應(yīng)用數(shù)值分析（二）

插值法2.1引言2.2Lagrange插值法2.3Newton插值法2.4Hermite插值法2.5分段低次插值法2.6樣條插值法2.7二元函數(shù)插值方法一維插值二維插值函數(shù)解析式未知,通過實驗觀測得到的一組數(shù)據(jù),即在某個區(qū)間[a,b]上給出一系列點的函數(shù)值

yi=f(xi)或者給出函數(shù)表y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn

求解：y=f(x)

在[a,b]上任一點處函數(shù)值的近似值？2.1引言引例機(jī)翼下輪廓線

求機(jī)翼下輪廓線上一點的近似值

插值法(本章)

擬合法(下一章)就是考慮到數(shù)據(jù)不一定準(zhǔn)確，不要求近似表達(dá)式經(jīng)過所有的點

，而只要求在給定的

上誤差

（i=0，1，…n）按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。若記δ=(δ1,

δ2,…,δn

)T，就是要求向量δ的范數(shù)||δ||最小。

根據(jù)f

(x)在n+1個已知點的值，求一個足夠光滑又比較簡單的函數(shù)p(x)作為f(x)的近似表達(dá)式，插值法然后計算p(x)在[a,b]上點x處的函數(shù)值作為原來函數(shù)f

(x)在此點函數(shù)值的近似值。代數(shù)多項式、三角多項式、有理函數(shù)或樣條函數(shù)解決思路

(1.2)式稱為插值條件，x2<?<xn≤

b點上的值y0,y1,?,yn.

若存在一簡單函數(shù)p(x),使得

p(xi)=yi

i=0,1,2,

?,n

(1.2)

1、定義f(

x

)稱為被插函數(shù)，[a,b]稱為插值區(qū)間，稱為插值節(jié)點，求p

(

x

)

的方法就是插值法。設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且已知在a

≤

x0

<

x1<成立,則稱p(x)為

f(x)的插值函數(shù)。近似計算f(x)的值、零點、極值點、導(dǎo)數(shù)、積分，插值函數(shù)p(x)在n+1個互異插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)處與f(xi)相等,在其它點x就用p(x)的值作為f(x)的近似值。這一過程稱為插值，點x稱為插值點。換句話說,插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點的函數(shù)值。用p(x)的值作為f(x)的近似值,不僅希望p(x)能較好地逼近f(x),而且還希望它計算簡單。最常用的插值函數(shù)是…?代數(shù)多項式用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為多項式插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值法插值函數(shù)分段函數(shù)…三角多項式多項式和分段多項式計算簡單，在工程計算中使用最多.x0x1x2x3x4

xf(x)p(x)從幾何上看曲線P

(

x)

近似f

(

x)研究問題：（1）滿足插值條件的P

(

x)

是否存在唯一？（2）若滿足插值條件的P

(

x)

存在，如何構(gòu)造P

(

x)？（3）如何估計用P

(

x)近似替代f

(

x)產(chǎn)生的誤差？多項式插值存在？唯一？范德蒙行列式定理1.1.1(存在唯一性)：已知函數(shù)在上的則存在唯一的插值多項式

使得

個互異節(jié)點處的函數(shù)值注1：只要n+1個節(jié)點互異，滿足插值條件的n次插值多項式是唯一存在的。注2：如果不限制多項式的次數(shù)，插值多項式不唯一或不存在?；舅枷耄涸趎次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)

0(x),

1(x),…,

n

(x),使pn(x)=a0

0(x)

+a1

1(x)

+…+an

n（x)不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值存在唯一性說明，滿足插值條件的多項式存在，并且插值多項式與構(gòu)造方法無關(guān)。待定系數(shù)法：直接求解方程組的方法，計算復(fù)雜，工作量大。2.2.1線性插值（n=1，一次插值）求解L1(x)=a1x+a0使得L1(xi)

=yi.(i=0,1)點斜式2.2拉格朗日插值法已知令點斜式則稱為節(jié)點上的線性插值基函數(shù)。為f(x)的線性插值函數(shù)。節(jié)點上的線性插值基函數(shù)：只與節(jié)點有關(guān)L1(x)是兩個線性函數(shù)的線性組合2.2.2拋物線插值（n=2，二次插值）求解L2(x)=a2x2+a1

x+a0使得L2(xi)=yi,i=0,1,2.已知仿照線性插值函數(shù)的構(gòu)造方法拋物插值滿足其中要求均為二次多項式。設(shè)即由求構(gòu)造L2(x)是三個二次函數(shù)的線性組合故同理插值多項式拋物插值多項式的求法拋物插值多項式例1求拋物插值函數(shù)，并求x=1.5處值。已知的函數(shù)表解：Joseph-LouisLagrange1736~1813法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家

分析其中滿足2.2.3n次插值（拉格朗日插值多項式）多項式可使用上述類似方法。由組不同數(shù)據(jù)構(gòu)造次上述多項式稱為n次拉格朗日插值多項式。先求插值基函數(shù)然后構(gòu)造插值多項式定理1（Lagrange）插值多項式通常次數(shù)=n

