足所要求的各項性能指標(biāo)。一般把解決這類問題的過程稱為系統(tǒng)的分析。在實際工程控制問題中，還有另一類問題需要考慮，即往往事先確定了要求滿足的性能指標(biāo)，要求設(shè)計一個系統(tǒng)并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)來滿足性能指標(biāo)的要求，或考慮對原已選定的系統(tǒng)增加某些必要的元件或環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)能夠全面地滿足所要求的性能指標(biāo)，同時也要照顧到工藝性、經(jīng)濟性、使用壽命和體積等。這類問題稱為系統(tǒng)的綜合與校正，或者稱為系統(tǒng)的設(shè)計。目錄§6.1概述§6.2線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律§6.3校正裝置及其特性§6.4采用根軌跡法進行串聯(lián)校正§6.5頻率法進行串聯(lián)校正§6.6反饋校正§6.7復(fù)合校正§6.8基于MATLAB和SIMULINK的線性控制系統(tǒng)設(shè)計小結(jié)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，按其類型可以分為：(1)時域性能指標(biāo)，包括穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和動態(tài)性能指標(biāo)；(2)頻域性能指標(biāo)，包括開環(huán)頻域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)；(3)綜合性能指標(biāo)(誤差積分準(zhǔn)則)，它是一類綜合指標(biāo)，若對這個性能指標(biāo)取極值，則可獲得系統(tǒng)的某些重要參數(shù)值，而這些參數(shù)值可以保證該綜合性能為最優(yōu)?！?.1概述6.1.1系統(tǒng)的性能指標(biāo)1.時域性能指標(biāo)

評價控制系統(tǒng)優(yōu)劣的性能指標(biāo)，一般是根據(jù)系統(tǒng)在典型輸入下輸出響應(yīng)的某些特征點規(guī)定的。常用的時域指標(biāo)有：(1)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

穩(wěn)態(tài)誤差ess

(2)動態(tài)指標(biāo)上升時間tr峰值時間tp快速性調(diào)整時間ts

最大超調(diào)量(或最大百分比超調(diào)量)Mp準(zhǔn)確性阻尼比

，振蕩次數(shù)N穩(wěn)定性2.頻域性能指標(biāo)(1)開環(huán)頻域指標(biāo)開環(huán)截止頻率ωc(rad/s)；相角裕量γ(°)

；幅值裕量Kg。(2)閉環(huán)頻域指標(biāo)一般應(yīng)對閉環(huán)頻率特性提出要求，例如給出閉環(huán)頻率特性曲線，并給出閉環(huán)頻域指標(biāo)如下：諧振頻率ωr；諧振峰值Mr。閉環(huán)截止頻率ωb與閉環(huán)帶寬0~ωb： 一般規(guī)定A(ω)由A(0)下降到－3dB時的頻率，亦即A(ω)由A(0)下降到0.707A(0)時的頻率叫作系統(tǒng)的閉環(huán)截止頻率。頻率由0~ωb的范圍稱為系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬。3.綜合性能指標(biāo)(誤差積分準(zhǔn)則)綜合性能指標(biāo)有各種不同的形式，常用的有以下幾種：（1）誤差積分(IE)（2）絕對誤差積分(IAE)（3）平方誤差積分(ISE)（5）時間乘絕對誤差積分(ITAE)以上各式中,，見圖3—1。（4）時間乘平方誤差積分(ITSE)4.各類性能指標(biāo)之間的關(guān)系

各類性能指標(biāo)是從不同的角度表示系統(tǒng)的性能，它們之間存在必然的內(nèi)在聯(lián)系。對于二階系統(tǒng)，時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)式子表示出來。它們可統(tǒng)一采用阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩頻率ωn來描述，如所示。二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)6.1.2系統(tǒng)的校正

校正裝置的形式及它們和系統(tǒng)其它部分的聯(lián)接方式，稱為系統(tǒng)的校正方式。校正方式可以分為串聯(lián)校正、反饋(并聯(lián))校正、前置校正和干擾補償?shù)?。串?lián)校正和并聯(lián)校正是最常見的兩種校正方式。1.串聯(lián)校正校正裝置串聯(lián)在系統(tǒng)的前向通道中，如圖6-1所示。圖6-1串聯(lián)校正

圖6－2反饋校正圖6-3前置校正圖6-4干擾補償3.前置校正前置校正又稱為前饋校正，是在系統(tǒng)反饋回路之外采用的校正方式之一，如圖6-3所示。4.干擾補償干擾補償裝置Gc(s)直接或間接測量干擾信號n(t)，并經(jīng)變換后接入系統(tǒng)，形成一條附加的、對干擾的影響進行補償?shù)耐ǖ?，如圖6-4所示。

