矩陣的概念與矩陣運(yùn)算

第二章矩陣本章要求

１．掌握矩陣的運(yùn)算，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式；２．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)及矩陣可逆的充要條件，掌握求逆矩陣的方法（伴隨矩陣求逆及初等變換求逆）；３．掌握矩陣的初等變換和求矩陣的秩的方法.本章重點

用初等變換求逆矩陣及求矩陣的秩的方法.下頁

在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應(yīng)一個有序數(shù)組：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn

=bm

(a11

a12

a1nb1)

(a21

a22

a2nb2)(am1

am2

amnbm)→→→→這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表a11

a12

a1nb1

a21

a22

a2nb2am1

am2

amnbm這個表就稱為矩陣.§1矩陣的概念下頁其中

aij稱為矩陣的第

i行第

j列的元素.

一般情況下，我們用大寫字母

A，B，C等表示矩陣.m

n矩陣A簡記為

A

(aij)m

n

或記作

Am

n.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amn定義1

由

m

n個數(shù)

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成一個

m行

n列的矩形表稱為一個

m

n矩陣，記作下頁零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣

只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2

bm

b=.負(fù)矩陣-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作–A.下頁b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=.A=.a11a12

a1n0a22

a2n

00

ann

如下形式的n

階矩陣稱為上三角形矩陣.三角形矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為下三角形矩陣.方陣

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣.下頁a110

00a22

0

00

annA=.對角矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為對角矩陣.

對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,

,ann).

單位矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為單位矩陣，記為En

或E.10

001

0

00

1E=.

定義2

矩陣相等：設(shè)A

(aij)，B

(bij)為同階矩陣，如果aij

bij(i

1,2,

,

m；j

1,2,

,n)，則稱矩陣A與矩陣B

相等，記作A

B.下頁第二節(jié)矩陣的線性運(yùn)算、乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算四、轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法五、方陣的行列式下頁一、矩陣的加法

定義1

設(shè)A與B為兩個m

n矩陣A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，A與B對應(yīng)位置元素相加得到的m

n矩陣稱為矩陣A與B的和，記為A

B.即C=A+B.下頁

例1．設(shè)357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，則357

22043012

3A+B=132

02157064

8+3+15+37+2

2+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489

241910076

11.=矩陣的加法：設(shè)A

(aij)m

n與B

(bij)m

n，則A+B=(aij+bij)m

n。下頁

設(shè)A,B,C都是m

n矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律：

（1）交換律：

A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;

矩陣的減法可定義為:

顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.

下頁a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義2

設(shè)A

(aij)為m

n矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的m

n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=.二、數(shù)與矩陣的數(shù)法下頁矩陣的數(shù)乘：設(shè)A

(aij)m

n

，則kA=(kaij)m

n

.

例2．設(shè)357

22043012

3A=

，則3A357

22043012

3=33

33

53

7

3

23

23

03

43

33

03

13

2

3

3=91521

66012

9036

9=.下頁(5)

k(A

B)

kA

kB；(6)(k

l)A

kA

lA

；(7)(kl)A

k(lA)；(8)1

A=A.

設(shè)A，B，C，O都是m

n矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)：另外,易得

0

A=O

.性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記.下頁

例3．設(shè)357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16=下頁

例4．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X。

解：A+2X+(-A)=B+(-A)

；兩邊加A的負(fù)矩陣A+(-A)+2X

=B+(-A)

；交換律O+2X

=B-A

；性質(zhì)4A+(-A)+2X

=B-A

；約定（減法）2X

=B-A

；性質(zhì)3?*2X

=?*(B-A)；數(shù)乘運(yùn)算1X

=?*(B-A)；恒等變換X

=?*(B-A)；性質(zhì)8下頁從而得X

=?*(B-A)

例4．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X。說明：實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別。解：下頁

定義3

設(shè)A是一個m

s矩陣，B是一個s

n矩陣：構(gòu)成的m

n矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為C

AB.

則由元素

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即三、矩陣的乘法下頁cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.矩陣的乘法:cij

下頁cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=矩陣的乘法:下頁(i

1,2,

,m).（1）先行后列法b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsn(ai1

ai2

ais)=()ci1ci2

cinB=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法下頁cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=矩陣的乘法:下頁a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb1jb2j

bsj（2）先列后行法(j

1,2,

,n).c1jc2j

cmj=B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983

解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法下頁

例6．設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下頁

例6．設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=

解：-32-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10

解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.顯然，1)矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

BA;2)兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O.下頁1110

例7．設(shè)A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=

顯然AB=BA.

如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.問題：與Ａ可交換的Ｂ怎么得到？下頁顯然AC=BC，但A

B.矩陣乘法不滿足消去律.例8．對于任意矩陣Ａ,Ｂ及相應(yīng)的單位矩陣Ｅ有：ＥＡ＝Ａ，ＢＥ＝Ｂ.下頁例10.100000001設(shè)A=則AA=100000001100000001100000001==A顯然AA=A，但A

E，A

O

.

下頁a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=例11.線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）簡記為：AX=B.x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

其中，A=，X=，B=下頁應(yīng)注意的問題：

(1)AB

BA

；

(3)AB=OA=O或B=O；/

(2)AC=BCA=B；/

矩陣乘法的性質(zhì)：方陣的冪：

對于方陣A及自然數(shù)k

Ak=A

A

A(k個A相乘)，稱為方陣A的k次冪.

方陣的冪有下列性質(zhì)：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars.

(4)AA=AA=E或A=O./

(1)(AB)C=A(BC)；

(2)(A+B)C=AC+BC；

(3)C(A+B)=CA+CB；

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).問題：(A+B)2=?下頁

定義4

將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

例如，設(shè)