2021年中考10 分式方程及其應(yīng)用（解析版）(一)

專題10分式方程及其應(yīng)用

專題知識點(diǎn)概述

1.分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一樣方式:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。

（1）去分母（方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）；

（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無解；若不等于零,

就是原方程的根。

例題解析與對點(diǎn)練習(xí)

【例題0（2021?哈爾濱）方程捻=￡的解為（）

A.x=-1B.x=5C.x=lD.x=9

【答案解析】D

【考點(diǎn)解析】根據(jù)解分式方程的步驟解答即可.

【試題解答】方程的兩邊同乘（廣5）（x-2）得：

2(x-2)=x-5,

解得x=9,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=9是原方程的解.

【對點(diǎn)練習(xí)】(2021?黑龍江哈爾濱)方程，_=且的解為(

3x-lx

【答案解析】C

【試題解答】將分式方程化為，2x=3'3X-,即可求解了=苴；同時要進(jìn)行驗(yàn)根即可求解。

x(3x-l)x(3x-l)7

2_3,

3x-lx'

2x二3(3x-l),

x(3x-l)x(3x-l)

，2x=9x-3,

?.?x_=3—；

7

將檢驗(yàn)x=2是方程的根，

7

二方程的解為*=上

【點(diǎn)撥】本題考查解分式方程；諳練掌握分式方程的解法及驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵.

【例題2】(2021?齊齊哈爾)若關(guān)于x的分式方程m9+5的解為正數(shù)，則m的取值范疇為

X-22-X

()

A.m<-10B.mW-10

C.勿》-10且赭-6D.m>-10且nrA-6

【答案解析】D

【考點(diǎn)解析】分式方程去分母化為整式方程，示意出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)求出卬的范

疇即可.

【試題解答】去分母得：3x=-M5(x-2),

由方程的解為正數(shù)，得到加10>0,且加10X4,

則m的范疇為m>-10且mW-6,

【對點(diǎn)練習(xí)】(2021?江蘇宿遷)關(guān)于x的分式方程」包2=1的解為正數(shù)，則a的取值范疇

x-22-x

是—.

【答案解析】a<5且aW3.

【試題解答】去分母得：l-a+2=x-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

當(dāng)x—5-a—2時，a=3不合題意，

故a<5且3^3.

【點(diǎn)撥】直接解分式方程，進(jìn)而操縱分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范疇，進(jìn)而聯(lián)合分式方程有

意義的前提解析得出答案.

【例題3】（2021?長沙）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)物的需求越來越大，為滿足市場需

求，某大型5G產(chǎn)物制作廠家更新技術(shù)后，加快了制作速度，此刻平均天天比更新技術(shù)前多制作30萬

件產(chǎn)物，此刻制作500萬件產(chǎn)物所需時間與更新技術(shù)前制作400萬件產(chǎn)物所需時間一樣.設(shè)更新技術(shù)前

天天制作x萬件產(chǎn)物，依題意得（）

-4-0-0=-5-0-0400_500

x-30xXX4-30

400_500400_500

xx-30x+30x

【答案解析】B

【考點(diǎn)解析】設(shè)更新技術(shù)前天天制作尤萬件產(chǎn)物，則更新技術(shù)后天天制作（x+30）萬件產(chǎn)物，根據(jù)工作

時間=工作總量+工作效率聯(lián)合此刻制作500萬件產(chǎn)物所需時間與更新技術(shù)前制作400萬件產(chǎn)物所需時間

?樣，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

【試題解答】設(shè)更新技術(shù)前天天制作x萬件產(chǎn)物，則更新技術(shù)后天天制作（x+30）萬件產(chǎn)物,

依題意，得：，瑞

【對點(diǎn)練習(xí)】（2021吉林長春）為建國70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠籌劃加工9000套彩燈，為盡快完成任

務(wù)，現(xiàn)實(shí)天天加工彩燈的數(shù)量是原籌劃的1.2倍，成果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠原籌劃天天

加工這種彩燈的數(shù)量.