根據(jù)校正裝置的特性，校正裝置可分為超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置。(1)超前校正裝置校正裝置輸出信號在相位上超前于輸入信號，即校正裝置具有正的相角特性，這種校正裝置稱為超前校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為超前校正。(2)滯后校正裝置校正裝置輸出信號在相位上落后于輸入信號，即校正裝置具有負的相角特性，這種校正裝置稱為滯后校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為滯后校正。(3)滯后-超前校正裝置若校正裝置在某一頻率范圍內(nèi)具有負的相角特性，而在另一頻率范圍內(nèi)卻具有正的相角特性，這種校正裝置稱滯后-超前校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為滯后-超前校正。返回§6.2線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律

校正裝置中最常用的是PID控制規(guī)律。PID控制是比例積分微分控制的簡稱。在科學(xué)技術(shù)特別是電子計算機迅速發(fā)展的今天，涌現(xiàn)出許多新的控制方法，但PID由于它自身的優(yōu)點仍然是得到最廣泛應(yīng)用的基本控制規(guī)律。PID控制具有以下優(yōu)點：(1)原理簡單，使用方便；(2)適應(yīng)性強,按PID控制規(guī)律進行工作的控制器早已商品化，即使目前最新式的過程控制計算機，其基本控制功能也仍然有PID控制；(3)魯棒性（Robustness）強，即其控制品質(zhì)對被控制對象特性的變化不大敏感。

在控制系統(tǒng)的設(shè)計與校正中，PID控制規(guī)律的優(yōu)越性是明顯的，它的基本原理卻比較簡單?；綪ID控制規(guī)律可描述為這里KP、KI、KD

為常數(shù)。設(shè)計者的問題是如何恰當(dāng)?shù)亟M合這些元件或環(huán)節(jié)，確定連接方式以及它們的參數(shù)，以便使系統(tǒng)全面滿足所要求的性能指標(biāo)。比例控制器的傳遞函數(shù)為式中，KP稱為比例系數(shù)或增益（視情況可設(shè)置為正或負）。

比例控制器作用于系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖6-5所示。系統(tǒng)的特征方程6.2.1比例控制作用（P/Proportional）圖6-5具有比例控制器的系統(tǒng)6.2.2比例微分控制作用（PD/ProportionalDerivative）

比例微分控制的傳遞函數(shù)為式中，

KD稱為微分增益。

采用比例微分（PD）校正二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖6-6所示?？刂破鞯妮敵鲂盘枺簣D6-6具有PD控制器的系統(tǒng)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：串入PD控制器后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：圖6-7微分作用的波形圖

微分控制對系統(tǒng)的影響可通過系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的作用來說明。設(shè)系統(tǒng)僅有比例控制的單位階躍響應(yīng)如圖6-7（a）所示，相應(yīng)的誤差信號及其誤差對時間的導(dǎo)數(shù)分別示于圖6-7（b）和（c）。從圖（a）可看出，僅有比例控制時系統(tǒng)階躍響應(yīng)有相當(dāng)大的超調(diào)量和較強烈的振蕩。

微分控制反映誤差的變化率，只有當(dāng)誤差隨時間變化時，微分作用才會對系統(tǒng)起作用，而對無變化或緩慢變化的對象不起作用，因此微分控制在任何情況下不能單獨地與被控對象串聯(lián)使用，而只能構(gòu)成PD或PID控制。另外，微分控制有放大噪聲信號的缺點。6.2.3積分（I/

Integral）控制作用積分控制的傳遞函數(shù)PI控制器的傳遞函數(shù)為6.2.4比例積分微分控制作用(PID/Proportional-Integral-Differential

)

PID控制器是比例、積分、微分三種控制作用的疊加，又稱為比例-微分-積分校正，其傳遞函數(shù)可表示為可改寫為：式中，稱為PID控制器的積分時間；

稱為PID控制器的微分時間。實際工業(yè)中PID控制器的傳遞函數(shù)為例6-1對一個三階對象模型僅采用比例控制，由MATLAB，可研究不同KP值下閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6-8所示。圖6-8P控制KP=0.05,0.055,0.08,0.09MATLAB程序：>>G=tf(1,[1,3,3,1]);>>p=0.1:0.5:2;>>fori=1:length(p);G=feedback(p(i)*G,1);step(G),holdon;>>end

