第十一章-第一節(jié)-空間簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)與三視圖直觀(guān)圖

第十一章立體幾何初步考綱分解解讀

1.空間幾何體(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).(2)能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀(guān)圖.(3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法，畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀(guān)圖，了解空間圖形的不同表示形式.(4)會(huì)畫(huà)某些建筑物的三視圖與直觀(guān)圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線(xiàn)條等不作嚴(yán)格要求）.(5)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.

2.點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

(1)理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).

◆公理2：過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).

◆公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.

◆定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

理解以下判定定理：

◆如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.

◆如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.

◆如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直.

◆如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.

◆如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)該直線(xiàn)的任一個(gè)平面與此平面相交，那么這條直線(xiàn)就和交線(xiàn)平行.

◆如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)相互平行.

◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.

◆如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.

(3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

知識(shí)體系構(gòu)建

備考方略

從命題特點(diǎn)來(lái)看，立體幾何題型在高考中一般是一個(gè)解答題，2至3個(gè)填空或選擇題.選擇題、填空題一般出中等難度的題，解答題也是中檔題.

涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變，除保留傳統(tǒng)的四選一的選擇題型外，還嘗試開(kāi)發(fā)了多選填空、完型填空、構(gòu)造填空等題型，填空題設(shè)計(jì)成開(kāi)放性問(wèn)題和多選題.解答題設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問(wèn)題，此類(lèi)考題往往以棱柱和棱錐為依托，第一小問(wèn)考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，后面幾問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是作——證——求，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合.

復(fù)習(xí)備考建議：

立體幾何在復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意以下四個(gè)方面：

1.直線(xiàn)和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類(lèi)試題一般難度不大，多為選擇題和填空題.復(fù)習(xí)中首先要做到相關(guān)的概念、判定、性質(zhì)定理要清楚，其次在否定某些錯(cuò)誤的判斷時(shí)，能舉出適當(dāng)?shù)姆蠢?另外，能將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，平時(shí)的訓(xùn)練要注意舉一反三.

2.證明空間線(xiàn)、面平行或垂直.由已知聯(lián)想性質(zhì)，由求證聯(lián)想判定，尋找證題思路.通過(guò)對(duì)復(fù)雜空間圖形直觀(guān)圖的觀(guān)察和分解，發(fā)現(xiàn)其中的平面圖形或典型的空間圖形（如正方體、正四面體等），以便聯(lián)想有關(guān)的平面幾何或立體幾何知識(shí).培養(yǎng)根據(jù)題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(xiàn)（或面）的能力，掌握平行或垂直的化歸方法.

3.計(jì)算角與距離的問(wèn)題.求角或距離的關(guān)鍵是將空間的角或距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角或距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角或距離.解題原則是一作、二證、三求解（即作圖、證明、求解）.熟練異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角、點(diǎn)面距離的計(jì)算方法.

4.簡(jiǎn)單的幾何體的面積與體積問(wèn)題.熟記特殊幾何體的現(xiàn)成的公式.會(huì)將側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用.

第一節(jié)空間簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)與三視圖、直觀(guān)圖及其表面積和體積課前自主學(xué)案

知識(shí)梳理

1空間簡(jiǎn)單幾何體及其結(jié)構(gòu)1（1）柱體

①棱柱：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)（如圖a.）底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

②圓柱：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線(xiàn).（如圖b).棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體.（2）錐體

①棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱(如圖c).

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

②圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面(如圖d).棱錐與圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體.（3）臺(tái)體

①棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)（如圖e）.

②圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線(xiàn)、軸.（如圖f）.

圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.

（4）球

以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.（如圖g）.

（5）組合體

由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體.（如圖h）.

（6）特殊的棱柱、棱錐、棱臺(tái):

①直棱柱——側(cè)棱與底面垂直的棱柱.

②正棱柱——底面是正多邊形的直棱柱.

③正棱錐——底面是正多邊形,棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心.各側(cè)面是全等的等腰三角形.

④正棱臺(tái)：兩底是正多邊形，且兩底中心連線(xiàn)垂直于底面的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).也可以認(rèn)為它由正棱錐截得的棱臺(tái).正棱臺(tái)各側(cè)面是全等的等腰梯形.

幾類(lèi)特殊的多面體及它們之間的關(guān)系：三棱錐正三棱錐正四面體四棱柱平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體底面是正三角形頂點(diǎn)在底面射影是底面中心所有棱長(zhǎng)相等底面是平行四邊形底面是矩形直棱柱底面是正方形高與底面邊長(zhǎng)相等（7）柱體(圓柱與棱柱)、臺(tái)體(圓臺(tái)與棱臺(tái))、錐體(圓錐與棱錐)的聯(lián)系：

柱體臺(tái)體錐體上底面等比例縮小上底面縮成一個(gè)點(diǎn)2空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖（1）有關(guān)投影的概念①投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做把光線(xiàn)叫做，把留下物體影子的屏幕叫做②中心投影：把光由點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做；③平行投影：把在一束平行光線(xiàn)照射下形成的投影，叫做平行投影的投影線(xiàn)是.④正投影:在平行投影中．投影線(xiàn)正對(duì)著投影面叫做，否則叫做.在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個(gè)平面圖形的是完全相同的.（2）空間幾何體的三視圖

三視圖是觀(guān)測(cè)者從不同位置觀(guān)察同一個(gè)幾何體，畫(huà)出的空間幾何體的圖形.

