解三角形題型的解法

解三角形題型的解法一、直角三角形中各元素間的關(guān)系：在中，（1）三邊之間的關(guān)系：(勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義），，.二、斜三角形中各元素間的關(guān)系：在中，為其內(nèi)角，分別表達(dá)的對(duì)邊.（1）三角形內(nèi)角和：.（2）正弦定理：在一種三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.；；.三、三角形的面積公式：（1）（分別表達(dá)的高）；（2）＝四、解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中最少有一種是邊）求其它未知元素的問(wèn)題叫做解三角形．廣義地，這里所說(shuō)的元素還能夠涉及三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．重要類(lèi)型：（1）兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知兩角和任意一邊，求其它的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其它邊角.（2）兩類(lèi)余弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其它兩角.解三角形如果出現(xiàn)多解，要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系來(lái)檢查.五、三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換辦法外，還要注意三角形本身的特點(diǎn).（1）角的變換由于在中，，因此；；；.（2）鑒定三角形形狀時(shí)，可運(yùn)用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.六、求解三角形應(yīng)用題的普通環(huán)節(jié)：

（1）分析：分析題意，搞清已知和所求；（2）建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；（3）求解：對(duì)的運(yùn)用正、余弦定理求解；（4）檢查：檢查上述所求與否符合實(shí)際意義.七、解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的概念（1）仰角、俯角的概念：在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角.如圖：（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角.如南偏西等.（3）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目的方向線的夾角.【辦法講評(píng)】題型一求三角形的角和邊使用情景解三角形解題環(huán)節(jié)普通運(yùn)用正弦定理、余弦定理和三角恒等變形來(lái)解答.【例1】在中，已知，，，求．【點(diǎn)評(píng)】（1）運(yùn)用正弦定理和余弦定理時(shí)，注意使用的數(shù)學(xué)情景，懂得兩邊和其中一邊的對(duì)角普通運(yùn)用正弦定理解答；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，普通要討論，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系定理檢查.學(xué)科@網(wǎng)【反饋檢測(cè)1】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求，的值．題型二求三角形的面積使用情景解三角形解題環(huán)節(jié)運(yùn)用公式解答.【例2】在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的值；（2）若角，邊上的中線，求的面積.【點(diǎn)評(píng)】求三角形的面積普通運(yùn)用公式解答，注意靈活選用公式.【反饋檢測(cè)2】在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．題型三判斷三角形的形狀使用情景解三角形解題環(huán)節(jié)普通運(yùn)用正弦定理或余弦定理邊化角或角化邊.【例3】在中，若，則的形狀是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能擬定D．等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】（1）判斷三角形的形狀，普通運(yùn)用正弦定理或余弦定理邊化角或角化邊.（2）得到或，不要漏了.【反饋檢測(cè)3】已知分別是中角的對(duì)邊.（1）求的值；（2）圓為的外接圓（在內(nèi)部）,的面積為,判斷的形狀,并闡明理由.題型四解三角形的應(yīng)用使用情景解三角形的應(yīng)用解題環(huán)節(jié)先畫(huà)圖，把條件標(biāo)記到圖形中，然后轉(zhuǎn)化成解三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解.【例4】已知甲船正在大海上航行，當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立刻以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C處的乙船，乙船當(dāng)即決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)達(dá)成.（供參考使用：）.(1)試問(wèn)乙船航行速度的大??；(2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表達(dá)，如北偏東…度).【解析】依題意畫(huà)出的方位圖，以下【點(diǎn)評(píng)】（1）解三角形的應(yīng)用題，普通先畫(huà)圖，把條件標(biāo)記到圖形中，然后轉(zhuǎn)化成解三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解.（2）解三角形的普通規(guī)律：必須懂得三個(gè)幾何元素，最少一種為邊，對(duì)于不懂得的邊或角能夠放到其它三角形中去解.【反饋檢測(cè)4】在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向，與距離2海里的處有一艘走私船，在處北偏東45°方向，與距離(－1)海里的處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從向北偏西30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？題型五取值范疇或最值問(wèn)題使用情景求變量的取值范疇或最值.解題環(huán)節(jié)普通先建立三角函數(shù)模型，再運(yùn)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的取值范疇或最值.【例5】在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.（1）若的面積等于，求；（2）求的取值范疇.【點(diǎn)評(píng)】本題第2問(wèn)，運(yùn)用正弦定理建立三角函數(shù)模型后，要注意角的范疇，不能簡(jiǎn)樸地根據(jù)“銳角”，把角A的范疇定為,銳角三角形指的是每一種內(nèi)角都是銳角，因此要考慮,才干得到角A的精確范疇.【反饋檢測(cè)5】在中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，，，其中，且(1)求證：是直角三角形；(2)設(shè)圓過(guò)三點(diǎn)，點(diǎn)位于劣弧上，，用的三角函數(shù)表達(dá)三角形的面積，并求面積最大值.參考答案【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2），.【反饋檢測(cè)2答案】（1），;（2）【反饋檢測(cè)2具體解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，又由于的面積等于，因此，得．聯(lián)立方程組解得，．（Ⅱ）由題意得，即，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，．因此的面積．【反饋檢測(cè)3答案】（1）；（2）等邊三角形.學(xué)科@網(wǎng)【反饋檢測(cè)4答案】緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船【反饋檢測(cè)4具體解析】由已知條件得，，∴.在中，，解得，∴，∴為水平線，設(shè)通過(guò)時(shí)間小時(shí)后，緝私船追上走私船，則在中，，，∴，∴緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．【反饋檢測(cè)5答案】（1）證