各種幾何形狀約束下的平拋運動

平拋運動是曲線運動的典型物理模型，其解決的辦法是化曲為直，即平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，分運動和合運動含有獨立性、等時性和等效性的特點．縱觀近幾年的高考試題，平拋運動考點的題型大多不是單純考察平拋運動而是平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合的問題，這類問題題型靈活多變，綜合性較強，既可考察基礎(chǔ)又可考察能力，因而受到命題專家的青睞，在歷年高考試題中屬高頻考點．解答平拋運動的問題，首先要掌握平拋運動的規(guī)律和特點，同時也應(yīng)明確聯(lián)系平拋運動的兩個分運動數(shù)量關(guān)系的橋梁除了時間t，尚有是兩個重要參量:一是速度與水平方向之間的夾角θ，其正切值tanθ=vy/vx(如圖1);二是位移與水平方向之間的夾角α，其正切值tanα=y/x(如圖2)．這兩個正切值之間還滿足關(guān)系:tanθ=2tanα．平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合的問題，命題者用旨在于考察學(xué)生能否尋找一定的幾何關(guān)系，建立上述兩個角參量與幾何圖形中幾何角之間關(guān)系，或建立水平位移、豎直位移與曲線方程的函數(shù)關(guān)系，考察學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．倘若學(xué)生能夠從尋找這層關(guān)系上展開思維，也就找到理解決這類問題的鑰匙．這類問題有多個題型，下面分幾個狀況進(jìn)行討論和解析一．斜面約束下的平拋運動V0αAB圖9例5：在傾角為α的斜面上某點A，以水平速度V0αAB圖9（1）物體在斜面運動的時間？（2）小球飛行多長時間距離斜面最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多大？(空氣阻力不計，重力加速度為g)解析：辦法一，構(gòu)造位移的矢量三角形，V0V0αAB圖10xy①②③由①②③得：（2）如圖11所示，離斜面最遠(yuǎn)時末速度與斜面平行，構(gòu)造速度矢量三角形得：ααααVαvxvy圖11dαxαy最遠(yuǎn)距離d為:辦法二，如圖12所示沿斜面建立平面直角坐標(biāo)系，把初速度和重力加速度投影到坐標(biāo)軸上，分析兩坐標(biāo)軸上的分運動；（1）小球在y軸的分運動做勻減速運動，由離開斜面到再次回到斜面列方程有：v0v0αvxvygxgygyx圖12得：（2）由離開斜面到據(jù)斜面距離最遠(yuǎn)處列方程有：點評：本題是建立做平拋運動的物體由斜面拋出落回斜面的模型，并讓同窗們初步學(xué)會運用運動的不同分解辦法（沿水平和豎直方向分解、沿斜面和垂直于斜面方向分解，也可沿初速度方向和重力方向分解）解決這類問題。例4：一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖6所示，無視空氣阻力，重力加速度為g；則小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為多少？解析：辦法一，由于是垂直打在斜面上，由合速度與分速度的關(guān)系，可構(gòu)造合速度與分速度中間的矢量三角形，得出兩分速度的關(guān)系如圖7所示，從而得解。θV0θV0V0Vyθxy圖7②③θθxy圖8θθxy圖8辦法二，由末速度反向延長線過水平位移的中點如圖8所示，可得：點評：通過斜面傾角構(gòu)造合速度與分速度的矢量三角形，建立各速度的關(guān)系，使問題得以解決；也可運用“平拋運動末速度反向延長線過水平位移的中點”此二級結(jié)論進(jìn)行分析。10.橫截面為直角三角形的兩個相似斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如圖8所示，它們的豎直邊長都是底邊長的二分之一，現(xiàn)有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c.下列判斷對的的是()圖8A.圖中三小球比較，落在a點的小球飛行時間最短B.圖中三小球比較，落在c點的小球飛行過程速度變化最大C.圖中三小球比較，落在c點的小球飛行過程速度變化最快D.無論小球拋出時初速度多大，落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直答案D解析題圖中三個小球均做平拋運動，能夠看出a、b和c三個小球下落的高度關(guān)系為ha>hb>hc，由t＝eq\r(\f(2h,g))，得ta>tb>tc，又Δv＝gt，則知Δva>Δvb>Δvc，A、B項錯誤.速度變化快慢由加速度決定，由于aa＝ab＝ac＝g，則知三個小球飛行過程中速度變化快慢相似，C項錯誤.由題給條件可擬定小球落在左邊斜面上的瞬時速度不可能垂直于左邊斜面，而對右邊斜面可假設(shè)小球初速度為v0時，其落到斜面上的瞬時速度v與斜面垂直，將v沿水平方向和豎直方向分解，則vx＝v0，vy＝gt，且需滿足eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)＝tanθ(θ為右側(cè)斜面傾角)，由幾何關(guān)系可知tanθ＝eq\f(1,2)，則v0＝eq\f(1,2)gt，而豎直位移y＝eq\f(1,2)gt2，水平位移x＝v0t＝eq\f(1,2)gt2，能夠看出x＝y(tǒng)，而由題圖可知這一關(guān)系不可能存在，則假設(shè)不能成立，D項對的.