新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步6.1平面向量及其線性運(yùn)算6.1.1向量的概念課件新人教B版必修第二冊(cè)

第六章6.1.1向量的概念基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的表示方法.2.理解共線向量、相等向量的概念.3.正確區(qū)分向量平行與直線平行.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

向量的概念及表示1.向量概念既有

又有

的量稱(chēng)為向量(也稱(chēng)為矢量)

表示用

來(lái)直觀地表示向量,其中有向線段的

表示向量的大小,有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.通常將有向線段不帶箭頭的端點(diǎn)稱(chēng)為向量的始點(diǎn)(或起點(diǎn)),帶箭頭的端點(diǎn)稱(chēng)為向量的

.有向線段始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對(duì)位置確定向量的大小與方向.始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的有向線段表示的向量,可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為

,此時(shí)向量的大小用

表示

代數(shù)表示在印刷時(shí),通常用加粗的斜體小寫(xiě)字母如a,b,c等來(lái)表示向量;在書(shū)寫(xiě)時(shí),用帶箭頭的小寫(xiě)字母如

等來(lái)表示向量大小

方向有向線段長(zhǎng)度終點(diǎn)2.標(biāo)量只有

的量稱(chēng)為標(biāo)量,長(zhǎng)度、面積等都是標(biāo)量.

名師點(diǎn)睛1.向量與標(biāo)量的區(qū)別:向量有方向,而標(biāo)量沒(méi)有方向;標(biāo)量與標(biāo)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小.2.我們學(xué)的向量是自由向量,是可以自由平移的,始點(diǎn)的位置可以改變,只考慮向量的大小和方向.大小

過(guò)關(guān)自診1.下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有(

)

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C解析

②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,沒(méi)有方向,不是向量.2.[北師大版教材習(xí)題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中有三點(diǎn)A(1,0),B(-1,2),C(-2,2).請(qǐng)用有向線段分別表示從A到B,從B到C,從C到A的位移.解

如圖,知識(shí)點(diǎn)2

與向量有關(guān)的概念

名稱(chēng)定義記法向量的模(或長(zhǎng)度)向量的

稱(chēng)為向量的模(或長(zhǎng)度)

|a|零向量

和

相同的向量稱(chēng)為零向量

0

注意書(shū)寫(xiě)時(shí)不要漏掉“→”

單位向量

的向量稱(chēng)為單位向量

—大小

始點(diǎn)終點(diǎn)模等于1名稱(chēng)定義記法相等向量

的向量稱(chēng)為相等的向量

a=b向量共線或平行如果兩個(gè)非零向量的方向

,則稱(chēng)這兩個(gè)向量平行,兩個(gè)向量平行也稱(chēng)兩個(gè)向量共線

規(guī)定:零向量與任意向量

a∥b0∥a大小相等、方向相同相同或者相反平行名師點(diǎn)睛1.對(duì)0、單位向量的理解(1)若用有向線段表示零向量,則其終點(diǎn)與始點(diǎn)重合,其本質(zhì)是一個(gè)點(diǎn).零向量的方向不確定,不能說(shuō)零向量沒(méi)有方向.(2)要注意0與0的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個(gè)實(shí)數(shù),0是一個(gè)向量,且有|0|=0;書(shū)寫(xiě)時(shí)

表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.(3)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),它們大小相等,但方向不一定相同.2.對(duì)向量平行的理解(1)向量平行(共線)時(shí),表示向量的有向線段所在的直線平行或重合.(2)向量共線中的“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”的含義.共線向量有四種情況:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.(3)任一向量a都與它本身平行.過(guò)關(guān)自診1.若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系?提示

若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.2.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)兩個(gè)有共同起點(diǎn),且長(zhǎng)度相等的向量,它們的終點(diǎn)相同.(

)(2)任意兩個(gè)單位向量都相等.(

)(3)若,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).(

)×××3.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量

是(

)A.相等的向量

B.平行的向量C.有相同起點(diǎn)的向量 D.模相等的向量D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一向量的有關(guān)概念【例1】

有下列說(shuō)法:①若向量a與向量b不平行,則a與b方向一定不相同;②若向量

滿(mǎn)足;③若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不確定,故其不能與任何向量平行.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

對(duì)于①,由共線向量的定義,知兩向量不平行,方向一定不相同,故①正確;對(duì)于②,因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由|a|=|b|,只能說(shuō)明a,b的長(zhǎng)度相等,確定不了它們的方向,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行,故④錯(cuò)誤.規(guī)律方法

1.判斷兩個(gè)向量相等應(yīng)從兩個(gè)方面入手(1)是否大小相等;(2)是否方向相同.2.零向量和單位向量(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)兩個(gè)單位向量不一定相等,因?yàn)樗鼈兊姆较虿灰欢ㄏ嗤?變式訓(xùn)練1給出下列說(shuō)法:①兩個(gè)向量,當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同、終點(diǎn)也相同時(shí)才相等;②若平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn),則其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上;③在菱形ABCD中,一定有④若a=b,b=c,則a=c.其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為

.

②③④

解析

兩個(gè)向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),故①不正確.單位向量的長(zhǎng)度為1,當(dāng)所有單位向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)O時(shí),終點(diǎn)都在以O(shè)為圓心,1為半徑的圓上,故②正確.③④顯然正確.故所有正確說(shuō)法的序號(hào)為②③④.探究點(diǎn)二向量的表示及應(yīng)用【例2】

(1)[人教A版教材習(xí)題]指出圖中各向量的長(zhǎng)度.(規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為0.5)(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1),用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量:解

①由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又

,小方格邊長(zhǎng)為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A位置可以確定,畫(huà)出向量

如圖所示.②由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向,且

=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B位置可以確定,畫(huà)出向量

如圖所示.規(guī)律方法

向量的兩種表示方法(1)幾何表示法:先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).(2)字母表示法:為了便于運(yùn)算可用字母a,b,c表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的字母表示向量,如變式訓(xùn)練2一架飛機(jī)從點(diǎn)A向西北方向飛行200km

到達(dá)點(diǎn)B,再?gòu)狞c(diǎn)B向正東方向飛行100km到達(dá)點(diǎn)C,再?gòu)狞c(diǎn)C向正東方向飛行100km到達(dá)點(diǎn)D,求飛機(jī)從點(diǎn)D飛回點(diǎn)A的位移.探究點(diǎn)三相等向量與共線向量【例3】

如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),四邊形BCGF是平行四邊形,試分別寫(xiě)出與

共線及相等的非零向量.規(guī)律方法

1.尋找相等向量要把握住向量的兩要素:大小和方向,相等向量必須二者都相同才成立.同時(shí),向量是可以平移的,相等向量的起點(diǎn)并不一定要相同.2.對(duì)于非零向量,共線向量只需把握向量的方向要素,與向量的模大小無(wú)關(guān),故尋找非零共線向量時(shí),只需判斷兩向量所在的直線是否平行或重合.變式訓(xùn)練3設(shè)點(diǎn)O為正八邊形ABCDEFGH的中心,如圖,以圖中字母為始點(diǎn)或終點(diǎn),分別寫(xiě)出:成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.下列說(shuō)法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a=bB.零向量的長(zhǎng)度是0C.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量D.共線向量是在同一條直線上的向量B解析

|a|=|b|僅表示a與b的大小相等,但是方向不確定,故a=b未必成立,所以A錯(cuò)誤;根據(jù)零向量的定義可判斷B正確;長(zhǎng)度相等的向量方向不一定相同,故C錯(cuò)誤;共線向量不一定在同一條直線上,故D錯(cuò)誤.故選B.12342.下列結(jié)論正確的是(

)A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)