湖南省長沙市十校2023年高三畢業(yè)生3月學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷

湖南省長沙市十校2023年高三畢業(yè)生3月學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④4．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內(nèi)一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．5．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值7．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．68．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．19．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．11．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④12．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在編號為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)的概率為________.14．已知橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________．15．正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，為中點，則三棱錐的體積為________．16．已知，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：當時，19．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點，點，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知函數(shù).（1）當a=2時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當時，，求的取值范圍.21．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.22．（10分）平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，點．（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于點，曲線與曲線交于點，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、A【解析】

因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．3、D【解析】

計算得到，，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像知①③錯誤，得到答案.【詳解】，，，當沿軸正方向平移個單位時，重合，故②正確；，，故，函數(shù)關(guān)于對稱，故④正確；根據(jù)圖像知：①③不正確；故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.4、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、C【解析】

利用建系，假設(shè)長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設(shè)，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.10、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.11、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).12、B【解析】

根據(jù)題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出所有的基本事件個數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個，其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”包含6個基本事件，因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.15、【解析】

試題分析：因為正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為為中點，所以底面的面積為，到平面的距離為就是底面正三角形的高，所以三棱錐的體積為．考點：幾何體的體積的計算．16、1【解析】

由題意先求得的值，可得，再令，可得結(jié)論．【詳解】已知，，，，令，可得，故答案為：1．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為.所以變量的分布列為：某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進行，本題屬于中檔題.18、(1)(2)見證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項和然后確定通項公式即可；(2)由題意結(jié)合通項公式的特征放縮之后裂項求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當時，，當時，，也滿足上式，所以；（2）當時，，所以【點睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.19、（1）（1）不存在，理由見解析【解析】

（1）利用離心率和過點，列出等式，即得解（1）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理表示中點N的坐標，用點坐標表示，利用韋達關(guān)系代入，得到關(guān)于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為．（1）當直線的斜率不存在時，，不符合題意．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，，，即．設(shè)，則，，，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在．綜上所述，不存在直線使得．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查