可以看出，當(dāng)KP的值增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度也將增快。但當(dāng)KP增大到一定值，則閉環(huán)系統(tǒng)將趨于不穩(wěn)定。如圖所示，將KP值固定，采用PI控制。采用MATLAB繪出不同TI值下的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖6-9。圖6-9PI控制將Kp、TI值固定Kp＝1,TI＝1使用PID控制。研究Td變化時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖6-10所示。>>Kp=1;Ti=1;Td=0.1:0.2:2;>>G=tf(1,[1,3,3,1]);>>fori=1:length(Td);Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0]);G1=feedback(G*Gc,1);step(G1),holdon;>>end;>>axis([02001.6])圖6-10PID控制

同樣看出TD值增大時，系統(tǒng)的響應(yīng)速度將增大，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值也將增加。返回§6.3校正裝置及其特性6.3.1超前校正裝置圖6-11RC超前網(wǎng)絡(luò)

圖6-11所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的超前校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為令則

校正裝置的零點，極點均位于負實軸上，如圖6-12所示。其中零點總位于極點的右邊，零、極點之間的距離由

值確定。圖6-12超前校正的零、極點分布

另外從校正裝置的表達式來看，采用無源相位超前校正裝置時，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降

倍，為了補償超前網(wǎng)絡(luò)帶來的幅值衰減，通常在采用無源RC超前校正裝置的同時串入一個放大倍數(shù)Kc=1/

的放大器。超前校正網(wǎng)絡(luò)加放大器后，校正裝置的傳遞函數(shù)其頻率特性

作出超前校正網(wǎng)絡(luò)的頻率特性曲線如圖6-13所示，相頻曲線具有正相角，即網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上超前于輸入，故稱為超前校正網(wǎng)絡(luò)。超前網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的超前相角為其最大超前相角又可寫成如下形式圖6－13超前網(wǎng)絡(luò)的Bode圖從圖6-13可知：當(dāng)ω→0時Lc(ω)→0；當(dāng)ω→∞時Lc(ω)→－20lga；而當(dāng) 時，超前校正裝置是一個高通濾波器。6.3.2滯后校正裝置圖6－14RC滯后網(wǎng)絡(luò)圖6-14所示為RC滯后網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)令則

滯后網(wǎng)絡(luò)的零點,極點，零、極點分布如圖6-15所示，極點pc總位于零點zc的右邊，具體位置與β有關(guān)。圖6-15滯后網(wǎng)絡(luò)的零、極點分布滯后網(wǎng)絡(luò)的頻率特性

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-16所示，相頻曲線具有負相角，這表明，網(wǎng)絡(luò)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上滯后于輸入，故稱為滯后網(wǎng)絡(luò)。圖6-16滯后校正裝置的Bode圖

與超前校正網(wǎng)絡(luò)一樣，可得滯后校正網(wǎng)絡(luò)的最大滯后相角及對應(yīng)頻率

從對數(shù)頻率特性看，滯后校正裝置是一個低通濾波器，且β值愈大，抑制高頻噪聲的能力愈強，滯后校正裝置主要是利用其高頻衰減特性。對于高精度，而快速性要求不高的系統(tǒng)常采用滯后校正，如恒溫控制等。6.3.3滯后-超前校正裝置圖6-17RC滯后－超前網(wǎng)絡(luò)

圖6-17所示為RC滯后-超前校正網(wǎng)絡(luò)。其傳遞函數(shù)為令且設(shè)分母多項式分解為兩個一次式，時間常數(shù)取為T1、T2，則上式可寫成

式中，；并假設(shè)，那么，式中前一部分為滯后校正，后一部分為超前校正，其零、極點分布如圖6-18所示。圖6-18滯后－超前校正裝置的零、極點分布圖

頻率特性網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-19所示?？梢钥闯?，曲線低頻段具有負相角，起滯后校正作用，高頻段具有正相角，起超前校正作用。故稱滯后—超前校正裝置。圖6-19滯后－超前校正裝置的Bode圖返回6.4.1串聯(lián)超前校正

假設(shè)一個系統(tǒng)在所要求的增益下是不穩(wěn)定的，或雖穩(wěn)定，但系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性較差（超調(diào)量過大、調(diào)節(jié)時間過長）時，就應(yīng)對根軌跡進行校正，以便使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于根平面上希望的位置上?！?.4采用根軌跡法進行串聯(lián)校正解：原系統(tǒng)根軌跡如圖6-20所示。K=4時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點,閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比ζ=0.5，無阻尼自然頻率，靜態(tài)速度誤差系數(shù)。例6－2設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)超調(diào)量Mp