它具體包括：

①正視圖（主視圖）：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長(zhǎng)度；

②側(cè)視圖（左視圖）：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；

③俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度；

（3）三視圖的畫(huà)法規(guī)則①能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱用表示；不能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱用表示.②高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

③三視圖的排放順序：先畫(huà)，將左視圖畫(huà)在主視圖的，將俯視圖畫(huà)在主視圖的（如下圖）（4）空間幾何體的直觀(guān)圖：在平面中畫(huà)出的幾何體的模擬直觀(guān)視覺(jué)效果圖.它有較強(qiáng)的立體感.畫(huà)多面體的直觀(guān)圖常用的畫(huà)法是斜二測(cè)法；旋轉(zhuǎn)體的直觀(guān)圖多采用正等測(cè)畫(huà)法.

（4）空間幾何體的直觀(guān)圖：在平面中畫(huà)出的幾何體的模擬直觀(guān)視覺(jué)效果圖.它有較強(qiáng)的立體感.畫(huà)多面體的直觀(guān)圖常用的畫(huà)法是斜二測(cè)法；旋轉(zhuǎn)體的直觀(guān)圖多采用正等測(cè)畫(huà)法.

（5）斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則:

①在底面圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸交于O,畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸,兩軸交于O′,使,∠x(chóng)′O′y′=45°(或135°),它們確定的平面表示水平平面；②已知底面圖形中與x軸、y軸平行的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中分別畫(huà)成與x′軸、y′軸平行的線(xiàn)段；

③已知底面圖形中平行于x軸的線(xiàn)段,在直觀(guān)圖中保持原來(lái)的長(zhǎng)度;而平行于y軸的線(xiàn)段,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.

④過(guò)O′畫(huà)一條與y′垂直的直線(xiàn)O′z軸,表示豎直方向,與豎直方向平行的線(xiàn)段,畫(huà)成與O′z平行且長(zhǎng)度不變.

3空間簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀幾何體名稱(chēng)

圓柱圓錐圓臺(tái)直棱柱正n棱錐正n棱臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)矩形n個(gè)全等的等腰三角形n個(gè)全等的等腰梯形側(cè)面展開(kāi)圖4空間簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積和表面積（1）直棱柱：

、（其中C為底面周長(zhǎng)，h是高）；

.（2）正棱錐:

(

)；

.（3）正棱臺(tái)：

；(C′、C為上、下底面周長(zhǎng)，h′是斜高）

.（4）圓柱：

（其中C為底面周長(zhǎng)，r是底面圓的半徑，l是母線(xiàn)長(zhǎng)）；（5）圓錐：

（其中C為底面周長(zhǎng)，r是底面圓的半徑，l是母線(xiàn)長(zhǎng)）；（6）圓臺(tái)：

（其中C為底面周長(zhǎng)，r′,r分別是上、下底面圓的半徑，l是母線(xiàn)長(zhǎng)）；

.（7）球的表面積公式：

(其中R是球的半徑).

5空間簡(jiǎn)單幾何體的體積公式（1）柱體體積公式：

；（2）錐體體積公式：

；（3）球的體積公式：

，其中R表示球的半徑.基礎(chǔ)自測(cè)

1.（2009年淄博模擬）如圖(1)放置的一個(gè)機(jī)器零件，若其主視圖如圖(2)，則其俯視圖是選項(xiàng)圖中的（D）2.下列命題中正確的是（D）

A

.棱柱的底面一定是平行四邊形

B

.棱錐的底面一定是三角形

C

.棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形

D

.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)3.（2009年石門(mén)中學(xué)第二次檢測(cè)）下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，其正視圖、側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形.俯視圖的輪廓為正方形，則它的表面積為3.解析：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的底面是任意多邊形。解析：由三視圖知此幾何體是正四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面是底邊為1，高為1的等腰三角形，則它的表面積為S表=S側(cè)+S底=×1×1×4+1×1=3.

4.(2009年揭陽(yáng)調(diào)研)已知一幾何體的三視圖如下圖，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是

①③④⑤

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）①矩形；

②不是矩形的平行四邊形；

③有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；④每個(gè)面都是等腰三角形的四面體；

⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體.課堂互動(dòng)探究

下列關(guān)于簡(jiǎn)單幾何體的說(shuō)法中:

①斜棱柱的側(cè)面中不可能有矩形；②有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；③側(cè)面是等腰三角形的棱錐是正棱錐；④圓臺(tái)也可看成是圓錐被平行于底面的平面所截得截面與底面之間的部分.正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的概念的正確理解分析：解決關(guān)于簡(jiǎn)單幾何體的概念性的問(wèn)題時(shí)要緊扣簡(jiǎn)單幾何體的定義,不可想當(dāng)然.解析：①斜棱柱的側(cè)面中也可能有矩形,想象將側(cè)面正對(duì)我們的長(zhǎng)方體,向前(后)壓斜時(shí),正對(duì)我們的側(cè)面及其對(duì)面可保持是矩形,可見(jiàn)斜棱柱的側(cè)面中可能0個(gè),1個(gè)或2個(gè)矩形,但可以證明不可多于兩個(gè).②棱柱的定義是:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的多面體叫棱柱.每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，條件不能少，否則就可能不是棱柱(如上圖).③正棱錐的定義中有兩個(gè)本質(zhì)要素:底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心,側(cè)面是等腰三角形并不能保證上述兩個(gè)條件成立,這樣的反例也好找,比如底面是任意三角形,但三條側(cè)棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.④類(lèi)似于棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系,圓臺(tái)也可看成是圓錐被平行于底面的截面所截得.故只有說(shuō)法④正確.

答案：B點(diǎn)評(píng)：在判斷概念性命題時(shí),要緊扣定義,完全滿(mǎn)足定義要求,才能斷定命題為真，要斷定命題為假時(shí),只需找到一個(gè)反例即可.變式探究

1.以下命題：

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；

④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：據(jù)圓柱、圓錐、圓