XXXX中學(xué)高二年段上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

XXXX中學(xué)高二年段上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題考試范圍：立體幾何、直線方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知直線l的方程為xsinα+3y-1=0，αA.0,π3∪23π,π 2.已知向量m=2,-4x,1是平面α的法向量，n=6,12,-3y是直線lA.-4 B.4 C.-2 3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax+y+b=0和直線lA. B.

C. D.4.設(shè)m∈R，直線l1:m+2x+6y-2m-8=0，lA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.點(diǎn)(5,2)到直線(m-1)x+(2mA.13 B.213 C.6.圓x2+y2+2x-6A.23 B.203 C.47.已知點(diǎn)P(-1,1)與直線l:x-y+1=0A.過點(diǎn)P且截距相等的直線與直線l一定垂直

B.過點(diǎn)P且與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為2的直線有2條

C.點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)

D.直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱直線方程為x8.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為B(-1,-4)，若將軍從點(diǎn)A(-1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為A.13 B.17 C.2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知點(diǎn)A2,0，B-2,0，直線l：1+3λx-1+2λy+2=0(其中λ∈R)，若直線A.0 B.1 C.2 D.410.已知空間向量a=(-2,-1,1)，b=(3,4,5)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.(2a+b)//a

B.若c=(0,1,λ)與a，b共面則λ=1311.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別是棱BC，CCA.任意，t∈[0,1]，三棱錐M-DD1Q為定值

B.若t=1，則過點(diǎn)M，P，Q的截面面積是92

C.若t=12，則點(diǎn)A1到平面MPQ12.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．若已知△ABC的頂點(diǎn)A(-4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x-A.△ABC重心的坐標(biāo)為(-13,?23)或(-23,?13)

B.△ABC垂心的坐標(biāo)為(0,?2)或(-2,?0)

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線l

經(jīng)過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn)，且點(diǎn)14.兩條直線y=x+2a，y=2x+a的交點(diǎn)P15.已知點(diǎn)A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)為空間三點(diǎn)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形ABDC的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.平行四邊ABDC的面積為16.在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓的半徑為5；乙：該圓經(jīng)過點(diǎn)3,3；丙：該圓的圓心為2,1；丁：該圓經(jīng)過點(diǎn)7,0.如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是

，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________________(

)四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)已知點(diǎn)A(1,-2)，B(1)過點(diǎn)A，B且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A，B且圓心C在直線2x-18.(本小題12.0分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AP的長為2，且AP與AB、AD的夾角都等于60°，M在棱PC上，PM=12MC(Ⅰ)試用a，b，c表示出向量BM；(Ⅱ)求BM與AP所成的角的余弦值．19.(本小題12.0分)已知點(diǎn)A(-2,1)，B(1,-5)(Ⅰ)求AB邊上的高的直線方程；

(Ⅱ)求ΔABC的面積；(III)過C的直線l到A，B兩點(diǎn)距離相等，求l20.(本小題12.0分)

如圖1，在△MBC中，MA是BC邊上的高，MA=3，AC=4.如圖2，將△MBC沿MA進(jìn)行翻折，使得二面角B-MA-C為90°，再過點(diǎn)B作BD/?/AC，連接AD，CD，MD，且AD=23，∠CAD=30°．

(1)求證：CD⊥平面MAD；21.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，BC=AB=12AD=1，PA=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為棱PD上動點(diǎn)．

(1)當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，平面PAB?平面22.(本小題12.0分)

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．

(1)如果PD=4，求證：PC⊥平面MAD；

(2)當(dāng)BP與平面MBD所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐D-MBC答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于中檔題．

計(jì)算

k∈-33,33【解答】解：

xsinα+3y-設(shè)直線

l

的傾斜角為θ(0?θ<π)所以當(dāng)

k∈0,33

時(shí)，直線

l

當(dāng)

k∈-33,0

時(shí)，直線

l綜上所述：直線

l

的傾斜角

θ故選：B．2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查平面法向量，屬于基礎(chǔ)題。

由

l⊥α

可得

m【解答】解：因?yàn)?/p>

l⊥α

，故

m//n

，故則

2,-4x,1=λ6,12,-3y則

x+y故選：C．3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了直線的斜率、截距的意義，屬于基礎(chǔ)題．

分別從兩直線的斜率與截距兩方面依次分析各選項(xiàng)即可．【解答】解：直線l1：ax+y+b=0和直線l2：bx+y+a=0分別化為：l1：y=-ax-b，l2：y=-bx-a．

A，直線l1的截距-b>0，則b<0，直線l2的斜率-b<0，則b>0，矛盾，故A錯誤；

B，直線l1的截距-b<0，斜率-a<0，則a>0，b>0，直線l2的斜率-b<0，截距-a<0，則a4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了兩直線平行的充要條件及命題間的充要關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．

由l1//l【解答】

解：若l1/?/2，則2m(m+2)=6(m+1)(m+2)≠-(2m+8)，解得m=15.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