【答案解析】300套.

【試題解答】該燈具廠原籌劃天天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則現(xiàn)實(shí)天天加工彩燈的數(shù)量為L2x套,

90009000u

由題意得：---------------=5

x1.2尤

解得：戶300,

經(jīng)檢驗(yàn)，產(chǎn)300是原方程的解，且吻合題意。

【點(diǎn)撥】如許思量懂得容易一些：原籌劃m天完成，有mx=9000,現(xiàn)實(shí)（m-5）天完成，有（m-5）

2x=9000.

【例題4】（2021貴州黔西南）“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強(qiáng)，越來越多的人喜愛騎自行車出

行，也給自行車商家?guī)砩虣C(jī).某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車

每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元.若該型車的銷售數(shù)量與去年一樣，那么今年的銷售總額將比去年削

減10%,求：

（1）A型自行車去年每輛售價(jià)幾元;

（2）該車行今年籌劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量

的兩倍.已知，A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)錢分別為1500元和1800元，籌劃B型車銷售價(jià)錢為2400

元，應(yīng)若何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多.

【答案解析】（1）2000元；（2）A型車20輛，B型車40輛.

【試題解答】（1）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（x-200）元，由賣出的數(shù)量一

樣列出方程求解即可；

（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60-a）輛，獲利y元,由前提示意出y與a之間的關(guān)系

式，由a的取值范疇就可以求出y的最大值.

【詳解】解：（1）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（x-200）元，由題意，得

8000080000（1-10%）

x一X—200

解得：x=2000.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的根.

答：去年A型車每輛售價(jià)為2000元；

（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60-a）輛，獲利y元,由題意，得

y=a+（60-a）,

y=-300a+36000.

?.?B型車進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，

...60-aW2a,

/.a>20.

Vy=-300a+36000.

.?.k=-300<0,

???y隨a的增大而減小.

/.a=20時，y展大=30000元.

.?.B型車的數(shù)量為：60-20=40輛.

當(dāng)新進(jìn)A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大.

【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.

【對點(diǎn)練習(xí)】（2021?廣東）某社區(qū)擬建48兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個4類攤位的占地面積

比每個6類攤位的占地面積多2平方米.建1類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建6類攤位每平方米的

費(fèi)用為30元.用60平方米建4類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建8類攤位個數(shù)的|.

（1）求每個46類攤位占地面積各為幾平方米？

（2）該社區(qū)擬建48兩類攤位共90個，且8類攤位的數(shù)量不少于4類攤位數(shù)量的3倍.求建造這

90個攤位的最大費(fèi)用.

【答案解析】見解析。

【考點(diǎn)解析】（1）設(shè)每個6類攤位的占地面積為x平方米，則每個月類攤位占地面積為（戶2）平方

米，根據(jù)用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建8類攤位個數(shù)的|這個等量關(guān)系列出方程

即可.

（2）設(shè)建1攤位a個，則建6攤位（90-a）個，聯(lián)合“6類攤位的數(shù)量不少于4類攤位數(shù)量的3

倍”列出不等式并解答.

【試題解答】（1）設(shè)每個6類攤位的占地面積為“平方米，則每個/類攤位占地面積為（戶2）平方

米，

根據(jù)題意得：弋=空.|,

x+2x5

解得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，

所以3+2=5,

答：每個力類攤位占地面積為5平方米，每個6類攤位的占地面積為3平方米；

（2）設(shè)建/攤位a個，則建8攤位（90-a）個，

由題意得：90-a》3a,

解得aW22.5,

???建4類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建6類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，

二要想使建造這90個攤位有最大費(fèi)用，所以要多建造/類攤位，即a取最大值22時，費(fèi)用最大，

此時最大費(fèi)用為：22X40X5+30X（90-22）X3=10520,

答：建造這90個攤位的最大費(fèi)用是10520元.