≤16.3%,過渡過程時間ts≤1.5s，試確定校正裝置Gc(s)。圖6-20系統(tǒng)根軌跡求得滿足題給條件的閉環(huán)極點為

由此看到原系統(tǒng)根軌跡需要加以修正，可在系統(tǒng)的前向通道中串入超前校正裝置。校正裝置的確定，應(yīng)使串入超前校正裝置后的根軌跡通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點，也就是必須滿足相角條件，用圖形來表示超前校正裝置零、極點應(yīng)提供的超前相角如圖6－21所示。校正裝置產(chǎn)生的超前相角圖6－21確定校正裝置零、極點

應(yīng)當(dāng)指出，對于給定的值，校正裝置的零、極點位置不是唯一的。在此常采用使系數(shù)a為最大可能值的方法確定零、極點位置。由圖可得則令得

由此確定了超前校正裝置的零、極點位置。而開環(huán)增益可通過根軌跡幅值條件來確定。本例中，原系統(tǒng)在希望主導(dǎo)極點上的相角

因此，為使根軌跡通過希望的閉環(huán)極點，超前校正裝置應(yīng)在該點（sd點）上產(chǎn)生的相角。而所以有故校正裝置的傳遞函數(shù)為

為補償超前校正裝置的幅值衰減，再串入一個放大倍數(shù)為Kc的補償放大器。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)根軌跡如圖6－20所示。由幅值條件求取K值補償放大器的增益靜態(tài)速度誤差系數(shù)第三個閉環(huán)極點由求得s3

=－3.4，其與校正裝置的零點s=2.9靠得很近，因此該極點對瞬態(tài)響應(yīng)的影響甚小。上述設(shè)計滿足要求。

通過此例可歸納出用根軌跡法設(shè)計超前校正裝置的步驟為：

（1）根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點的位置；（2）繪制原系統(tǒng)根軌跡，如果根軌跡不能通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點，則表明僅調(diào)整增益不能滿足給定要求，需加校正裝置。如果原系統(tǒng)根軌跡位于期望極點的右側(cè)，則應(yīng)串入超前校正裝置；（3）計算超前校正裝置應(yīng)提供的超前相角

（4）按式求校正裝置零、極點位置；（5）由幅值條件，確定校正后系統(tǒng)增益；（6）校驗系統(tǒng)的性能指標(biāo)，如果系統(tǒng)不能滿足要求指標(biāo)，適當(dāng)調(diào)整零、極點位置。如果需要大的靜態(tài)誤差系數(shù)，則應(yīng)采用其他方案。

本例利用MATLAB來校驗已校正系統(tǒng)和未校正系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線和單位斜坡響應(yīng)曲線或頻率特性曲線。本例校正前和校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為MATLAB給出單位階躍響應(yīng)曲線如圖6-22圖6-22已校正和未校正系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線%Unit-StepResponse%>>numg=4;>>deng=[1,2,0];>>[num,den]=cloop(numg,deng);>>numc=18.7*[1,2.9];>>denc=conv([1,0],conv([1,2],[1,5.4]));>>[num1,den1]=cloop(numc,denc);>>t=0:0.01:10;>>[c1,x1,t]=step(num,den,t);>>[c2,x2,t]=step(num1,den1,t);>>plot(t,c1,'--',t,c2,'-');>>grid6.4.2串聯(lián)滯后校正

用于當(dāng)系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)特性，但其穩(wěn)態(tài)性能不令人滿意時。校正的目的主要是為了增大開環(huán)增益，且不應(yīng)使瞬態(tài)特性有明顯的變化，故常采用滯后校正。

滯后校正的設(shè)計步驟為：（1）做出原系統(tǒng)的根軌跡；（2）根據(jù)要求的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)，確定希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點；（4）確定滿足性能指標(biāo)，而應(yīng)增大的誤差系數(shù)值；（5）由應(yīng)增大的誤差系數(shù)值確定校正裝置β值，通常取β不超過10；（6）確定滯后校正裝置的零、極點。原則是使零、極點靠近坐標(biāo)原點，且二者相距倍；（7）繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡，并求出希望的主導(dǎo)極點；（8）由希望的閉環(huán)極點，根據(jù)幅值條件，適當(dāng)調(diào)整放大器的增益；（9）校驗校正后系統(tǒng)各項性能指標(biāo)，如不滿足要求，可適當(dāng)調(diào)整校正裝置零、極點。例6-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求系統(tǒng)滿足阻尼比ζ=0.5，無阻尼自然振蕩頻率 ，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥5s-1，試確定校正裝置。圖6-23系統(tǒng)根軌跡解（1）作出原系統(tǒng)根軌跡如圖6-23所示。（2）求得希望的閉環(huán)極點其在根軌跡上，其系統(tǒng)動態(tài)特性滿足要求。（3）由幅值條件，確定原系統(tǒng)在希望極點上的增益（4）為滿足靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求，采用滯后校正，計算取則滯后校正裝置（5）過sd作射線，使其與ζ線的夾角小于10°，此線與負實軸交于0.1處，即為校正裝置零點的坐標(biāo)，再由β值求得校正裝置極點zc/β=0.01，則滯后校正裝置（6）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)6.4.3滯后－超前校正從上述可看到，超前校正適用于改善系統(tǒng)動態(tài)特性，而對穩(wěn)態(tài)性能只能提供有限的改進，如果穩(wěn)態(tài)性能相當(dāng)差，超前校正就無能為力。而滯后校正常用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而保持原系統(tǒng)的動態(tài)特性不變。如果系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性均較差時，通常采用滯后－超前校正。（1）根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點sd的位置；（2）為使閉環(huán)極點位于希望的位置，計算滯后-超前校正中超前部分應(yīng)產(chǎn)生的超前相角:（3）滯后－超前校正裝置的傳遞函數(shù)（4）對滯后－超前校正中滯后部分的T2選擇要足夠大，即使得①②③（5）利用求得的β值，選擇T2，使（6）檢驗性能指標(biāo)。返回§6.5頻率法進行串聯(lián)校正