先求出直線(m-1)x+(2m-1)y=m【解答】

解：直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5，

即m(x+2y-1)+(-x-y+5)=0，

令x+2y-6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查圓的對稱性的應(yīng)用，利用基本不等式求最值，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

求出圓的圓心代入直線方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】

解：∵圓x2+y2+2x-6y+1=0?(x+1)2+(y-3)2=9，

圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax7.【答案】A

【解析】【分析】本題考查直線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．

對于A：分別求出截距為0和截距不為0進(jìn)行討論，求出過點(diǎn)P且截距相等的直線y=-對于B：直接求出過點(diǎn)P且與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為2的直線；對于C：直接求出點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)0,0，即可判斷；對于D：直接求出直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱直線方程，即可判斷．【解答】解：已知點(diǎn)P(-1,1)與直線l對于A：當(dāng)截距為0時(shí)，直線y=-x與直線當(dāng)截距相等且不為0時(shí)，可設(shè)直線：xa+y所以過點(diǎn)P且截距相等的直線y=-x與直線l垂直，故對于B：過點(diǎn)P的直線與坐標(biāo)軸圍成三角形存在，所以斜率必存在且不為0，可設(shè)其為k，則直線為y-1=kx+1，所以三角形的面積為12|1+k||1+對于C：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)x,y，則有y-即點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)0,0，故C錯誤；對于D：設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱直線方程為x-y+c=0,c≠1，則有-1-1+c1+1故答案選：AB．8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查點(diǎn)線間的對稱問題，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．作出圖形，求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y=3的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，在直線x+y=3上取點(diǎn)P，利用A、【解答】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y=3由題意可得a-12+在直線x+y=3上取點(diǎn)P所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC因此，“將軍飲馬”的最短總路程為2故選C．9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查直線斜率公式的運(yùn)用，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．由題意可得直線l恒過定點(diǎn)P(4,6)，所以要直線l與線段AB有公共點(diǎn)，必須滿足kPB≤【解答】解：由1+3λx-由x-y+2=03x-2y=0，解得x因?yàn)辄c(diǎn)A2,0，B-2,0，直線l所以直線l的斜率k滿足：kPB≤k≤kPA，

即6-04-(-2)故選：BC．10.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查了空間向量的投影，模長，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．

根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合空間向量的投影，模長，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示，逐一判斷即可．【解答】解：由題得2a+b=(-1,2,7)，a=(-2,-1,1)，而因?yàn)閨a|=6，|b|=5因?yàn)?a+4b=2,11,25，

所以因?yàn)閍在b上的投影數(shù)量為|a|cos<a，b>=a11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查線面平行的判定，考查空間幾何體的截面問題，考查點(diǎn)面距離，考查直線與平面所成角，屬于難題．

t=1時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，易得A1B1/?/AB，由AB與平面MPQ相交于點(diǎn)A，可推導(dǎo)出A1B1與平面MPQ的位置關(guān)系從而判斷A；易得點(diǎn)M(A)，P，Q，D1共面，可知過點(diǎn)M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，再結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征及勾股定理求解即可得到過點(diǎn)M，P，Q的截面面積，從而判斷B；t=12時(shí)，點(diǎn)【解答】

解：若t=1，則點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，

正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1/?/AB，

AB與平面MPQ相交于點(diǎn)A，

所以A1B1與平面MPQ相交，不平行，故A錯誤；

連接AD1，

顯然正方體ABCD-A1B1C1D1中，PQ//AD1，

則點(diǎn)M(A)，P，Q，D1共面，

所以過點(diǎn)M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，

正方體棱長為2，

P，Q分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，，

所以BP=CP=CQ=1，AB=2，

則由勾股定理可得：PQ=CP2+CQ2=2，

AP=AB2+BP2=5，

AD1=AD2+D1D2=22，

則等腰梯形APQD1的高h(yuǎn)=AP2-AD1-PQ22=322，

所以等腰梯形APQD1的面積S=12.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了方程組的解法，屬于中檔題．

設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．設(shè)歐拉線與BC交于點(diǎn)D，則CDCB=2【解答】

解：∵AB的中點(diǎn)為(-2,2)，且kAB=4-00-(-4)=1，

所以AB的中垂線方程為y-2=-(x+2)，即x+y=0，

聯(lián)立x+y=0x-y+2=0，解得x=-1y=1．

∴△ABC的外心為(-1,1)，

設(shè)C(m,n)，由重心坐標(biāo)公式(X1+X2+X33

，Y1+Y2+Y33

)得，

三角形ABC的重心為-4+m3,4+n3，

代入歐拉線方程得：-4+m3-4+n3+2=0，整理得：m-n-2=0

①

又外心為(-1,1)，

所以(m+1)2+(n13.【答案】3x+4y【解析】【分析】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及利用點(diǎn)到直線的距離求斜率．