,但特殊情形次數(shù)可<n

,如：過三點的二次插值多項式x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=L(x)ab在插值區(qū)間

a,b上用插值多項式L(x)近似代替f(x),除了在插值節(jié)點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)–

L(x),則R(x)就是用L(x)近似代替f(x)時的截斷誤差,或稱插值余項.我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小.2.2.4

插值余項和誤差估計設(shè)f(x)

在[a,b]有n+1階導(dǎo)數(shù)，則滿足插值條件的n次定理2插值項式對任意，有插值余項且依賴于.其中證明：插值余項和誤差估計注意余項表達(dá)式僅當(dāng)

存在時才能應(yīng)用，且是唯一的。

在(

a

,

b

)內(nèi)的具體位置通常不能給出。若

,則截斷誤差限

n次插值多項式對次數(shù)不高于n次的多項式完全精確。若f(x)為次數(shù)不高于n次的多項式,從而Rn(x)=0.則f(n+1)(ξ)=0,

y0

xxk

xk+1

①線性插值：?

n=1,2時的插值余項：y0x②拋物線插值：xk-1

xk

xk+1

xi123yi0.36790.13530.0183作業(yè)5：1、課堂小結(jié)；2、課后作業(yè)第1、2、4、5、6、13題；3、數(shù)值實驗題第2、4題。牛頓插值法差商N(yùn)ewton插值由

組不同數(shù)據(jù)

構(gòu)造的

次多項式其中拉格朗日插值多項式含義直觀形式對稱優(yōu)點：缺點：增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)

都需重新算過。公式不具有繼承性，不利于編程。分析：在n次多項式空間中另找一組合適的基函數(shù)希望：每增加一個節(jié)點時，只需重算一個基函數(shù)Newton插值：系數(shù)是多少？疑問：kc容易求嗎？

差商(亦稱均差)/*divideddifference*/差商表f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1f(x0)x0f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2]二階差商f[x2,x3]f[x1,x2]f[x0,x1]一階差商f(x)xf[x0,x1,x2,x3]三階差商由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。(差商可用函數(shù)值的線性組合表示)：性質(zhì)1(差商具有對稱性)：性質(zhì)2差商值與節(jié)點順序無關(guān)(差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)：性質(zhì)3Newton插值：系數(shù)是多少？疑問：kc容易求嗎？Newton插值：…………(n)(n-1)…(2)(1)(1)(2)(3)(n)是n次多項式滿足插值條件Newton插值：優(yōu)點：每增加一個節(jié)點，只要再增加一項即可即有遞推公式例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下二階差商一階差商三階差商四階差商例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m缺點：當(dāng)插值點個數(shù)取得較多時，可能會使得插值多項式產(chǎn)生很大的擾動，進(jìn)而導(dǎo)致插值余項不收斂，拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象

采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例M3.m分段線性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段線性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段線性插值的余項例用分段線性插值法求插值.在[-6,6]中平均選取41個點作插值M4.m比分段線性插值更光滑

xyxi-1xiab

在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。三次樣條插值三次樣條函數(shù)滿足：在每個子區(qū)間上是一個三次多項式。(1)(2)在每個內(nèi)節(jié)點上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。(3)三次樣條插值例用三次樣條插值選取11個基點計算插值M5.m用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，‘method’,‘extrap’)插值方法被插值點已知數(shù)據(jù)xi處的插值結(jié)果‘nearest’

：最鄰近插值‘linear’

：線性插值；‘spline’

：三次樣條插值；‘cubic’

：立方插值?！畃chip’

：分段三次Hermite插值缺省時：分段線性插值。

注意：所有插值方法都要求x是單調(diào)的例在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。M1.m

xy機(jī)翼下輪廓線例已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時的y值。M2.m設(shè)有一個年產(chǎn)240噸的食品加工廠,需要統(tǒng)計其生產(chǎn)費(fèi)用,但由于該廠各項資料不全,無法統(tǒng)計。在這種情況下,統(tǒng)計部門收集了設(shè)備、生產(chǎn)能力和該廠大致相同的五個食品加工廠的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用資料如下表：例M6.m

如何根據(jù)已知五個食品加工廠的資料較準(zhǔn)確地估計該廠的生產(chǎn)費(fèi)用呢？作業(yè)6：

1、本節(jié)內(nèi)容小結(jié)；

2、課后作業(yè)第3、7題；

3、數(shù)值實驗題第1、3題。二維插值二維插值第一種（網(wǎng)格節(jié)點）第二種（散亂節(jié)點）

xyO

yx0二維插值的定義已知n個節(jié)點互不相同，

構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,再用計算插值，即即

注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。網(wǎng)格節(jié)點將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：

分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4.網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4插值函數(shù)為：分兩片第一片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4插值函數(shù)為：分兩片第二片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足注意：(x,y)應(yīng)該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的。雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形如：四個待定系數(shù)雙線性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O網(wǎng)格節(jié)點四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值四個方程要求：1.x0,y0單調(diào)；z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值缺省時,雙線性插值2.x，y可取為矩陣，或