在設(shè)計、分析控制系統(tǒng)時，最常用的方法是所謂頻率法。應(yīng)用頻率法對系統(tǒng)進行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。頻率特性法設(shè)計校正裝置主要是通過對數(shù)頻率特性(Bode圖)來進行。開環(huán)對數(shù)頻率特性的低頻段決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)確定低頻段的斜率和高度。

為保證系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕量，開環(huán)對數(shù)頻率特性在剪切頻率ωc附近的斜率應(yīng)為-20dB/dec，而且應(yīng)具有足夠的中頻寬度，為抑制高頻干擾的影響，高頻段應(yīng)盡可能迅速衰減。用頻率法進行校正時，動態(tài)性能指標(biāo)以相角裕量、幅值裕量和開環(huán)剪切頻率等形式給出。若給出時域性能指標(biāo)，則應(yīng)換算成開環(huán)頻域指標(biāo)。

6.5.1頻率法的串聯(lián)超前校正

串聯(lián)超前校正是利用超前校正網(wǎng)絡(luò)的正相角來增加系統(tǒng)的相角裕量，以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。因此，校正時應(yīng)使校正裝置的最大超前相角出現(xiàn)在系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率處。

應(yīng)用頻率法進行串聯(lián)超前校正的步驟是：(1)根據(jù)所要求的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K；(2)繪制滿足由(1)確定的值下的系統(tǒng)Bode圖，并求出系統(tǒng)的相角裕量；(3)確定為使相角裕量達到要求值，所需增加的超前相角，即式中為要求的相角裕量，是因為考慮到校正裝置影響剪切頻率的位置而附加的相角裕量，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時，取ε＝5°～15°，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段斜率為-60dB/dec時，取ε＝5°～20°；(4)令超前校正網(wǎng)絡(luò)的最大超前相角，則由下式求出校正裝置的參數(shù)a：(5)在Bode圖上確定未校正系統(tǒng)幅值為時的頻率，該頻率作為校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率，即；(6)由確定校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率超前校正裝置的傳遞函數(shù)為(7)將系統(tǒng)放大倍數(shù)增大1/a倍，以補償超前校正裝置引起的幅值衰減，即Kc=1/a；

(8)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(9)檢驗系統(tǒng)的性能指標(biāo)，若不滿足要求，可增大ε值，從第3步起重新計算。例6-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)相角裕量幅值裕量試確定串聯(lián)校正裝置。圖6-24例6-4的Bode圖解由Kv=100可確定出K=100，作出K=100時未校正系統(tǒng)的Bode圖如圖6-24中的L0(ω)。計算未校正系統(tǒng)的剪切頻率ωc1=31.6s-1,相應(yīng)的相角裕量為幅值裕量Kg=∞dB。

說明系統(tǒng)相角裕量遠遠小于要求值，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)會有嚴重的振蕩，為達到所要求的性能指標(biāo)，設(shè)計采用串聯(lián)超前校正。校正后在系統(tǒng)剪切頻率處的超前相角為因此校正后系統(tǒng)剪切頻率ωc2＝ωm處，校正網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)幅值可計算出未校正系統(tǒng)對數(shù)幅值為－7.78dB處的頻率，即可作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc2：校正網(wǎng)絡(luò)的兩個轉(zhuǎn)折頻率為補償超前校正網(wǎng)絡(luò)造成的幅值衰減，附加一個放大器Kc=1/a=6，校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)幅值裕量滿足要求的性能指標(biāo)。6.5.2頻率法的串聯(lián)滯后校正