求出交點(diǎn)坐標(biāo)，對l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】

解：將

l1,l當(dāng)直線l

的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，顯然點(diǎn)P-1,1到直線l

當(dāng)直線l

的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l

的方程為y-2=k根據(jù)題意，得-2k+1∴直線l

的方程為3x綜上，直線l

的方程為3x+4y故答案為：3x+4y14.【答案】(-1【解析】【分析】本題考查兩直線的交點(diǎn)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．

先求出兩條直線的交點(diǎn)P，利用點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)滿足的條件即可得出．【解答】解：聯(lián)立y=x+2ay=2x+a，解得x=ay=3a，

∴兩條直線y=x+2a，y=2x+a的交點(diǎn)P(a,3a)，15.【答案】(-1,-2,8)

【解析】【分析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查空間向量、向量相等等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．

設(shè)以AB，AC為鄰邊的平行四邊形ABDC的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x,y,【解答】

解：∵點(diǎn)A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)為空間三點(diǎn)，

設(shè)以AB，AC為鄰邊的平行四邊形ABDC的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x,y,z)，

∴AB=CD，即(-2,-1,3)=(x-1,y16.【答案】丁

x-【解析】【分析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

通過假設(shè)的方法判斷出錯誤的同學(xué)．【解答】解：設(shè)

A3,3,假設(shè)甲錯誤，乙丙丁正確，AB=AB≠BC假設(shè)乙錯誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為

x-2C7,0

假設(shè)丙錯誤，甲乙丁正確．由乙丁得

AC=42+3假設(shè)丁錯誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為

x-2A3,3

綜上所述，結(jié)論錯誤的同學(xué)是丁．故選：D17.【答案】解：(1)當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最?。?/p>

即AB中點(diǎn)(0,1)為圓心，半徑r=12|AB(2)解法1：AB的斜率為k=4-(-2)-1-1=-3，

則AB的垂直平分線的斜率為13，

又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，

則又圓心在直線2x-y-4=0上，得兩直線交點(diǎn)為圓心，聯(lián)立

xr=|AC|=1-32解法2：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為：(x則(1-∴圓的方程為：(x

【解析】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和根據(jù)題設(shè)條件求解圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

(1)當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，進(jìn)而求得圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，即可得到圓的方程．

(2)解法一：AB的斜率為k=-3時(shí)，則AB的垂直平分線的方程為x-318.【答案】解：(Ⅰ)∵PM=12MC，

∴BM=BC+CM=BC+23CP

∵ABCD是邊長為1的正方形，

∴CP=AP-AC=AP-(AB+AD)

=AP-AB-AD，

BC=AD，

∴BM=AD+23(AP-AB-AD)

=-【解析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

(Ⅰ)根據(jù)向量加法法則，化簡即得用a，b，c表示向量BM的式子；

(Ⅱ)利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)由題意，得kAB=1-(-5)-2-1=-2．

∵l⊥AB，∴kl=12．

則l的方程為y-3=12(x-2)，即x-2y+4=0．

(Ⅱ)面積S=15

過程略

(III)若l的斜率不存在，則l的方程為x=2，

A，B兩點(diǎn)到l的距離分別為4和1，不合題意，

故l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，

【解析】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率，兩條直線垂直的判定，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

(Ⅰ)根據(jù)已知及直線的傾斜角與斜率，兩條直線垂直的判定，直線的點(diǎn)斜式方程，直接可求出直線l的方程，

(Ⅱ)注意分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，即可求出斜率k的值，則l的方程可求．20.【答案】解：(1)證明：在△ADC中，AC=4，AD=23，∠CAD=30°，

∴CD=42+(23)2-2×4×23×cos30°=2，

∴AD2+CD2=AC2，∴AD⊥DC，

∵M(jìn)A⊥AB，MA⊥AC，AB∩AC=A，AB、AC?平面ABCD，

∴MA⊥平面ABCD，

∵CD?平面ABDC，∴CD⊥MA，

∵AD∩MA=A，AD、MA?平面MAD，

∴CD⊥平面MAD．

(2)由題意知AM，AB，AC兩兩垂直，∠BAD=60°，

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AM所在直線分別為x，y【解析】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

(1)由余弦定理求出CD=2，由勾股定理求出AD⊥DC，由MA⊥AB，MA⊥AC，得MA⊥平面ABCD，從而CD⊥MA，由此能證明CD⊥平面MAD．

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AM21.【答案】解：(1)延長AB，DC交于Q，連接PQ．則易知PQ為平面PAB與平面PCD的交線，即：PQ與l重合.

由題意，在△ADQ中：BC//AD故C為DQ的中點(diǎn)．又∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴又∵M(jìn)C?平面ACM，PQ??∴PQ//平面ACM，即l//(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OC，由題意可得：OP⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，則OP⊥平面∴分別以O(shè)C，OA，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-則A(0,-1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)

DP=(0,-1,3)，AD=(0,2,0)，∵M(jìn)在棱PD上，不妨設(shè)DM其中0≤∴AM設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為m=(則m?AM=0令z=2-λ解得：y=-3λ又∵平面ACD的一個(gè)法向量n=(0,0,1)∴|cos<m，