二．臺階約束下的平拋運動的臨界和極值問題例7如圖21所示，小球自樓梯頂?shù)钠脚_上以水平速度v0做平拋運動，全部階梯的高度為0.20m，寬度為0.40m，重力加速度g取10m/s2.圖21(1)求小球拋出后能直接打到第1級階梯上v0的范疇；(2)求小球拋出后能直接打到第2級階梯上v0的范疇；(3)若小球以10.4m/s的速度水平拋出，則小球直接打到第幾級階梯上？答案(1)0<v0≤2m/s(2)2m/s<v0≤2eq\r(2)m/s(3)28解析(1)運動狀況如圖甲所示，根據(jù)題意及平拋運動規(guī)律有h＝eq\f(gt\o\al(2,1),2)，x＝v0t1，可得v0＝2m/s，故直接打到第1級階梯上v0的范疇是0<v0≤2m/s.(2)運動狀況如圖乙所示，根據(jù)題意及平拋運動規(guī)律有2h＝eq\f(gt\o\al(2,2),2)，2x＝v0t2，可得v0＝2eq\r(2)m/s，故直接打到第2級階梯上v0的范疇是2m/s<v0≤2eq\r(2)m/s(3)同理推知，直接打到第3級階梯上v0的范疇是2eq\r(2)m/s<v0≤2eq\r(3)m/s直接打到第n級階梯上v0的范疇是2eq\r(n－1)m/s<v0≤2eq\r(n)m/s設(shè)能直接打到第n級階梯上，有2eq\r(n－1)<10.4≤2eq\r(n)解得27.04≤n<28.04，故能直接打到第28級階梯上.二、擋板約束（一）水平擋板約束、1．“套圈圈”是老少皆宜的游戲，如圖1，大人和小孩在同一豎直線上的不同高度處分別以水平速度v1、v2拋出鐵圈，都能套中地面上同一目的。設(shè)鐵圈在空中運動時間分別為t1、t2，則()圖1 A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．t1＝t2 D．t1＞t2 解析根據(jù)平拋運動的規(guī)律h＝eq\f(1,2)gt2知，運動的時間由下落的高度決定，故t1＞t2，因此C錯誤，D對的；由題圖知，兩圈水平位移相似，再根據(jù)x＝vt，可得：v1＜v2，故A、B錯誤。 答案D（二）豎直擋板約束做平拋運動的物體拋在平面上。常見有飛機投彈模型，子彈打靶模型，打乒乓球模型，打網(wǎng)球模型等。變式6(·新課標(biāo)全國Ⅰ·18)一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖22所示.水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊沿的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發(fā)射速率v在某范疇內(nèi)，通過選擇適宜的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范疇是()圖22A.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜L1eq\r(\f(g,6h))B.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))C.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))D.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))答案D解析發(fā)射機無論向哪個方向水平發(fā)射，乒乓球都做平拋運動.當(dāng)速度v最小時，球沿中線正好過網(wǎng)，有：3h－h(huán)＝eq\f(gt\o\al(2,1),2) ①eq\f(L1,2)＝v1t1 ②聯(lián)立①②兩式，得v1＝eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))當(dāng)速度v最大時，球斜向右側(cè)臺面兩個角發(fā)射，有eq\r(\f(L2,2)2＋L\o\al(2,1))＝v2t2 ③3h＝eq\f(1,2)gt22 ④聯(lián)立③④兩式，得v2＝eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))因此使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，v的最大取值范疇為eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))，選項D對的.例1：一架飛機水平地勻速飛行.從飛機上每隔1s釋放一種鐵球，先后共釋放4個.若不計空氣阻力，從飛機上觀察4個球( )A.在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是等間距的B.在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是不等間距的C.在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是等間距的D.