二次根式典型題

二次根式總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】二次根式的定義：形如（a0）的式子叫二次根式，其中a叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)a是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義．【典型例題】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序號(hào)）．舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的個(gè)數(shù)有______個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是．[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=++2012，則x+y=舉一反三：1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且，求xy的值3、當(dāng)a取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。已知a是整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值。若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則。若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】1.非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù)．注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到．2.．注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫(xiě)成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正數(shù)．（2）能開(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替．（3）可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外．4.公式與的區(qū)別與聯(lián)系（1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù)．（2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù)．（3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的．【典型例題】【例4】若則a-b+c=．舉一反三：1、若，則的值為。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為3、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿(mǎn)足｜x2－4｜＋＝0，則第三邊長(zhǎng)為.4、若與互為相反數(shù)，則=。（公式的運(yùn)用）【例5】化簡(jiǎn)：的結(jié)果為（）A、4-2aB、0C、2a-4D、4舉一反三：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:化簡(jiǎn)：已知直角三角形的兩邊分別為和，則斜邊長(zhǎng)為（公式的應(yīng)用）【例6】已知,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是A、 B、 C、 D、舉一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么可化簡(jiǎn)為（）A．－aB．a(chǎn)C．－3aD．3a3、若，則等于（）A.B.C.D.5、化簡(jiǎn)得（）（A）2（B）（C）－2（D）7、已知，化簡(jiǎn)求值：【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)│a－b│+的結(jié)果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a舉一反三：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．【例8】化簡(jiǎn)的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實(shí)數(shù)（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或【例9】如果，那么a的取值范圍是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1舉一反三：1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）2、若，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【例10】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（A）(B)(C)(D)1、把二次根式化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是（）A. B. C. D.2、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)＞0時(shí)，＝；＝。知識(shí)點(diǎn)三：最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡(jiǎn)二次根式：（1）最簡(jiǎn)二次根式的定義：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號(hào)．2、同類(lèi)二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}】【例11】在根式1)，最簡(jiǎn)二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解題思路：掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件。舉一反三：1、中的最簡(jiǎn)二次根式有個(gè)。2、下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．3、下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.B.C.D.【例12】下列根式中能與是合并的是()A.B.C.2D.舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能與合并的二次根式是。3、如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并為一個(gè)二次根式,則a=.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算——分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】1．分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項(xiàng)二次根式：利用來(lái)確定，如：，，與等分別互為有理化因式。②兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如與，，分別互為有理化因式。3．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）舉一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小結(jié)：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類(lèi)：①與；