當(dāng)一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是滿足要求的，為改善穩(wěn)態(tài)性能，而又不影響其動態(tài)響應(yīng)時，可采用串聯(lián)滯后校正裝置。具體方法是增加一對相互靠得很近并且靠近坐標(biāo)原點的開環(huán)零、極點，使系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)提高倍，而不影響對數(shù)頻率特性的中、高頻段特性。串聯(lián)滯后校正裝置還可利用其低通濾波特性，將系統(tǒng)高頻部分的幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，提高系統(tǒng)的相角裕量，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它動態(tài)性能，但應(yīng)同時保持未校正系統(tǒng)在要求的開環(huán)剪切頻率附近的相頻特性曲線基本不變。用頻率法設(shè)計串聯(lián)滯后校正裝置的步驟為：根據(jù)要求的穩(wěn)態(tài)性能確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K；(2)根據(jù)已確定的K值，繪制未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出相角裕量，幅值裕量Kg；(3)在Bode圖上求出未校正系統(tǒng)相角裕量處的頻率ωc2，ωc2作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率，ε用來補償滯后校正網(wǎng)絡(luò)ωc2處的相角滯后，通常ε＝

5°～15°；(4)令未校正系統(tǒng)在ωc2處的幅值為20lgβ，由此確定滯后網(wǎng)絡(luò)的值β；(5)為保證滯后校正網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)在ωc2處的相頻特性基本不受影響，按下式確定滯后校正網(wǎng)絡(luò)的第二個轉(zhuǎn)折頻率為(6)校正裝置的傳遞函數(shù)為(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，并校驗性能指標(biāo)。若不滿足要求，可改變τ值重新設(shè)計。例6-5設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)滿足下列指標(biāo)：K≥100，≥45°。解當(dāng)K=100時繪出未校正系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-25所示L0(ω)。計算未校正系統(tǒng)的剪切頻率ωc1=50s-1，系統(tǒng)的相角裕量幅值裕量圖6-25例6-4的Bode圖時的頻率ωc2=20.9s-1，此頻率作為校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率。未校正系統(tǒng)中對應(yīng)相角裕量為

當(dāng)ω=ωc2=20.9s-1時，令未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅值為20lgβ，從而可求出校正裝置的參數(shù)β。得

選取

滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪出校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6－25中L(ω)。校驗校正后系統(tǒng)的相角裕量滿足要求。

從本例可以看出，在保持穩(wěn)態(tài)精度不變的前提下，滯后校正裝置減小了未校正系統(tǒng)在開環(huán)剪切頻率上的幅值，從而增大了系統(tǒng)的相角裕量，減小了動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)量。但應(yīng)指出，由于剪切頻率減小，系統(tǒng)的頻帶寬度降低，系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)速度也降低了。6.5.3頻率法串聯(lián)滯后－超前校正

應(yīng)用頻率法設(shè)計滯后－超前校正裝置，其中超前部分可以提高系統(tǒng)的相角裕量，同時使頻帶變寬，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。滯后校正部分則主要用來提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。例6－6設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求設(shè)計校正裝置使系統(tǒng)滿足：Kg≥10dB，Kv≥10s-1，≥50°。解：根據(jù)Kv≥10s-1的要求，確定開環(huán)放大倍數(shù)K=10令K=10做出未校正系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-26中L0(ω)所示。由圖可求得未校正系統(tǒng)的相角裕量為－32°，幅值裕量為－13dB，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖6-26例6-6的Bode圖

若串入超前校正，雖然可以增大相角裕量，滿足對的要求，但幅值裕量卻無法同時滿足。若串入滯后校正，利用它的高頻幅值衰減使剪切頻率前移，能夠滿足對Kg的要求，但要同時滿足的要求，則很難實現(xiàn)，為此，采用滯后－超前校正。

首先確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc，一般可選未校正系統(tǒng)相頻特性上相角為-180°的頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率。從圖6－26中可得ωc=1.5s-1。

確定超前校正部分的參數(shù)，由圖可知，未校正系統(tǒng)在ω=ωc=1.5s-1處對數(shù)幅值為+13dB，為使校正后系統(tǒng)剪切頻率為1.5s-1，校正裝置在處應(yīng)產(chǎn)生－13dB的增益，在ωc=1.5s-1，L

