四邊形中常見輔助線的作法

.z.儒洋教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課題教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，則過中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的*一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作邊或線段的平行線，以到達(dá)應(yīng)用*個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊假設(shè)相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。故可分“有心〞和“無心〞旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于角；第二，是把三角形中的*一線段進(jìn)展平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。〞托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表〕五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，〔在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積〕，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)〞有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叏?。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形〔包括矩形、正方形、菱形〕的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有*些一樣性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有以下幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：〔1〕連對(duì)角線或平移對(duì)角線：〔2〕過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形〔3〕連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線〔4〕連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形?！?〕過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.1．利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.分析:因?yàn)樗倪呅蜲CDE是平行四邊形,所以O(shè)C//ED,OC=DE,又由O是AC的中點(diǎn),得出AO//ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形,問題得證.證明:連結(jié)AE、OD，因?yàn)槭撬倪呅蜲CDE是平行四邊形，所以O(shè)C//DE，OC=DE，因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，所以A0//ED，AO=ED，所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分.說明：當(dāng)條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2．利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.分析:要證明ED+FG=AC,因?yàn)镈E//AC,可以經(jīng)過點(diǎn)E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH.證明:過點(diǎn)E作EH//BC,交AC于H,因?yàn)镋D//AC,所以四邊形CDEH是平行四邊形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題.3．利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形.證明：延長(zhǎng)AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG，CG，因?yàn)锽D=CD，所以四邊形ABGC是平行四邊形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因?yàn)锳E=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC.說明：此題通過利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.圖3圖4二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)條件，此題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因?yàn)锳O平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因?yàn)镋F//CD，所以∠1=∠2，又因?yàn)椤螮OF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形.例5如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長(zhǎng).分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長(zhǎng)，可以通過連結(jié)菱形的對(duì)角線BD，借助菱形的對(duì)角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.證明：連結(jié)BD、DF.因?yàn)锳C、BD是菱形的對(duì)角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到DE與AC的交點(diǎn)G處時(shí)，上式等號(hào)成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長(zhǎng).圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：〔1〕作菱形的高；〔2〕連結(jié)菱形的對(duì)角線.與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：〔1〕計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；〔2〕證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6如圖7，矩形ABCD一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長(zhǎng).分析：要利用條件，因?yàn)榫匦蜛BCD，可過P分別作兩組對(duì)邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題.解：過點(diǎn)P分別作兩組對(duì)邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點(diǎn)H，交AD于G.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3.圖7說明：此題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到PD的長(zhǎng).四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=∠AEB.分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.證明：連接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=AC，因?yàn)锳E=AC，所以∠AEH=30°，因?yàn)锽E//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因?yàn)锳C是正方形的對(duì)角線，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=∠AEB.說明：此題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形AHBO，進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題.與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：〔1〕作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；〔2〕作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；〔3〕作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；〔4〕延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；〔5〕作兩腰的平行線等.例8，如圖9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點(diǎn)0.求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD，可證明∠COD=∠CDO，由于∠BAC=90°，所以可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題.證明：過點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別是E、F，則四邊形AEFD為矩形，因?yàn)锳E=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=BC，∠ACB=45°，所以AE=DF=，又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=，所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD.圖9說明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對(duì)等邊來證明，此題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識(shí)解決.例9如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的長(zhǎng).分析：根據(jù)此題的條件，可通過平移一條對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決.解：過點(diǎn)D作DF//AC，交BC的延長(zhǎng)線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF，AD=CF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因?yàn)镈E⊥BC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=×10=5.因?yàn)锳C//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF,因?yàn)锽E=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長(zhǎng)為5.圖10說明:當(dāng)有對(duì)角線或垂直成梯形時(shí),常作梯形對(duì)角線的平行線,構(gòu)造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決.和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.分析：欲證0G=OH，而OG、OH為同一個(gè)三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，所以可試想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.證明：取AD中點(diǎn)P，連結(jié)PE，PF.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，所以PE//BD，且PE=BD，PF//AC，且PF=AC，所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以O(shè)G=OH.說明：遇中點(diǎn)，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題.梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的根本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：〔1〕在梯形部平移一腰?！?〕梯形外平移一腰〔3〕梯形平移兩腰〔4〕延長(zhǎng)兩腰〔5〕過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高〔6〕平移對(duì)角線〔7〕連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)?！?〕過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線?！?〕作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵?！惨弧场⑵揭?、平移一腰：例1.如下圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng).解：過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值圍。解：過點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值圍是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°則△EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以3、平移對(duì)角線：例4、：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．ABDCEH∵ABDCEH∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，則．例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：AC⊥BD。解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，，從而AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得〔cm〕〔cm〕所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。〔二〕、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8.如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如下圖.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.〔三〕、作對(duì)角線即通過作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE?！菜摹场⒆魈菪蔚母?、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD的面積．ABCDDEDFD解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又ABCDDEDFD∴四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，∴例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。證：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，則易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳B>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC〔五〕、作中位線1、梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=〔AB＋CD〕①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE所以②由①、②得AB＋CD=AD。2、梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：〔1〕EF//AD；〔2〕。證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因?yàn)锳D//BG，所以EF//AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形到達(dá)解題的目的。例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC，并交于F點(diǎn)∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行錯(cuò)角相等)∠AED=∠FEC〔對(duì)頂角相等〕DE=EC