②；③與；

④．知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算——二次根式的乘除【知識(shí)要點(diǎn)】1．積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。（a≥0，b>0）注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式．【典型例題】【例18】化簡(jiǎn)：(1)(2)(3)(4)【例19】計(jì)算：(1)(2)(3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范圍是（）A、B、C、D、無(wú)解知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算——二次根式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類(lèi)二次根式）的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)不變。注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類(lèi)二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類(lèi)二次根式合并．但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開(kāi)得盡的因數(shù)．【典型例題】【例20】計(jì)算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知識(shí)點(diǎn)七：二次根式計(jì)算——二次根式的混合計(jì)算與求值【知識(shí)要點(diǎn)】1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題】1、3、·（-4）÷4、5、）6、7、8、【例212．已知，求的值。4．求的值．5．已知x、y是實(shí)數(shù)，且，求5x+6y的值．知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小【知識(shí)要點(diǎn)】1、根式變形法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。2、平方法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。3、分母有理化法通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。4、分子有理化法通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②8、求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，則：=1\*GB3①；=2\*GB3②【典型例題】【例22】比較與的大小。（用兩種方法解答）【例23】比較與的大小?！纠?4】比較與的大小?！纠?5】比較與的大小?！纠?6】比較與的大小

二次根式典型習(xí)題集一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．（二）最簡(jiǎn)二次根式1．把二次根式（y>0）化為最簡(jiǎn)二次根式結(jié)果是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不對(duì)2．化簡(jiǎn)=_________．（x≥0）3．a(chǎn)化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_________．4.已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為_(kāi)________．（三）同類(lèi)二次根式1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類(lèi)二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．在、、、、、3、-2中，與是同類(lèi)二次根式的有______3．若最簡(jiǎn)根式與根式是同類(lèi)二次根式，求a、b的值．4.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”與“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．二、二次根式有意義的條件：1．（1）當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個(gè)．A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)3．已知y=++5，求的值．4．若+有意義，則=_______．5.若有意義，則的取值范圍是。6．要是下列式子有意義求字母的取值范圍（1） (2) (3) (4)(5) (6)三、二次根式的非負(fù)數(shù)性1．若+=0，求a2011+b2012的值．2．已知+=0，求xy的3.若，求的值。a＜0a≥0四、a＜0a≥01．a(chǎn)≥0時(shí)，、、-，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=2．先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．3．若│2010-a│+=a，求a-20102的值．4.若-3≤x≤2時(shí)，試化簡(jiǎn)│x-2│++。5．化簡(jiǎn)a的結(jié)果是（）．A．B．C．-D．-6．把（a-1）中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（）．A．B．C．-D．-五、求值問(wèn)題:1.當(dāng)x=+,y=-,求x2-xy+y2的值2．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________．3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結(jié)果精確到0.01）6．先化簡(jiǎn)，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．7．當(dāng)x=時(shí)，求+的值．（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）8.已知，求的值。六、其他1．等式成立的條件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-12.已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．3．計(jì)算（+）（-）的值是（）．A．2B．3C．4D．14.如果 ,則x的取值范圍是。5.如果 ,則x的取值范圍是。6.若,則a的取值范圍是。7.設(shè)a=，b=，c=，則a、b、c的大小關(guān)系是。8.若是一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)n的最小值是。9.已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，試求的值七、計(jì)算1.·（-）÷（m>0，n>0）2.-3÷（）×（a>0）3.4.5.6.應(yīng)用1．鐵路基的橫截面是梯形ABCD，如圖，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比為1：，求路基下底寬AB的長(zhǎng)度2．