(ωc)＝－13dB點處做一條斜率為+20dB/dec的直線，該直線與0分貝線交點即為超前校正部分的第二個轉(zhuǎn)折頻率，從圖上可得即

選取a=0.1，則超前部分的傳遞函數(shù)為

為補償超前校正帶來的幅值衰減，可串入一放大器，放大倍數(shù)Kc=1/a=10。

確定滯后校正部分的參數(shù)如下。滯后校正部分一般從經(jīng)驗出發(fā)估算，為使滯后部分對剪切頻率附近的相角影響不大，選擇滯后校正部分的第二個轉(zhuǎn)折頻率為并選取β=10，則滯后部分的第一個轉(zhuǎn)折頻率滯后部分的傳遞函數(shù)滯后－超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6-26中L(ω)，校正后系統(tǒng)的相角裕量=50°，Kg=16，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=10s-1滿足要求。

由上例可見，串聯(lián)滯后－超前校正裝置參數(shù)的確定，在很大程度上依賴設(shè)計者的經(jīng)驗和技巧，而且設(shè)計過程帶有試探性。

對頻率法串聯(lián)滯后—超前校正，用MATLAB得到校正前和校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線和單位斜坡響應(yīng)曲線分別如圖6-27和6-28所示。校正前和校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為MATLAB給出單位階躍響應(yīng)曲線圖6-27%G0(s)Unit-StepResponse%>>numg=10;>>deng=conv([1,0],conv([1,1],[0.5,1]))>>[num1,den1]=cloop(numg,deng);>>[c1,x1,t]=step(num1,den1,t);>>plot(t,c1,'--');>>grid%Gc(s)G0(s)Unit-StepResponse%>>numc=10*conv([1.43,1],[6.67,1]);>>denc=conv([1,0],conv([1,1],conv([0.5,1],conv([0.143,1],[66.7,1]))));>>[num2,den2]=cloop(numc,denc);>>t=0:0.1:20;>>[c2,x2,t]=step(num2,den2,t);>>plot(t,c2,'-');

>>grid圖6-27校正前和校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線MATLAB給出單位斜坡響應(yīng)曲線圖6-28%G0(s)Unit-RampResponse%>>num1=10;>>den1=[0.5,1.5,1,10,0,0];>>t=0:0.1:20;>>[y1,z1,t]=step(num1,den1,t);>>plot(t,y1,'--');>>grid%Gc(s)G0(s)Unit-RampResponse%>>num2=conv([1.43,1],[6.67,1]);>>den2=conv([1,0],conv([1,0],conv([1,1],conv([0.5,1],conv([0.143,1],[66.7,1])))));>>t=0:0.1:20;>>[y2,z2,t]=step(num2,den2,t);>>plot(t,y2,'-');>>grid圖6-28校正前和校正后系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線6.5.4按期望特性對系統(tǒng)進行串聯(lián)校正

按期望特性對系統(tǒng)進行串聯(lián)校正的基本思路是，先根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求確定期望(希望)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，即校正后系統(tǒng)所具有的特性，然后由未校正系統(tǒng)特性和期望的特性求得校正裝置特性，進而確定校正裝置。需要指出，這種方法僅適用于最小相位系統(tǒng)。例6-7設(shè)未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)滿足≥40°，Kv≥180s-1，3<ωc<5s-1。解作出K=Kv=

180s-1時未校正系統(tǒng)Bode圖中的對數(shù)幅頻特性，如圖6-29中L0(ω)所示。圖6-29例6-7的對數(shù)頻率特性

未校正系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率ωc0=12.9s-1；對應(yīng)的相角裕量 ；

需進行串聯(lián)校正，確定按期望特性來設(shè)計串聯(lián)校正裝置。確定系統(tǒng)期望的對數(shù)幅頻特性如下：

低頻段，根據(jù)穩(wěn)態(tài)精度要求，開環(huán)增益不低于180與未校正系統(tǒng)重合；

中頻段，根據(jù)3<ωc<5s-1，及≥40°要求，選取ωc=3.5s-1且中頻段斜率為－20dB/dec，并且具有適當(dāng)寬度；

連接段，低頻向中頻段過渡段的斜率選擇為－40dB/dec，且第二個轉(zhuǎn)折頻率不易接近剪切頻率，通常選擇本例選擇

為使校正裝置簡單，低頻段與連接段的轉(zhuǎn)折頻率直接選擇二者的交點頻率ω1=0.014s-1

高頻段，對高頻段無過高要求，通常高頻段與未校正特性近似即可，但同時應(yīng)保證中頻的寬度和校正裝置簡單，在此選擇中頻向高頻過渡的第一個轉(zhuǎn)折頻率ω3=6s-1，第二個轉(zhuǎn)折頻率為過渡段與未校正特性的交點ω4=105s-1。期望的對數(shù)幅頻特性如圖6-29中。根據(jù)串聯(lián)校正特點