一、挑選題

1.（2021?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程2-4=二的解為正數(shù)，則〃的取值范疇是（）

X—22—X

A.-8<A<0B.4>-8且“云-2C.〃>-8且D.4<4且AW-2

【答案解析】B

【考點(diǎn)解析】示意出分式方程的解，根據(jù)解為正數(shù)確定出〃的范疇即可.

【試題解答】分式方程三；一4=白，

x—z,z—X

去分母得：%-4（%-2）=-〃，

去括號得：X-4A+8=-A,

解得：戶等

由分式方程的解為正數(shù)，得到學(xué)>0,且一H2,

解得：在>-8且-2.

2.（2021?瀘州）已知關(guān)于x的分式方程三+2=-2的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)m的所有個數(shù)為

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】B

【考點(diǎn)解析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解

不等式，可得答案.

【試題解答】去分母，得：研2（A-1）=3,

移項(xiàng)、合并，得：戶等，

???分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

.,.5-勿20且471,

2

解得：rW5且腎3,

???正整數(shù)解有1,2,4,5共4個.

3.（2021?成都）已知x=2是分式方程4+片=1的解，那么實(shí)數(shù)力的值為（）

XX-1

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】B

【考點(diǎn)解析】把x=2代入分式方程計(jì)算即可求出A的值.

【試題解答】把*=2代入分式方程得：^-1=1,

解得：k=4.

4.（2021?廣東省廣州市）甲、乙二人做某種機(jī)械零件，已知每小時甲比乙少做8個，甲做120個所用

的時間與乙做150個所用的時間相等,設(shè)甲每小時做x個零件，下列方程對的是（)

A120-150120_150

A.，-

XX-8x+8x

C120150120_150

'x-8xxx+8

【答案解析】

【試題解答】設(shè)甲每小時做x個零件，根據(jù)甲做120個所用的時間與乙做150個所用的時間相等得出

方程解答即可.

設(shè)甲每小時做x個零件，可得：120=150

xx+8

5.（2021黑龍東地區(qū)）已知關(guān)于”的分式方程立二三=1的解是非正數(shù)，則加的取值范疇是（）

x-3

A.后3B.m<3C.卬>一3D.一3

【答案解析】A

【試題解答】常識點(diǎn)是分式方程的增根。

由紅二二=1得x=m-3,

x-3

?.?方程的解是非正數(shù),

當(dāng)x-3=0即x=3時，3=m-3,m=6,

Vm=6不在mW3內(nèi)，??.inW3.故選A.

6.(2021山東淄博)解分式方程上豆=」--2時，去分母變形對的是()

x-22-x

A.-l+x=-1-2(x-2)B.l-x=l-2(x-2)

C.-l+x=l+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)

【答案解析】D

【試題解答】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可得到成果.

去分母得：1-x=-1-2(x-2)

7.(2021?廣西貴港)若分式二支的值等于0,則x的值為()

x+1

A.±1B.0C.-ID.1

【答案解析】D

2

【試題解答】化簡分式工_zL=(x+LHx-l)=x-1=0即可求解。

x+1x+1

J-1（x+1）（x-1）]=0,

x+1x+1

x=1;

經(jīng)檢驗(yàn)：X=1是原分式方程的解。

8.（2021?湖北十堰）十堰即將跨入高鐵時代，鋼軌鋪設(shè)任務(wù)也將完成.現(xiàn)還有6000米的鋼軌需要鋪設(shè)，

為確保年底通車，參加現(xiàn)實(shí)施工時天天比原籌劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù).設(shè)原籌劃天天

鋪設(shè)鋼軌x米，則根據(jù)題意所列的方程是（）

A60006000—1RR600060001R

xx+20x+20x

C6000_60002QI）6000_6000

xx-15x-15x

【答案解析】A

【試題解答】考查由現(xiàn)實(shí)問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以時間為等量關(guān)系列出方程.

設(shè)原籌劃天天鋪設(shè)鋼軌x米，根據(jù)參加現(xiàn)實(shí)施工時天天比原籌劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)

可列方程.