如圖，扶梯AB的坡比為4；3，滑梯CD坡比為1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩從扶梯A走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下到D，共經(jīng)過(guò)多少路程？3．如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，是格點(diǎn)三角形，求：（1）的面積（2）的周長(zhǎng)；（3）點(diǎn)C到AB的距離。二次根式新題型近幾年的中考數(shù)學(xué)試題圍繞二次根式出現(xiàn)了許多重素質(zhì)、考能力的新穎題型，歸納起來(lái)，主要有以下幾種。一.開(kāi)放求值題例1.請(qǐng)先化簡(jiǎn)下列式子，再選取兩個(gè)能使原式有意義，而你又喜愛(ài)的數(shù)代入化簡(jiǎn)后的式子中求值。解：原式當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式。評(píng)注：將一道常規(guī)的條件求值題，稍加改編，成為開(kāi)放求值題，其意境截然不同，可貴之處不但在于從更高層次上考查了學(xué)生縝密思考（改編的同時(shí)，暗設(shè)陷阱）、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，而且體現(xiàn)了人文關(guān)愛(ài)，利于激發(fā)興趣，緩解考試壓力。二.計(jì)算器操作探索題例2.用計(jì)算器探索：已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，。如果從中選出若干個(gè)數(shù)，使它們的和大于3，那么至少要選___________個(gè)數(shù)。解析：由于各數(shù)據(jù)的分母依次增大，故這組數(shù)據(jù)依次減小，根據(jù)題意可選前面數(shù)值較大的數(shù)據(jù)求和。由計(jì)算器可求得：。至少要選5個(gè)數(shù)，故填5。例3.借助于計(jì)算器可以求得，，仔細(xì)觀(guān)察上面幾道題的計(jì)算結(jié)果，試猜想__________。解析：，觀(guān)察以上各式，易發(fā)現(xiàn)等式左端被開(kāi)方數(shù)各加數(shù)的冪底數(shù)位數(shù)與等式右端的數(shù)的位數(shù)相同，于是可猜想：評(píng)注：養(yǎng)成正確使用計(jì)算器的習(xí)慣，能熟練地運(yùn)用計(jì)算器去完成復(fù)雜的運(yùn)算或探究性問(wèn)題，是國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)大綱的要求。從上述兩例中可看到，由于使用了計(jì)算器，避免了繁冗、重復(fù)的運(yùn)算過(guò)程，大大提高了解題效率，計(jì)算器進(jìn)課堂、進(jìn)考場(chǎng)是時(shí)代的要求，學(xué)習(xí)的需要，應(yīng)引起高度重視。三.讀圖計(jì)算題例4.在第六冊(cè)課本的閱讀材料中，介紹了一個(gè)第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，它的主體圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的。設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形是等腰直角三角形，且，請(qǐng)你先把圖中其他8條線(xiàn)段的長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線(xiàn)段的長(zhǎng)的乘積。解析：觀(guān)察圖形可知，待求線(xiàn)段既是前一個(gè)直角三角形的斜邊，又是后一個(gè)直角三角形的直角邊，因而利用勾股定理可求出各線(xiàn)段的長(zhǎng)依次為、，它們的積為。評(píng)注：解這類(lèi)題的關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)讀懂圖，從圖中獲取信息，借助數(shù)形結(jié)合，就能迅速、正確地找到解題途徑。四.閱讀判斷題例5.化簡(jiǎn)時(shí)，甲的解法是：；乙的解法是：以下判斷正確的是（）A.甲的解法正確，乙的解法不正確B.甲的解法不正確，乙的解法正確C.甲、乙的解法都正確D.甲、乙的解法都不正確解析：正確答案應(yīng)為C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解約分法，雖然兩人的思路不同，解法各異，但最后殊途同歸。例6.對(duì)于題目“化簡(jiǎn)并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：乙的解答是：誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的？為什么？解析：解答此題的關(guān)鍵是對(duì)于式子脫去根號(hào)后，得到，還是。這就必須要明確是正還是負(fù)。故乙的解答是錯(cuò)誤的。評(píng)注：這兩道題格調(diào)清新，考查面寬廣，從分母有理化、二次根式的性質(zhì)、二次根式的化簡(jiǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能到思維的靈活性、深刻性、批判性等方面都進(jìn)行了考查。解答時(shí)要慎重思考，仔細(xì)甄別。這類(lèi)題有利于學(xué)生養(yǎng)成對(duì)待問(wèn)題認(rèn)真負(fù)責(zé)、一絲不茍的態(tài)度。六.歸納、猜想題例7.觀(guān)察下列各式：你能得出怎樣的結(jié)論？并給出證明。解析：仔細(xì)觀(guān)察，不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式左邊根號(hào)內(nèi)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子與右邊根號(hào)外的整數(shù)、根號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得結(jié)論為（）證明：評(píng)注：歸納、猜想題，常常是從簡(jiǎn)單情形入手，通過(guò)對(duì)若干特例的觀(guān)察、分析，從中類(lèi)比、歸納，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進(jìn)而猜想出具有一般規(guī)律的結(jié)論，并對(duì)結(jié)論的正確性給予驗(yàn)證或證明。七.閱讀理解題例8.觀(guān)察下列分母有理化的運(yùn)算：利用上面的規(guī)律計(jì)算：__________。解析：要計(jì)算的式子有兩個(gè)因式，第一個(gè)因式可根據(jù)題中給出的規(guī)律求得例9.閱讀下面的問(wèn)題及解答：?jiǎn)栴}：化簡(jiǎn)解：設(shè)則原式從上面的解答可以看出，一個(gè)很復(fù)雜的根式，化簡(jiǎn)的結(jié)果卻是個(gè)簡(jiǎn)單的有理數(shù)，做完這道習(xí)題后，現(xiàn)在請(qǐng)你當(dāng)一回老師，編四個(gè)類(lèi)似的二次根式的化簡(jiǎn)題，要求滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：（1）題目是由這三個(gè)無(wú)理數(shù)（或是其中兩個(gè)）經(jīng)過(guò)各種運(yùn)算組成的（每題要包含加、減、乘、除、乘方幾種運(yùn)算中的一種或幾種運(yùn)算，如等，在你編出的四道題中，不能漏掉了五種運(yùn)算中的某一種運(yùn)算）。（2）化簡(jiǎn)的結(jié)果是一個(gè)有理數(shù)。解析：閱讀材料介紹了解決本題的一個(gè)方法——構(gòu)造共軛因式。因此，利用共軛因式的積、商、平方或結(jié)合其