求出校正裝置的的對數(shù)幅頻特性，如圖6-29中Lc(ω)所示，由Lc(ω)寫出校正裝置的傳遞函數(shù)檢驗校正后系統(tǒng)的相角裕量滿足性能指標(biāo)要求。返回§6.6反饋校正

在控制工程實踐中，為改善控制系統(tǒng)的性能，除可選用前述的串聯(lián)校正方式外，也常常采用反饋校正方式。常見的有被控量的速度、加速度反饋、執(zhí)行機構(gòu)的輸出及其速度的反饋；以及復(fù)雜系統(tǒng)的中間變量反饋等。反饋校正是采用局部反饋包圍系統(tǒng)前向通道中的一部分環(huán)節(jié)以實現(xiàn)校正，其結(jié)構(gòu)框圖如圖6-30所示。

從控制的觀點來看，采用反饋校正不僅可以得到與串聯(lián)校正同樣的校正效果，而且還有許多串聯(lián)校正不具備的突出優(yōu)點。第一，反饋校正能有效地改變被包圍環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)；第二，在一定條件下，反饋校正裝置的特性可以完全取代被包圍環(huán)節(jié)的特性，反饋校正系統(tǒng)方框圖從而可大大消弱這部分環(huán)節(jié)由于特性參數(shù)變化及各種干擾帶給系統(tǒng)的不利影響。本節(jié)主要討論比例反饋校正和微分反饋校正的作用及反饋校正的設(shè)計方法。圖6-30反饋校正系統(tǒng)方框圖6.6.1比例負反饋校正圖6－31反饋校正方框圖

如果局部反饋回路為一比例環(huán)節(jié)，稱為比例反饋校正。圖6-31為振蕩環(huán)節(jié)被比例負反饋包圍的結(jié)構(gòu)圖。閉環(huán)傳遞函數(shù)其中

可以看到，比例負反饋改變了振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T、阻尼比ζ和放大系數(shù)K的數(shù)值，并且均減小了。因此，比例負反饋使得系統(tǒng)頻帶加寬，瞬態(tài)響應(yīng)加快，但卻使得系統(tǒng)控制精度下降，故應(yīng)給予補償才可保證系統(tǒng)的精度。這與串聯(lián)校正中比例控制的作用主要是提高穩(wěn)態(tài)精度是不同的，比例反饋校正的主要作用是改善被包圍部分的動態(tài)特性。

6.6.2微分負反饋校正

圖6－32反饋校正結(jié)構(gòu)圖圖6-32所示為微分負反饋校正包圍振蕩環(huán)節(jié)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)其中

表明微分負反饋不改變被包圍環(huán)節(jié)的性質(zhì)，但由于阻尼比增大，使得系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)超調(diào)量減小、振蕩次數(shù)減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和過渡過程時間，從而削弱了阻尼振蕩環(huán)節(jié)的不利影響。微分反饋是將被包圍環(huán)節(jié)輸出量的速度信號反饋至輸入端，故常稱微分反饋為速度反饋。(若反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為，則稱為加速度反饋)。6.6.3反饋校正的設(shè)計

如圖6－32所示為反饋校正系統(tǒng)，被反饋包圍部分的傳遞函數(shù)為整個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由上式可見，引入局部負反饋后，原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)G3(s)，降低了1+G2(s)Gc(s)倍。當(dāng)被包圍部分G2(s)內(nèi)部參數(shù)變化或受到作用于G2(s)上的干擾影響時，由于負反饋的作用，將其影響下降1+G2(s)Gc(s)倍，從而得到有效抑制。

如果反饋校正包圍的回路穩(wěn)定(即回路中各環(huán)節(jié)均是最小相位環(huán)節(jié))，可以用對數(shù)頻率特性曲線來分析其性能。可得其頻率特性為若選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)，使G(jω)可近似為

在這種情況下，G2(jω)部分的特性幾乎被反饋校正環(huán)節(jié)的特性取代，反饋校正的這種取代作用，在系統(tǒng)設(shè)計中常常用來改造不期望的某些環(huán)節(jié)，達到改善系統(tǒng)性能的目的。例6－8試確定圖示系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo)時的反饋校正，要求相角裕量剪切頻率為10s-1<ωc<30s-1，速度誤差系統(tǒng)Kv=200s-1。

圖6-33例6-8結(jié)構(gòu)圖對數(shù)幅頻特性如圖6-34中L0(ω)所示。系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率ωc=44.7s-1，對應(yīng)的相角裕量為未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，采用反饋校正。

確定期望的對數(shù)幅頻特性：根據(jù)穩(wěn)態(tài)精度要求，低頻段與未校正系統(tǒng)低頻段重合。