在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是不等間距的點評：建立飛機投彈模型，能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，也鞏固了學(xué)生對平拋運動的深刻理解；答案：C例2：如圖1所示，排球場的長為18m，網(wǎng)高2m，運動員站在離網(wǎng)3m遠(yuǎn)的線上，正對網(wǎng)前豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出，無視空氣阻力，重力加速度為g。（1）射擊球點的高度為2.5m，問球被水平擊出時的速度在什么范疇內(nèi)才干使球既不觸網(wǎng)也不出界？3m18m3m18m圖1解析：（1）要球不出界，水平位移不能超出12m，要不觸網(wǎng)，水平位移應(yīng)不不大于3m，運動草圖如圖2所示：①②圖29m3m圖29m3mV02.5m2m④其中=12m,=2.5m,=3m,=0.5m;由①②③④并代入數(shù)據(jù)得：=17m/s,=9.5m/s因此要球既不觸網(wǎng)又不出界，有：9.5m/s<<17m/s。（2）運動軌跡剛好過網(wǎng)的最高點和邊界點時球的高度為臨界高度，如圖3所示：圖39m3m圖39m3mV0h⑥⑦⑧其中=12m,=3m;由⑤⑥⑦⑧并代入數(shù)據(jù)得：h=2.13m.點評：通過分析這個問題，讓同窗們熟悉有關(guān)臨界問題的狀態(tài)模型在物理中的運用。例3：拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題。設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力（設(shè)重力加速度為g）。（1）若球在球臺邊沿O點正上方高度為h1處以速度v1水平發(fā)出，落在球臺的P1點（如圖4實線所示），求P1點距O點的距離x；（2）若球在0點正上方以速度v2水平發(fā)出后，正好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺的P2點（如圖4虛線所示），求V2的大?。唬?）若球在O點正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈正好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊沿P3處，求發(fā)球點距0點的高度h3。圖4解析：（1）由分運動之間的獨立性與等時性可得：圖4①②由①②得：（2）由所給條件知整個軌跡可分為三段對稱軌跡，因此整個運動可等效為三段相似的平拋運動過程，由此可得：③④其中=h,=L/2;由③④并代入已知量得：2LV2LV3hh3h3圖5⑤⑥⑦⑧其中=2L/3,=L/3;由⑤⑥⑦⑧并代入已知量得：點評：本題重要通過軌跡的對稱性及等效平拋運動的思維模型進(jìn)行解決問題，使復(fù)雜問題變得簡樸化。做平拋運動的物體拋在豎直面上。OAOABC圖16解析：時間分析參考例8得，由于水平位移相似，由分析可得，。（三）三雙豎直擋板約束如圖示，從一根內(nèi)壁光滑的空心豎直鋼管A的上端邊沿，沿直徑方向向管內(nèi)水平拋入一鋼球．球與管壁多次相碰后落地(球與管壁相碰時間不計)，若換一根等高但較粗的內(nèi)壁光滑的鋼管B，用同樣的辦法拋入此鋼球，則運動時間（）A．在A管中的球運動時間長B．在B管中的球運動時間長C．在兩管中的球運動時間同樣長D．無法擬定擴展：初速度為，高度為，水平距離為，落地時碰撞了多少次？三．拋物線擋板約束0hV0yx0hV0yx圖14解析：①②③④由①②③④聯(lián)立得：；點評：運用平拋運動的知識結(jié)合拋物線（也可是橢圓曲線）的關(guān)系從而使問題得以解決。四．圓周約束abd例題三、如圖，水平地面上有一種坑，其豎直截面為半圓，ab為沿水平方向的直徑。若在a點以初速度v0沿ab方向拋出一小球，小球會擊中坑壁上的c點。已知abd分析：既然平拋運動是在圓周的約束下發(fā)生的，那么我們就要充足的運用圓周的幾何特點，去尋找?guī)缀侮P(guān)系，這是解決圓周約束下的平拋的核心。例6：如圖13所示小球平拋在圓面內(nèi)，已知小球下落高度為h，圓的半徑為R，求小球的初速度？（無視空氣阻力，重力加速度為g）hRhRV0圖13①②③由①②③得：點評：抓住時間由下落高度決定這一規(guī)律，由半徑入手通過幾何關(guān)系，結(jié)合分運動的等時性原理即可求出初速度。2、如圖所示，在豎直放置的半圓形容器的中心O點分別以水平初速度v1、v2拋出兩個小球(可視為質(zhì)點)，最后它們分別落在圓弧上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，則兩小球初速度之比eq\f(v1,v2)為 () A．tanα B．cosαC．tanαeq\r(tanα) D．cosαeq\r(cosα)答案C解析兩小球被拋出后都做平拋運動，設(shè)容器半徑為R，兩小球運動時間分別為t1、t2，對A球：Rsinα＝v1t1，Rcosα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)；對B球：Rcosα＝v2t2，Rsinα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，解四式可得：eq\f(v1,v2)＝tanαeq\r(tanα)，C項對的．五．做平拋運動的物體拋在普通曲面上。例8：在同一平臺上的0點拋出的三個物體，做平拋運動的軌跡如圖15所示，無視空氣阻力，比較三次所用時間的大小及初速度的大??？解析：由于得：，由此可知，時間由下落高度決定；又由于；因此：。由于C點