勾股定理證明-初中數(shù)學(xué)常見的模型方法專題

勾股定理證明方法1商高證明法證明：∵，，∴，∴．方法2趙爽弦圖2、以、為直角邊，以為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于．把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀．∵，∴．∵，∴，∴是一個邊長為的正方形，它的面積等于．∵，．∴是一個邊長為的正方形，它的面積等于．∴．∴．方法3劉徽證明方法——青朱出入圖3、勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方才冪．開方除之，即弦也．——《九章算術(shù)注》方法4加菲爾德方法——梯形面積法4、以、為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于．把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使、、三點在一條直線上．∵，∴．∵，∴．∴．∴是一個等腰直角三角形，它的面積等于．又∵，，∴．∴是一個直角梯形，它的面積等于．∴．∴．方法55.張景中證明方法1——對角線垂直的四邊形方法66.張景中證明方法2——懸掛模型矩形方法7歐幾里得證明7、做三個邊長分別為、、的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，使、、三點在一條直線上，連結(jié)、．過作，交于點，交于點．∵，，，∴．∵的面積等于，的面積等于矩形的面積的一半，∴矩形的面積．同理可證，矩形的面積．∵正方形的面積矩形的面積矩形的面積∴，即．注意：面積Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面積Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面積Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面積Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ方法8楊作玫證明8、做兩個全等直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為．再作一個邊長為的正方形．把它們拼成如圖所示的多邊形．過作，交于，交于．過作，垂足為．過作與的延長線垂直，垂足為，交與．∵，，∴．又∵，，，∴．∴，．由作法可知，是一個矩形，所以．即，，從而．∵，，∴，∴，．有∵，方法9陳杰證明9、設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為、，斜邊的成為，做兩個邊長分別為、的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，使、、三點在一條直線上．用數(shù)字表示面積的編號（如圖）．在上截取，連結(jié)、，則．∵，，∴．又∵，，，∴．∴，．∵，，∴．∴作，，則是一個邊長為的正方形．∵，∴．連結(jié)，在和中，∵，，，∴．∴，．∴點、、、在一條直線上．在和中，∵，，∴．∵，，，，∴∴．方法10李銳證明10、設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為、，斜邊的長為．做三個邊長分別為、、的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使、、三點在一條直線上．用數(shù)字表示面積的編號（如圖）．∵，∴．又∵，，∴．∴．∴．又∵，，∴．∵，，∴．即．過作，垂足是．由，可知，而，∴．又．所以．即．由，有得，．∵，，，∴．又∵，，∴．即．∵，，，又∵，，，∴，即．【拓展】1.如圖所示，在正方形的四邊，，，上分別取點，，，，使得，求證：四邊形是正方形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，然后證明即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴，∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.2.如圖所示，在正方形的四邊，，，上分別取點，，，，使得，此外，，，，求證：四邊形是正方形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到四邊形、四邊形、四邊形、四邊形均為長方形，在根據(jù)三角形全等證明即可；【詳解】∵，，，，且，∴四邊形、四邊形、四邊形、四邊形均為長方形，∴，∴，，∴，且，∴四邊形為正方形．【點睛】本題主要考查了正方形的判定，結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．3.如圖所示，在正方形的四邊，，，上分別取點，，，，使得，此外，，，．求證：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，然后證明即可得到答案；（2）先證明，然后同理可以得到，然后證明四邊形ORQP是正方形，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論求解即可.【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是正方形．∴（2）∵四邊形是正方形∴，∵，∴四邊形AERF是平行四邊形∵∠A=90°∴四邊形AERF是矩形∴∴同理可以得到，，∴∴，，∴∵∴∴四邊形ORQP是正方形∴（3）∵，，又∵∴∴【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.例題4.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為A.9 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】已知ab＝8可求出四個三角形的面積，用大正方形面積減去四個三角形的面積得到小正方形的面積，根據(jù)面積利用算術(shù)平方根求小正方形的邊長.【詳解】故選D.【點睛】本題考查勾股定理的推導(dǎo)，有較多變形題，解題的關(guān)鍵是找出圖形間面積關(guān)系，同時熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．變式15.如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A.8 B.6 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．故選B．變式26.如圖，有4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則ab的值是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面積可以分別用a、b表示，進(jìn)而兩式相減即可求出ab的值．【詳解】由勾股定理，得大正方形的面積為：，又小正方形的面積為即∴∴ab=6故選：B．【點睛】本題是以弦圖為背景的計算題，考查了勾股定理，圖形的面積，關(guān)鍵是用a、b表示大小正方形的面積．鞏固練習(xí)7.勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩個以a和b為直角邊三角形面積與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B，利用以a與（a+b）為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C，利用四個小圖形面積和等于大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D．【詳解】解:A、兩個以a和b為直角邊三角形面積與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積，故，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積，故，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、以a與（a+b）為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積，，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、四個小圖形面積和等于大正方形面積，，根據(jù)圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公公式是關(guān)鍵．8.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得出答案．【詳解】解：∵圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG?DG＝GF2+2CG?DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG?NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2是解決問題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，，則三個半圓面積S1，S2，S3的關(guān)系為___________．【答案】【解析】【分析】分別用、和表示出、、，然后根據(jù)即可得出、、的關(guān)系．【詳解】解：在中，，，，，，，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．10.勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理創(chuàng)制的“趙爽弦圖”也流傳至今．迄今為止己有多種證明勾股定理的方法．下面是數(shù)學(xué)課上創(chuàng)新小組驗證過程的一部分．請認(rèn)真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過程補充完整：將兩張全等的直角三角形紙片按圖所示擺放，其中，點在線段上，點在邊兩側(cè)，試證明：．【答案】見解析．【解析】【分析】首先連結(jié)，作延長線于，則，根據(jù)，易證，再根據(jù)，，兩者相等，整理即可得證．【詳解】證明：連結(jié)，作延長線于，則即，∴∴即有：∴【點睛】本題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形ADFB的面積是解本題的關(guān)鍵．11.（1）如圖１是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；

（2）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請你嘗試證明過程．說明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形面積計算公式解答；（2）利用面積法證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）；（2）如圖，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED為等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【點睛】此題考查勾股定理的證明，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解各部分圖形之間的關(guān)系，正確分析它們之間的面積等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)12.閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學(xué)等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化簡證得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步運用】（1）如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；（3）如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．（4）如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三