設(shè)原籌劃天天鋪設(shè)鋼軌x米，可得：6000J000=

xx+20

9.（2021?山東省濟(jì)寧市）天下文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了5G

網(wǎng)絡(luò).5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)

絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率.設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列

方程是（）

A.駟L-旦2=45B.駟.一旦2=45

x10x10xx

C5000_500f5D500_5000

【答案解析】A

【試題解答】由現(xiàn)實(shí)問題抽象出分式方程直接操縱5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進(jìn)而得出答案.

設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是：

500.500-15

x10x

10.（2021?江蘇蘇州）小明5元買售價(jià)一樣的軟面筆記本，小麗用24元買售價(jià)一樣的硬面筆記本

（兩人的錢恰好用完），已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到一樣數(shù)量的

筆記本，設(shè)軟面筆記本每本售價(jià)為x元，根據(jù)題意可列出的方程為（）

15241524八1524C1524

AA.—=-------nD.——=-------L.-------=——D.--------=——

xx-3x+3xx-3x

【答案解析】A

【試題解答】考查分式方程的應(yīng)用，簡單題型。找到等量關(guān)系為兩人買的筆記本數(shù)量

,15=24

x元+3

二、填空題

11.（2021?徐州）方程2=白的解為

XX-1-------

【答案解析】x=9.

【考點(diǎn)解析】根據(jù)解分式方程的過程進(jìn)行求解即可.

【試題解答】去分母得：

9(x-1)=8x

9x-9=8x

x=9

檢驗(yàn)：把x=9代入x(x-l)WO,

所以x=9是原方程的解.

12.(2021?鹽城)分式方程號=0的解為*=.

【答案解析】1

【考點(diǎn)解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分

式方程的解.

【試題解答】分式方程號=0,

去分母得：x-1=0,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是分式方程的解.

13.（2021?廣元）關(guān)于x的分式方程E+2=0的解為正數(shù)，則小的取值范疇是

2x-l--------------

【答案解析】mV2且懵0.

【考點(diǎn)解析】起首解方程求得方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)，即可得到一個關(guān)于〃的不等式,

從而求得0的范疇.

【試題解答】去分母得：研4x-2=0,

解得：x=^,

4

?.?關(guān)于X的分式方程+2=0的解是正數(shù)，

2x-l

>0,

4

0<2,

?.?2x-1#0,

:,赭0,

???切的取值范疇是Z2且加W0.

14.（2021?甘肅）分式方程工=工的解為_.

x+1x+2

【答案解析】x=L

2

【試題解答】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分

式方程的解.

去分母得：3廣6=5/5,

解得：x=L,

2

經(jīng)檢驗(yàn)x=L是分式方程的解.

2

15.（2021?山東省濱州市）方程工二至+1=旦的解是_.

x—22-x

【答案解析】x=\.

【試題解答】本題考查領(lǐng)會分式方程.（1）解分式方程的根基思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化

為整式方程求解，（2）解分式方程必然注重要驗(yàn)根.

去分母，得x-3+x-2=-3,

移項(xiàng)、合并，得2x=2,

解得x=l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時，X-2W0,

所以，原方程的解為X=1

16.（2021?湖北黃石）分式方程：——-'=1的解為―.

x2-4xx-4

【答案解析】x=-1

【試題解答】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分

式方程的解.

去分母得：4-x—^-\x,即V-3x-4=0,

解得：x=4或x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=\是增根，分式方程的解為x=-1

17.（2021四川巴中）若關(guān)于x的分式方程上+及=2勿有增根，則R的值為—.

x-22-x

【答案解析】1

【試題解答】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的大概值，讓

最簡公分母X-2=0,得到x=2,然后世入化為整式方程的方程算出0的值.

方程兩邊都乘x-2,得x-2m=2m（x-2）

.??原方程有增根，

.??最簡公分母*-2=0,

解得x=2,

當(dāng)x—2時，m—1

故如的值是1

18.（2021?江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程」-+三2=1的解為正數(shù)，則a的取值范疇是_.

x-22-x

【答案解析】a<5且a#3.

