新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第一冊(cè)

第二章2.1第1課時(shí)A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．大橋橋頭立著的“限重40噸”的警示牌，是提示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系(C)A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥402．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)[解析]M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，故M>N.3．已知a＞0，b＞0，M＝eq\r(a)＋eq\r(b)，N＝eq\r(a＋b)，則(A)A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．不能確定[解析]易知M＞0，N＞0，因?yàn)镸2－N2＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2－(eq\r(a＋b))2＝2eq\r(ab)＞0，所以M＞N.4．若某高速公路對(duì)行駛的各種車輛的最大限速為120km/h，行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于50m，則用不等式表示為(B)A．v≤120km/h或d≥50mB.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h，,d≥50m))C．v≤120km/hD．d≥50m[解析]考慮實(shí)際意義，知v≤120km/h，且d≥50m.5．(多選題)下列結(jié)論正確的是(ACD)A．用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)a元不低于300元為a≥300B．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x＋4y＜200C．設(shè)M＝x2＋3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞ND．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是M＞－5[解析]可得a≥300，故A正確；可得500x＋400y≤20000，化為5x＋4y≤200，故B錯(cuò)誤；M－N＝x2＋3－3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，可得M＞N，故C正確；因?yàn)閤≠－2且y≠1，所以M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2＞0，即M＞－5，故D正確．二、填空題6．當(dāng)m>1時(shí)，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為_m3>m2－m＋1_.[解析]∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.7．一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的上底面有一點(diǎn)A，下底面有一點(diǎn)B，則A，B兩點(diǎn)間的距離d滿足的不等式為2≤d≤2eq\r(3)_.[解析]最短距離是棱長(zhǎng)2，最長(zhǎng)距離是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)2eq\r(3).故2≤d≤2eq\r(3).8．一輛汽車原來(lái)每天行駛xkm，如果這輛汽車每天行駛的路程比原來(lái)多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫成不等式為8(x＋19)>2200_；如果它每天行駛的路程比原來(lái)少12km，那么它原來(lái)行駛8天的路程就得花9天多的時(shí)間，用不等式表示為eq\f(8x,x－12)>9_.[解析]原來(lái)每天行駛xkm，現(xiàn)在每天行駛(x＋19)km.則不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程就超過2200km”，寫成不等式為8(x＋19)>2200.若每天行駛(x－12)km，則不等關(guān)系“原來(lái)行駛8天的路程就得花9天多的時(shí)間”用不等式表示為eq\f(8x,x－12)>9.三、解答題9．有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)運(yùn)輸效果如下表：輪船運(yùn)輸量/t飛機(jī)運(yùn)輸量/t糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運(yùn)輸2000t糧食和1500t石油．寫出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式．[解析]設(shè)需要安排x艘輪船和y架飛機(jī)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，y∈N.))10．設(shè)x∈R且x≠4，試比較x＋3與eq\f(13,4－x)的大?。甗解析]因?yàn)閤＋3－eq\f(13,4－x)＝x＋3＋eq\f(13,x－4)＝eq\f(x2－x＋1,x－4)，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以當(dāng)x>4時(shí)eq\f(x2－x＋1,x－4)>0，此時(shí)x＋3>eq\f(13,4－x).當(dāng)x<4時(shí)eq\f(x2－x＋1,x－4)<0，此時(shí)x＋3<eq\f(13,4－x).B組·能力提升一、選擇題1．已知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，將上述文字語(yǔ)言用不等式(組)可表示為(D)A．a(chǎn)＋b>c B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c≥b,b＋c≥a)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b,b＋c>a))[解析]由三角形三邊關(guān)系及題意易知選D.2．四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系正確的是(A)A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1[解析]觀察圖形可知體積減小一半后剩余酒的高度最高為h2，最低為h4.故選A．3．(多選題)設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是(BD)A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a(chǎn)＜c[解析]因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，①,c－b＝4－4a＋a2，②))由①－②得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，所以b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以b＞a，而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.從而c≥b＞a.二、填空題4．已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據(jù)此事實(shí)提煉一個(gè)不等式，當(dāng)b>a>0且m>0時(shí)，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)_.[解析]變甜了，意味著含糖量大了，即濃度高了，所以當(dāng)b>a>0且m>0時(shí)，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).5．有外表一樣，重量不同的四個(gè)小球，它們的重量分別是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，則這四個(gè)小球由重到輕的排列順序是_d>b>a>c_.[解析]∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.綜上可得，d>b>a>c.三、解答題6．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，試比較a3＋b3與ab2＋a2b的大??；(2)已知a≥1，試比較M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大?。甗解析](1)因?yàn)閍＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)·(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.(2)因?yàn)閍≥1，所以M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)>0，N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)>0.所以eq\f(M,N)＝eq\f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)).因?yàn)閑q\r(a＋1)＋eq\r(a)>eq\r(a)＋eq\r(a－1)>0，所以eq\f(M,N)<1，所以M<N.C組·創(chuàng)新拓展甲、乙兩位消費(fèi)者同時(shí)兩次購(gòu)買同一種物品，分別采用兩種不同的策略．甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定．(1)若兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為6元，4元，求甲兩次購(gòu)買這種物品和乙兩次購(gòu)買這種物品的平均價(jià)格分別為多少；(2)設(shè)兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為a元，b元(a＞0，b＞0)，問甲、乙誰(shuí)的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算．[解析](1)設(shè)甲每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量為m，乙每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)為n.所以甲兩次購(gòu)買這種物品的平均價(jià)格為eq\f(6m＋4m,m＋m)＝5(元)，乙兩次購(gòu)買這種物品的平均價(jià)格為eq\f(2n,\f(n,6)＋\f(n,4))＝eq\f(24,5)(元)．(2)由(1)知，甲兩次購(gòu)買這