【試題解答】直接解分式方程，進(jìn)而操縱分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范疇，進(jìn)而聯(lián)合分式方

程有意義的前提解析得出答案.

去分母得：1-出2=犬-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

當(dāng)x=5-a=2時，a=3不合題意，

故a<5且a#3.

19.（2021?貴州省安順市）某生態(tài)示范園籌劃種植一批蜂糖李，原籌劃總產(chǎn)量達(dá)36萬千克，為了滿足

市場需求，現(xiàn)決意改進(jìn)蜂糖李品種，改進(jìn)后平均每畝產(chǎn)量是原籌劃的L5倍，總產(chǎn)量比原籌劃增添了

9萬千克，種植畝數(shù)削減了20畝，則原籌劃和改進(jìn)后平均每畝產(chǎn)量各幾萬千克？設(shè)原籌劃平均畝產(chǎn)量

為x萬千克，則改進(jìn)后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，根據(jù)題意列方程為

36_36+9.20

［答案解析］~L5x

【試題解答】設(shè)原籌劃平均畝產(chǎn)量為了萬千克，則改進(jìn)后平均每畝產(chǎn)量為L5x萬千克，

依題意，得：36-36+9_=20.

x1.5x

故答案為：至-變坦=20.

x1.5x

20.（2021黑龍江綏化）甲乙兩輛汽車同時從A地出發(fā)，開往相距200km的B地，甲，乙兩車的速度之比

是4:5,成果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地，則甲車速度為km/h.

【答案解析】80

【試題解答】分式方程的應(yīng)用。

設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得：

4x5x2

解之，得x=20,.?.甲車速度為4x=80.

三、解答題

21.（2021?湘潭）解分式方程：,+2=9.

x-1X-1

【答案解析】見解析。

【考點(diǎn)解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分

式方程的解.

【試題解答】A+2=A

x-1x-1

去分母得，3+2（x-1）=x,

解得，x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是原方程的解.

所以，原方程的解為：x=-L

22.（2021?陜西）解分式方程：--^-=1.

xx-2

【答案解析】見解析。

【考點(diǎn)解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分

式方程的解.

【試題解答】方程三—2=1,

XX-2

去分母得：x-4x+4-3x-2x,

解得：h/

經(jīng)檢驗(yàn)戶g是分式方程的解.

24.（2021?牡丹江）某商場籌辦購進(jìn)/,8兩種書包，每個1種書包比6種書包的進(jìn)價(jià)少20元，用

700元購進(jìn)4種書包的個數(shù)是用450元購進(jìn)6種書包個數(shù)的2倍，4種書包每個標(biāo)價(jià)是90元，8種書

包每個標(biāo)價(jià)是130元.請解答下列問題：

（1）A,6兩種書包每個進(jìn)價(jià)各是幾元?

（2）若該商場購進(jìn)6種書包的個數(shù)比4種書包的2倍還多5個，且4種書包不少于18個，購進(jìn)4

8兩種書包的總費(fèi)用不超過5450元，則該商場有哪幾種進(jìn)貨方案？

（3）該商場按（2）中獲利最大的方案購進(jìn)書包，在銷售前，拿出5個書包贈送給某希望小學(xué)，剩

余的書包所有售出，其中兩種書包共有4個樣品，每種樣品都打五折，商場仍獲利1370元.請直接寫

出贈送的書包和樣品中，6種書包各有幾個？

【答案解析】見解析。

【考點(diǎn)解析】（1）設(shè)每個/種書包的進(jìn)價(jià)為x元，則每個6種書包的進(jìn)價(jià)為（x+20）元，根據(jù)數(shù)

量=總價(jià)+單價(jià)聯(lián)合用700元購進(jìn)A種書包的個數(shù)是用450元購進(jìn)8種書包個數(shù)的2倍，即可